| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
blcvx.s |
⊢ 𝑆 = ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) |
| 2 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) |
| 3 |
|
elicc01 |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1 ) ) |
| 4 |
2 3
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1 ) ) |
| 5 |
4
|
simp1d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
| 6 |
5
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
| 7 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
| 8 |
7 1
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ) |
| 9 |
|
cnxmet |
⊢ ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) |
| 10 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℂ ) |
| 11 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝑅 ∈ ℝ* ) |
| 12 |
|
elbl |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐴 ) < 𝑅 ) ) ) |
| 13 |
9 10 11 12
|
mp3an2i |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐴 ) < 𝑅 ) ) ) |
| 14 |
8 13
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐴 ) < 𝑅 ) ) |
| 15 |
14
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
| 16 |
6 15
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑇 · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 17 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
| 18 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
| 19 |
17 5 18
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
| 20 |
19
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
| 21 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑆 ) |
| 22 |
21 1
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ) |
| 23 |
|
elbl |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐵 ) < 𝑅 ) ) ) |
| 24 |
9 10 11 23
|
mp3an2i |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐵 ) < 𝑅 ) ) ) |
| 25 |
22 24
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐵 ) < 𝑅 ) ) |
| 26 |
25
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
| 27 |
20 26
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
| 28 |
16 27
|
addcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
| 29 |
|
eqid |
⊢ ( abs ∘ − ) = ( abs ∘ − ) |
| 30 |
29
|
cnmetdval |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) ) ) |
| 31 |
10 28 30
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) ) ) |
| 32 |
6 10 15
|
subdid |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) = ( ( 𝑇 · 𝑃 ) − ( 𝑇 · 𝐴 ) ) ) |
| 33 |
20 10 26
|
subdid |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑃 ) − ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) |
| 34 |
32 33
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( ( 𝑇 · 𝑃 ) − ( 𝑇 · 𝐴 ) ) + ( ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑃 ) − ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) ) |
| 35 |
6 10
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑇 · 𝑃 ) ∈ ℂ ) |
| 36 |
20 10
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑃 ) ∈ ℂ ) |
| 37 |
35 36 16 27
|
addsub4d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑇 · 𝑃 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑃 ) ) − ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) = ( ( ( 𝑇 · 𝑃 ) − ( 𝑇 · 𝐴 ) ) + ( ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑃 ) − ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) ) |
| 38 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 39 |
|
pncan3 |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( 𝑇 + ( 1 − 𝑇 ) ) = 1 ) |
| 40 |
6 38 39
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑇 + ( 1 − 𝑇 ) ) = 1 ) |
| 41 |
40
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 + ( 1 − 𝑇 ) ) · 𝑃 ) = ( 1 · 𝑃 ) ) |
| 42 |
6 20 10
|
adddird |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 + ( 1 − 𝑇 ) ) · 𝑃 ) = ( ( 𝑇 · 𝑃 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑃 ) ) ) |
| 43 |
|
mulid2 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℂ → ( 1 · 𝑃 ) = 𝑃 ) |
| 44 |
43
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 1 · 𝑃 ) = 𝑃 ) |
| 45 |
41 42 44
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 · 𝑃 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑃 ) ) = 𝑃 ) |
| 46 |
45
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑇 · 𝑃 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑃 ) ) − ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) = ( 𝑃 − ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) ) |
| 47 |
34 37 46
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( 𝑃 − ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) ) |
| 48 |
47
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) ) ) |
| 49 |
31 48
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ) |
| 50 |
10 15
|
subcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 51 |
6 50
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 52 |
10 26
|
subcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
| 53 |
20 52
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
| 54 |
51 53
|
addcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 55 |
54
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 56 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 57 |
51
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 58 |
53
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 59 |
57 58
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 60 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 61 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
| 62 |
51 53
|
abstrid |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ) |
| 63 |
62
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ) |
| 64 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑇 = 0 → ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) = ( 0 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) |
| 65 |
50
|
mul02d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 0 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) = 0 ) |
| 66 |
64 65
