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Theorem cncfshift

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses cncfshift.a ( 𝜑𝐴 ⊆ ℂ )
cncfshift.t ( 𝜑𝑇 ∈ ℂ )
cncfshift.b 𝐵 = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) }
cncfshift.f ( 𝜑𝐹 ∈ ( 𝐴cn→ ℂ ) )
cncfshift.g 𝐺 = ( 𝑥𝐵 ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) )
Assertion cncfshift ( 𝜑𝐺 ∈ ( 𝐵cn→ ℂ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cncfshift.a ( 𝜑𝐴 ⊆ ℂ )
2 cncfshift.t ( 𝜑𝑇 ∈ ℂ )
3 cncfshift.b 𝐵 = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) }
4 cncfshift.f ( 𝜑𝐹 ∈ ( 𝐴cn→ ℂ ) )
5 cncfshift.g 𝐺 = ( 𝑥𝐵 ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) )
6 cncff ( 𝐹 ∈ ( 𝐴cn→ ℂ ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ )
7 4 6 syl ( 𝜑𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ )
8 7 adantr ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ )
9 simpr ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → 𝑥𝐵 )
10 9 3 eleqtrdi ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) } )
11 rabid ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) } ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑦𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) )
12 10 11 sylib ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑦𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) )
13 12 simprd ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ∃ 𝑦𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) )
14 oveq1 ( 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) → ( 𝑥𝑇 ) = ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) )
15 14 3ad2ant3 ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥𝑇 ) = ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) )
16 1 sselda ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℂ )
17 2 adantr ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
18 16 17 pncand ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 )
19 18 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 )
20 19 3adant3 ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 )
21 15 20 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥𝑇 ) = 𝑦 )
22 simp2 ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → 𝑦𝐴 )
23 21 22 eqeltrd ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥𝑇 ) ∈ 𝐴 )
24 23 rexlimdv3a ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( ∃ 𝑦𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) → ( 𝑥𝑇 ) ∈ 𝐴 ) )
25 13 24 mpd ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝑥𝑇 ) ∈ 𝐴 )
26 8 25 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) ∈ ℂ )
27 26 5 fmptd ( 𝜑𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ )
28 fvoveq1 ( 𝑎 = ( 𝑥𝑇 ) → ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) )
29 28 breq1d ( 𝑎 = ( 𝑥𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 ) )
30 29 imbrov2fvoveq ( 𝑎 = ( 𝑥𝑇 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑎 ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
31 30 rexralbidv ( 𝑎 = ( 𝑥𝑇 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑎 ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
32 31 ralbidv ( 𝑎 = ( 𝑥𝑇 ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑎 ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
33 4 adantr ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → 𝐹 ∈ ( 𝐴cn→ ℂ ) )
34 1 adantr ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → 𝐴 ⊆ ℂ )
35 ssid ℂ ⊆ ℂ
36 elcncf ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐴cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑎 ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) )
37 34 35 36 sylancl ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐴cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑎 ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) )
38 33 37 mpbid ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑎 ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
39 38 simprd ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ∀ 𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑎 ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) )
40 32 39 25 rspcdva ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) )
41 40 adantrr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) )
42 simprr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑤 ∈ ℝ+ )
43 rspa ( ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) )
44 41 42 43 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) )
45 simpl1l ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) → 𝜑 )
46 45 adantr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝜑 )
47 simp1rl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) → 𝑥𝐵 )
48 47 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝑥𝐵 )
49 simplr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝑣𝐵 )
50 5 fvmpt2 ( ( 𝑥𝐵 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐺𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) )
51 9 26 50 syl2anc ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝐺𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) )
52 51 3adant3 ( ( 𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵 ) → ( 𝐺𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) )
53 fvoveq1 ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) )
54 simpr ( ( 𝜑𝑣𝐵 ) → 𝑣𝐵 )
55 7 adantr ( ( 𝜑𝑣𝐵 ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ )
56 eleq1w ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑥𝐵𝑣𝐵 ) )
57 56 anbi2d ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ↔ ( 𝜑𝑣𝐵 ) ) )
58 oveq1 ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑥𝑇 ) = ( 𝑣𝑇 ) )
59 58 eleq1d ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝑥𝑇 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑣𝑇 ) ∈ 𝐴 ) )
