Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
qqhval2.0 |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
qqhval2.1 |
|- ./ = ( /r ` R ) |
3 |
|
qqhval2.2 |
|- L = ( ZRHom ` R ) |
4 |
|
drngring |
|- ( R e. DivRing -> R e. Ring ) |
5 |
3
|
zrhrhm |
|- ( R e. Ring -> L e. ( ZZring RingHom R ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( R e. DivRing -> L e. ( ZZring RingHom R ) ) |
7 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L e. ( ZZring RingHom R ) ) |
8 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. ZZ ) |
9 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. ZZ ) |
10 |
8 9
|
gcdcld |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. NN0 ) |
11 |
10
|
nn0zd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. ZZ ) |
12 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y =/= 0 ) |
13 |
|
gcdeq0 |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 <-> ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) ) |
14 |
13
|
simplbda |
|- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) = 0 ) -> Y = 0 ) |
15 |
14
|
ex |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 -> Y = 0 ) ) |
16 |
15
|
necon3d |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( Y =/= 0 -> ( X gcd Y ) =/= 0 ) ) |
17 |
16
|
imp |
|- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ Y =/= 0 ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 ) |
18 |
8 9 12 17
|
syl21anc |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 ) |
19 |
|
gcddvds |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) ) |
20 |
8 9 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) ) |
21 |
20
|
simpld |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || X ) |
22 |
|
dvdsval2 |
|- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X <-> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) ) |
23 |
22
|
biimpa |
|- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || X ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) |
24 |
11 18 8 21 23
|
syl31anc |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) |
25 |
20
|
simprd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || Y ) |
26 |
|
dvdsval2 |
|- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || Y <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) ) |
27 |
26
|
biimpa |
|- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || Y ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) |
28 |
11 18 9 25 27
|
syl31anc |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) |
29 |
|
zringbas |
|- ZZ = ( Base ` ZZring ) |
30 |
29 1
|
rhmf |
|- ( L e. ( ZZring RingHom R ) -> L : ZZ --> B ) |
31 |
7 30
|
syl |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L : ZZ --> B ) |
32 |
31 28
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B ) |
33 |
31
|
ffnd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L Fn ZZ ) |
34 |
9
|
zcnd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. CC ) |
35 |
11
|
zcnd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. CC ) |
36 |
34 35 12 18
|
divne0d |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 ) |
37 |
|
ovex |
|- ( Y / ( X gcd Y ) ) e. _V |
38 |
37
|
elsn |
|- ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) = 0 ) |
39 |
38
|
necon3bbii |
|- ( -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 ) |
40 |
36 39
|
sylibr |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } ) |
41 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> R e. Ring ) |
42 |
|
simplr |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( chr ` R ) = 0 ) |
43 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
44 |
1 3 43
|
zrhker |
|- ( R e. Ring -> ( ( chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) ) |
45 |
44
|
biimpa |
|- ( ( R e. Ring /\ ( chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) |
46 |
41 42 45
|
syl2anc |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) |
47 |
40 46
|
neleqtrrd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) |
48 |
|
elpreima |
|- ( L Fn ZZ -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) ) |
49 |
48
|
baibd |
|- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) |
50 |
49
|
biimprd |
|- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) ) |
51 |
50
|
con3dimp |
|- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) |
52 |
|
fvex |
|- ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. _V |
53 |
52
|
elsn |
|- ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( 0g ` R ) ) |
54 |
53
|
necon3bbii |
|- ( -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) |
55 |
51 54
|
sylib |
|- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) |
56 |
33 28 47 55
|
syl21anc |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) |
57 |
|
eqid |
|- ( Unit ` R ) = ( Unit ` R ) |
58 |
1 57 43
|
drngunit |
|- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. ( Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) ) |
59 |
58
|
ad2antrr |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. ( Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) ) |
60 |
32 56 59
|
mpbir2and |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. ( Unit ` R ) ) |
61 |
31 11
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B ) |
62 |
|
ovex |
|- ( X gcd Y ) e. _V |
63 |
62
|
elsn |
|- ( ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) = 0 ) |
64 |
63
|
necon3bbii |
|- ( -. ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) =/= 0 ) |
65 |
18 64
|
sylibr |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. { 0 } ) |
66 |
65 46
|
neleqtrrd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) |
67 |
|
elpreima |
|- ( L Fn ZZ -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) ) |
68 |
67
|
baibd |
|- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) |
69 |
68
|
biimprd |
|- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) ) |
70 |
69
|
con3dimp |
|- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) |
71 |
|
fvex |
|- ( L ` ( X gcd Y ) ) e. _V |
72 |
71
|
elsn |
|- ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) = ( 0g ` R ) ) |
73 |
72
|
necon3bbii |
|- ( -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) |
74 |
70 73
|
sylib |
|- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) |
75 |
33 11 66 74
|
syl21anc |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) |
76 |
1 57 43
|
drngunit |
|- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. ( Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) ) |
77 |
76
|
ad2antrr |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. ( Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) ) |
78 |
61 75 77
|
mpbir2and |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. ( Unit ` R ) ) |
79 |
|
zringmulr |
|- x. = ( .r ` ZZring ) |
80 |
57 29 2 79
|
rhmdvd |