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑇 = 0 ) → ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) = 0 ) |
| 67 |
66
|
abs00bd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑇 = 0 ) → ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) = 0 ) |
| 68 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑇 = 0 → ( 1 − 𝑇 ) = ( 1 − 0 ) ) |
| 69 |
|
1m0e1 |
⊢ ( 1 − 0 ) = 1 |
| 70 |
68 69
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑇 = 0 → ( 1 − 𝑇 ) = 1 ) |
| 71 |
70
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑇 = 0 → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) = ( 1 · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) |
| 72 |
52
|
mulid2d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 1 · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) = ( 𝑃 − 𝐵 ) ) |
| 73 |
71 72
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑇 = 0 ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) = ( 𝑃 − 𝐵 ) ) |
| 74 |
73
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑇 = 0 ) → ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) |
| 75 |
67 74
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑇 = 0 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) = ( 0 + ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) |
| 76 |
52
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
| 77 |
76
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
| 78 |
77
|
addid2d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 0 + ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) |
| 79 |
29
|
cnmetdval |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐵 ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) |
| 80 |
10 26 79
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐵 ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) |
| 81 |
78 80
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 0 + ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐵 ) ) |
| 82 |
25
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐵 ) < 𝑅 ) |
| 83 |
81 82
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 0 + ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) < 𝑅 ) |
| 84 |
83
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑇 = 0 ) → ( 0 + ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) < 𝑅 ) |
| 85 |
75 84
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑇 = 0 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < 𝑅 ) |
| 86 |
85
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 = 0 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < 𝑅 ) |
| 87 |
6 50
|
absmuld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝑇 ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) ) |
| 88 |
4
|
simp2d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑇 ) |
| 89 |
5 88
|
absidd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑇 ) = 𝑇 ) |
| 90 |
89
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑇 ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) = ( 𝑇 · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) ) |
| 91 |
87 90
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) = ( 𝑇 · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) ) |
| 92 |
91
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) = ( 𝑇 · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) ) |
| 93 |
29
|
cnmetdval |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐴 ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) |
| 94 |
10 15 93
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐴 ) = ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) |
| 95 |
14
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) 𝐴 ) < 𝑅 ) |
| 96 |
94 95
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) < 𝑅 ) |
| 97 |
96
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) < 𝑅 ) |
| 98 |
50
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 99 |
98
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 100 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
| 101 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
| 102 |
|
0red |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 103 |
102 5 88
|
leltned |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 0 < 𝑇 ↔ 𝑇 ≠ 0 ) ) |
| 104 |
103
|
biimpar |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 0 < 𝑇 ) |
| 105 |
104
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 0 < 𝑇 ) |
| 106 |
|
ltmul2 |
⊢ ( ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) < 𝑅 ↔ ( 𝑇 · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) < ( 𝑇 · 𝑅 ) ) ) |
| 107 |
99 100 101 105 106
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) < 𝑅 ↔ ( 𝑇 · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) < ( 𝑇 · 𝑅 ) ) ) |
| 108 |
97 107
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( 𝑇 · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) < ( 𝑇 · 𝑅 ) ) |
| 109 |
92 108
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) < ( 𝑇 · 𝑅 ) ) |
| 110 |
20 52
|
absmuld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 1 − 𝑇 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) |
| 111 |
17
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 112 |
4
|
simp3d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝑇 ≤ 1 ) |
| 113 |
5 111 112
|
abssubge0d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 1 − 𝑇 ) ) = ( 1 − 𝑇 ) ) |
| 114 |
113
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 1 − 𝑇 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( 1 − 𝑇 ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) |
| 115 |
110 114
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( 1 − 𝑇 ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) |
| 116 |
115
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( 1 − 𝑇 ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) |
| 117 |
76
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
| 118 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ↔ 𝑇 ≤ 1 ) ) |