60 57 59 imbi12d ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → ( 𝑥𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝜑𝑣𝐵 ) → ( 𝑣𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) )
61 60 25 chvarvv ( ( 𝜑𝑣𝐵 ) → ( 𝑣𝑇 ) ∈ 𝐴 )
62 55 61 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑣𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ∈ ℂ )
63 5 53 54 62 fvmptd3 ( ( 𝜑𝑣𝐵 ) → ( 𝐺𝑣 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) )
64 63 3adant2 ( ( 𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵 ) → ( 𝐺𝑣 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) )
65 52 64 oveq12d ( ( 𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) )
66 65 fveq2d ( ( 𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) ) )
67 46 48 49 66 syl3anc ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) ) )
68 simpr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 )
69 12 simpld ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
70 69 adantr ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑣𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
71 3 ssrab3 𝐵 ⊆ ℂ
72 71 sseli ( 𝑣𝐵𝑣 ∈ ℂ )
73 72 adantl ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑣𝐵 ) → 𝑣 ∈ ℂ )
74 2 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑣𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
75 70 73 74 nnncan2d ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) = ( 𝑥𝑣 ) )
76 75 fveq2d ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑣𝐵 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) )
77 76 adantr ( ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) )
78 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 )
79 77 78 eqbrtrd ( ( ( ( 𝜑𝑥𝐵 ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) ) < 𝑧 )
80 46 48 49 68 79 syl1111anc ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) ) < 𝑧 )
81 oveq2 ( 𝑏 = ( 𝑣𝑇 ) → ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) )
82 81 fveq2d ( 𝑏 = ( 𝑣𝑇 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) ) )
83 82 breq1d ( 𝑏 = ( 𝑣𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) ) < 𝑧 ) )
84 fveq2 ( 𝑏 = ( 𝑣𝑇 ) → ( 𝐹𝑏 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) )
85 84 oveq2d ( 𝑏 = ( 𝑣𝑇 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) )
86 85 fveq2d ( 𝑏 = ( 𝑣𝑇 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) ) )
87 86 breq1d ( 𝑏 = ( 𝑣𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) )
88 83 87 imbi12d ( 𝑏 = ( 𝑣𝑇 ) → ( ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) ) )
89 simpll3 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) )
90 46 49 61 syl2anc ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( 𝑣𝑇 ) ∈ 𝐴 )
91 88 89 90 rspcdva ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − ( 𝑣𝑇 ) ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) )
92 80 91 mpd ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹 ‘ ( 𝑣𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 )
93 67 92 eqbrtrd ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 )
94 93 ex ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣𝐵 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) )
95 94 ralrimiva ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) → ∀ 𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) )
96 95 3exp ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) → ∀ 𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) )
97 96 reximdvai ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) − ( 𝐹𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
98 44 97 mpd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) )
99 98 ralrimivva ( 𝜑 → ∀ 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) )
100 71 a1i ( 𝜑𝐵 ⊆ ℂ )
101 elcncf ( ( 𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝐺 ∈ ( 𝐵cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) )
102 100 35 101 sylancl ( 𝜑 → ( 𝐺 ∈ ( 𝐵cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) )
103 nfcv 𝑥+
104 nfcv 𝑥 𝐵
105 nfv 𝑥 ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧
106 nfcv 𝑥 abs
107 nfmpt1 𝑥 ( 𝑥𝐵 ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥𝑇 ) ) )
108 5 107 nfcxfr 𝑥 𝐺
109 nfcv 𝑥 𝑎
110 108 109 nffv 𝑥 ( 𝐺𝑎 )
111 nfcv 𝑥
112 nfcv 𝑥 𝑣
113 108 112 nffv 𝑥 ( 𝐺𝑣 )
114 110 111 113 nfov 𝑥 ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) )
115 106 114 nffv 𝑥 ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) )
116 nfcv 𝑥 <
117 nfcv 𝑥 𝑤
118 115 116 117 nfbr 𝑥 ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤
119 105 118 nfim 𝑥 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 )
120 104 119 nfralw 𝑥𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 )
121 103 120 nfrex 𝑥𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 )
122 103 121 nfralw 𝑥𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 )
123 nfv 𝑎𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 )
124 fvoveq1 ( 𝑎 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) )
125 124 breq1d ( 𝑎 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 ) )
126 125 imbrov2fvoveq ( 𝑎 = 𝑥 → ( ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
127 126 rexralbidv ( 𝑎 = 𝑥 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
128 127 ralbidv ( 𝑎 = 𝑥 → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
129 122 123 128 cbvralw ( ∀ 𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) )
130 129 bicomi ( ∀ 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) )
131 130 anbi2i ( ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ↔ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑎𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑎 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) )
132 102 131 bitr4di ( 𝜑 → ( 𝐺 ∈ ( 𝐵cn→ ℂ ) ↔ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐺𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) )
133 27 99 132 mpbir2and ( 𝜑𝐺 ∈ ( 𝐵cn→ ℂ ) )