|- ( ( L e. ( ZZring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. ( Unit ` R ) /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. ( Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) ) |
81 |
7 24 28 11 60 78 80
|
syl132anc |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) ) |
82 |
|
divnumden |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. NN ) -> ( ( numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ ( denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) |
83 |
8 82
|
sylan |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( ( numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ ( denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) |
84 |
83
|
simpld |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) ) |
85 |
84
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) = ( numer ` ( X / Y ) ) ) |
86 |
85
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( numer ` ( X / Y ) ) ) ) |
87 |
83
|
simprd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) |
88 |
87
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) = ( denom ` ( X / Y ) ) ) |
89 |
88
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( denom ` ( X / Y ) ) ) ) |
90 |
86 89
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` ( denom ` ( X / Y ) ) ) ) ) |
91 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) |
92 |
91
|
zcnd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. CC ) |
93 |
92
|
mulm1d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) |
94 |
|
neg1cn |
|- -u 1 e. CC |
95 |
94
|
a1i |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. CC ) |
96 |
95 92
|
mulcomd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) |
97 |
93 96
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( X / ( X gcd Y ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) |
98 |
97
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) |
99 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) |
100 |
99
|
zcnd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. CC ) |
101 |
100
|
mulm1d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) |
102 |
95 100
|
mulcomd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) |
103 |
101 102
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( Y / ( X gcd Y ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) |
104 |
103
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) |
105 |
98 104
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) ) |
106 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> X e. ZZ ) |
107 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> Y e. ZZ ) |
108 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u Y e. NN ) |
109 |
|
divnumden2 |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ -u Y e. NN ) -> ( ( numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ ( denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) |
110 |
106 107 108 109
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ ( denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) |
111 |
110
|
simpld |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) |
112 |
111
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` ( numer ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ) |
113 |
110
|
simprd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) |
114 |
113
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` ( denom ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) |
115 |
112 114
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` ( denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) ) |
116 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> L e. ( ZZring RingHom R ) ) |
117 |
|
1zzd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> 1 e. ZZ ) |
118 |
117
|
znegcld |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. ZZ ) |
119 |
60
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. ( Unit ` R ) ) |
120 |
|
neg1z |
|- -u 1 e. ZZ |
121 |
|
ax-1cn |
|- 1 e. CC |
122 |
121
|
absnegi |
|- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 ) |
123 |
|
abs1 |
|- ( abs ` 1 ) = 1 |
124 |
122 123
|
eqtri |
|- ( abs ` -u 1 ) = 1 |
125 |
|
zringunit |
|- ( -u 1 e. ( Unit ` ZZring ) <-> ( -u 1 e. ZZ /\ ( abs ` -u 1 ) = 1 ) ) |
126 |
120 124 125
|
mpbir2an |
|- -u 1 e. ( Unit ` ZZring ) |
127 |
126
|
a1i |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. ( Unit ` ZZring ) ) |
128 |
|
elrhmunit |
|- ( ( L e. ( ZZring RingHom R ) /\ -u 1 e. ( Unit ` ZZring ) ) -> ( L ` -u 1 ) e. ( Unit ` R ) ) |
129 |
116 127 128
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u 1 ) e. ( Unit ` R ) ) |
130 |
57 29 2 79
|
rhmdvd |
|- ( ( L e. ( ZZring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. ( Unit ` R ) /\ ( L ` -u 1 ) e. ( Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) ) |
131 |
116 91 99 118 119 129 130
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) ) |
132 |
105 115 131
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` ( denom ` ( X / Y ) ) ) ) ) |
133 |
|
simp3 |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y =/= 0 ) |
134 |
133
|
neneqd |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> -. Y = 0 ) |
135 |
|
simp2 |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y e. ZZ ) |
136 |
|
elz |
|- ( Y e. ZZ <-> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) ) |
137 |
135 136
|
sylib |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) ) |
138 |
137
|
simprd |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) |
139 |
|
3orass |
|- ( ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) <-> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) ) |
140 |
138 139
|
sylib |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) ) |
141 |
|
orel1 |
|- ( -. Y = 0 -> ( ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) ) |
142 |
134 140 141
|
sylc |
|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) |
143 |
142
|
adantl |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) |
144 |
90 132 143
|
mpjaodan |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` ( denom ` ( X / Y ) ) ) ) ) |
145 |
8
|
zcnd |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. CC ) |
146 |
145 35 18
|
divcan1d |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = X ) |
147 |
146
|
fveq2d |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` X ) ) |
148 |
34 35 18
|
divcan1d |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = Y ) |
149 |
148
|
fveq2d |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` Y ) ) |
150 |
147 149
|
oveq12d |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) ) |
151 |
81 144 150
|
3eqtr3d |
|- ( ( ( R e. DivRing /\ ( chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` ( denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) ) |