| 119 |
17 5 118
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ↔ 𝑇 ≤ 1 ) ) |
| 120 |
112 119
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ) |
| 121 |
19 120
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ) ) |
| 122 |
121
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ) ) |
| 123 |
80 82
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) < 𝑅 ) |
| 124 |
123
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) < 𝑅 ) |
| 125 |
|
ltle |
⊢ ( ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ≤ 𝑅 ) ) |
| 126 |
76 125
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ≤ 𝑅 ) ) |
| 127 |
124 126
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ≤ 𝑅 ) |
| 128 |
|
lemul2a |
⊢ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ≤ 𝑅 ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) |
| 129 |
117 61 122 127 128
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) |
| 130 |
116 129
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) |
| 131 |
130
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) |
| 132 |
57
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 133 |
58
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 134 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑇 · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
| 135 |
5 134
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑇 · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
| 136 |
|
remulcl |
⊢ ( ( ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
| 137 |
19 136
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
| 138 |
|
ltleadd |
⊢ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑇 · 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ∈ ℝ ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) < ( 𝑇 · 𝑅 ) ∧ ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < ( ( 𝑇 · 𝑅 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) ) ) |
| 139 |
132 133 135 137 138
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) < ( 𝑇 · 𝑅 ) ∧ ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < ( ( 𝑇 · 𝑅 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) ) ) |
| 140 |
139
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) < ( 𝑇 · 𝑅 ) ∧ ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < ( ( 𝑇 · 𝑅 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) ) ) |
| 141 |
109 131 140
|
mp2and |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < ( ( 𝑇 · 𝑅 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) ) |
| 142 |
40
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 + ( 1 − 𝑇 ) ) · 𝑅 ) = ( 1 · 𝑅 ) ) |
| 143 |
142
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑇 + ( 1 − 𝑇 ) ) · 𝑅 ) = ( 1 · 𝑅 ) ) |
| 144 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
| 145 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
| 146 |
61
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
| 147 |
144 145 146
|
adddird |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑇 + ( 1 − 𝑇 ) ) · 𝑅 ) = ( ( 𝑇 · 𝑅 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) ) |
| 148 |
146
|
mulid2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 1 · 𝑅 ) = 𝑅 ) |
| 149 |
143 147 148
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑇 · 𝑅 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) = 𝑅 ) |
| 150 |
149
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( ( 𝑇 · 𝑅 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝑅 ) ) = 𝑅 ) |
| 151 |
141 150
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < 𝑅 ) |
| 152 |
86 151
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) + ( abs ‘ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < 𝑅 ) |
| 153 |
56 60 61 63 152
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < 𝑅 ) |
| 154 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 155 |
154
|
ltpnfd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < +∞ ) |
| 156 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → 𝑅 = +∞ ) |
| 157 |
155 156
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < 𝑅 ) |
| 158 |
|
0xr |
⊢ 0 ∈ ℝ* |
| 159 |
158
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 0 ∈ ℝ* ) |
| 160 |
98
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ∈ ℝ* ) |
| 161 |
50
|
absge0d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) ) |
| 162 |
159 160 11 161 96
|
xrlelttrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 0 < 𝑅 ) |
| 163 |
159 11 162
|
xrltled |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑅 ) |
| 164 |
|
ge0nemnf |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ) → 𝑅 ≠ -∞ ) |
| 165 |
11 163 164
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → 𝑅 ≠ -∞ ) |
| 166 |
11 165
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠ -∞ ) ) |
| 167 |
|
xrnemnf |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠ -∞ ) ↔ ( 𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞ ) ) |
| 168 |
166 167
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞ ) ) |
| 169 |
153 157 168
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑇 · ( 𝑃 − 𝐴 ) ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) ) < 𝑅 ) |
| 170 |
49 169
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑃 ( abs ∘ − ) ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) < 𝑅 ) |
| 171 |
|
elbl |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ↔ ( ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑃 ( abs ∘ − ) ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) < 𝑅 ) ) ) |
| 172 |
9 10 11 171
|
mp3an2i |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ↔ ( ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑃 ( abs ∘ − ) ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ) < 𝑅 ) ) ) |
| 173 |
28 170 172
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ) |
| 174 |
173 1
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝑇 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑇 ) · 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 ) |