Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cncfshift.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
2 |
|
cncfshift.t |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ ) |
3 |
|
cncfshift.b |
⊢ 𝐵 = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) } |
4 |
|
cncfshift.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) ) |
5 |
|
cncfshift.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
6 |
|
cncff |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
7 |
4 6
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
10 |
9 3
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) } ) |
11 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) } ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) ) |
12 |
10 11
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) ) |
13 |
12
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) |
14 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) = ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
15 |
14
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) = ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
16 |
1
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
17 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
18 |
16 17
|
pncand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 ) |
19 |
18
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 ) |
20 |
19
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 ) |
21 |
15 20
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) = 𝑦 ) |
22 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
23 |
21 22
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) |
24 |
23
|
rexlimdv3a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) |
25 |
13 24
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) |
26 |
8 25
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
27 |
26 5
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ) |
28 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) ) |
29 |
28
|
breq1d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 ) ) |
30 |
29
|
imbrov2fvoveq |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
31 |
30
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
32 |
31
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
33 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) ) |
34 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
35 |
|
ssid |
⊢ ℂ ⊆ ℂ |
36 |
|
elcncf |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
37 |
34 35 36
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
38 |
33 37
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
39 |
38
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
40 |
32 39 25
|
rspcdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
41 |
40
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
42 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑤 ∈ ℝ+ ) |
43 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
44 |
41 42 43
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
45 |
|
simpl1l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝜑 ) |
46 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝜑 ) |
47 |
|
simp1rl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
48 |
47
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
49 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝑣 ∈ 𝐵 ) |
50 |
5
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
51 |
9 26 50
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
52 |
51
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
53 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
54 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝑣 ∈ 𝐵 ) |
55 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
56 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) |
57 |
56
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ) |
58 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑥 − 𝑇 ) = ( 𝑣 − 𝑇 ) ) |
59 |
58
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑣 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) |
60 |
57 59
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑣 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
61 |
60 25
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑣 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) |
62 |
55 61
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
63 |
5 53 54 62
|
fvmptd3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
64 |
63
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
65 |
52 64
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) |
66 |
65
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) ) |
67 |
46 48 49 66
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) ) |
68 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) |
69 |
12
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
71 |
3
|
ssrab3 |
⊢ 𝐵 ⊆ ℂ |
72 |
71
|
sseli |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝐵 → 𝑣 ∈ ℂ ) |
73 |
72
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝑣 ∈ ℂ ) |
74 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
75 |
70 73 74
|
nnncan2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) = ( 𝑥 − 𝑣 ) ) |
76 |
75
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) ) |
77 |
76
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) ) |
78 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) |
79 |
77 78
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 ) |
80 |
46 48 49 68 79
|
syl1111anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 ) |
81 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
82 |
81
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) |
83 |
82
|
breq1d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 ) ) |
84 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
85 |
84
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) |
86 |
85
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) ) |
87 |
86
|
breq1d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) ) |
88 |
83 87
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
89 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
90 |
46 49 61
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( 𝑣 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) |
91 |
88 89 90
|
rspcdva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) ) |
92 |
80 91
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) |
93 |
67 92
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) |
94 |
93
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
95 |
94
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) → ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
96 |
95
|
3exp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) → ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
97 |
96
|
reximdvai |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
98 |
44 97
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
99 |
98
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
100 |
71
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ ) |
101 |
|
elcncf |
⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
102 |
100 35 101
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
103 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ℝ+ |
104 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝐵 |
105 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 |
106 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 abs |
107 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
108 |
5 107
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝐺 |
109 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑎 |
110 |
108 109
|
nffv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) |
111 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 − |
112 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑣 |
113 |
108 112
|
nffv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) |
114 |
110 111 113
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) |
115 |
106 114
|
nffv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) |
116 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 < |
117 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 |
118 |
115 116 117
|
nfbr |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 |
119 |
105 118
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) |
120 |
104 119
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) |
121 |
103 120
|
nfrex |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) |
122 |
103 121
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) |
123 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑎 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) |
124 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) ) |
125 |
124
|
breq1d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) |
126 |
125
|
imbrov2fvoveq |
⊢ ( 𝑎 = 𝑥 → ( ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
127 |
126
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑎 = 𝑥 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
128 |
127
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑎 = 𝑥 → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
129 |
122 123 128
|
cbvralw |
⊢ ( ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
130 |
129
|
bicomi |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
131 |
130
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ↔ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑎 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
132 |
102 131
|
bitr4di |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
133 |
27 99 132
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ ℂ ) ) |