Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem19.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem19.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
fourierdlem19.altb |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 ) |
4 |
|
fourierdlem19.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
5 |
|
fourierdlem19.d |
⊢ 𝐷 = { 𝑦 ∈ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐶 } |
6 |
|
fourierdlem19.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 ) |
7 |
|
fourierdlem19.e |
⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
8 |
|
fourierdlem19.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐷 ) |
9 |
|
fourierdlem19.z |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐷 ) |
10 |
|
fourierdlem19.ezew |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) ) |
11 |
1 4
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ) |
13 |
2 4
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
14 |
13
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ) |
15 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑦 ∈ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐶 } ⊆ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
16 |
5 15
|
eqsstri |
⊢ 𝐷 ⊆ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
17 |
16 9
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) |
18 |
|
iocleub |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑍 ∈ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) → 𝑍 ≤ ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
19 |
12 14 17 18
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ≤ ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 𝑍 ≤ ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
21 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
22 |
|
iocssre |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ ) |
23 |
12 13 22
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ ) |
24 |
16 8
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) |
25 |
23 24
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ ) |
26 |
2 1
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
27 |
6 26
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ ) |
28 |
25 27
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 + 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( 𝑊 + 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
30 |
23 17
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 𝑍 ∈ ℝ ) |
32 |
6
|
eqcomi |
⊢ ( 𝐵 − 𝐴 ) = 𝑇 |
33 |
32
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = 𝑇 ) |
34 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
35 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
36 |
27
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ ) |
37 |
34 35 36
|
subaddd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = 𝑇 ↔ ( 𝐴 + 𝑇 ) = 𝐵 ) ) |
38 |
33 37
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝑇 ) = 𝐵 ) |
39 |
38
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝐴 + 𝑇 ) ) |
40 |
39
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝑋 ) = ( ( 𝐴 + 𝑇 ) + 𝑋 ) ) |
41 |
4
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
42 |
35 36 41
|
add32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝑇 ) + 𝑋 ) = ( ( 𝐴 + 𝑋 ) + 𝑇 ) ) |
43 |
40 42
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝑋 ) = ( ( 𝐴 + 𝑋 ) + 𝑇 ) ) |
44 |
|
iocgtlb |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑊 ∈ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,] ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) → ( 𝐴 + 𝑋 ) < 𝑊 ) |
45 |
12 14 24 44
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝑋 ) < 𝑊 ) |
46 |
11 25 27 45
|
ltadd1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝑋 ) + 𝑇 ) < ( 𝑊 + 𝑇 ) ) |
47 |
43 46
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝑋 ) < ( 𝑊 + 𝑇 ) ) |
48 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( 𝐵 + 𝑋 ) < ( 𝑊 + 𝑇 ) ) |
49 |
7
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) ) |
50 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑊 ) |
51 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑊 → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝑊 ) ) |
52 |
51
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑊 → ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) |
53 |
52
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑊 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ) |
54 |
53
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑊 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) |
55 |
50 54
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑊 → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
56 |
55
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑊 ) → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
57 |
2 25
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
58 |
1 2
|
posdifd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
59 |
3 58
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
60 |
59 6
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 ) |
61 |
60
|
gt0ne0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 ) |
62 |
57 27 61
|
redivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
63 |
62
|
flcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) |
64 |
63
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
65 |
64 27
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
66 |
25 65
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
67 |
49 56 25 66
|
fvmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) = ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
68 |
67 66
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
69 |
68
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) ∈ ℂ ) |
70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) ∈ ℂ ) |
71 |
65
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
72 |
71
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
73 |
36
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
74 |
70 72 73
|
subsubd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) ) |
75 |
74
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) ) |
76 |
2 30
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑍 ) ∈ ℝ ) |
77 |
76 27 61
|
redivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
78 |
77
|
flcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) |
79 |
78
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
80 |
79
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
81 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
82 |
80 81
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
83 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
84 |
83 81
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
85 |
84 81
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
86 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
87 |
79 27
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
88 |
87
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
89 |
88 36
|
pncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) |
90 |
89
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
91 |
90
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
92 |
82 81
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
93 |
79
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
94 |
93 36
|
adddirp1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) · 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) ) |
95 |
94
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) · 𝑇 ) ) |
96 |
95
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) · 𝑇 ) ) |
97 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 1 ∈ ℝ ) |
98 |
80 97
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
99 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
100 |
99 27 60
|
ltled |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑇 ) |
101 |
100
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 0 ≤ 𝑇 ) |
102 |
86 31
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑍 ) ∈ ℝ ) |
103 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 𝑊 ∈ ℝ ) |
104 |
86 103
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
105 |
27 60
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
106 |
105
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
107 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 𝑊 < 𝑍 ) |
108 |
103 31 86 107
|
ltsub2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑍 ) < ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑊 ) ) |
109 |
102 104 106 108
|
ltdiv1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑍 ) / 𝑇 ) < ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) |
110 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 = 𝑍 → 𝑥 = 𝑍 ) |
111 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑍 → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝑍 ) ) |
112 |
111
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑍 → ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) |
113 |
112
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑍 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) ) |
114 |
113
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑍 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) |
115 |
110 114
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑍 → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
116 |
115
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑍 ) → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
117 |
30 87
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
118 |
49 116 30 117
|
fvmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) = ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
119 |
10 118
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) = ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
120 |
119
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑍 ) = ( ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑍 ) ) |
121 |
30
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ ) |
122 |
121 88
|
pncan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑍 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) |
123 |
120 122
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑍 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) |
124 |
123
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑍 ) / 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) / 𝑇 ) ) |
125 |
93 36 61
|
divcan4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) / 𝑇 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) ) |
126 |
124 125
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) |
127 |
126
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) |
128 |
67
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑊 ) = ( ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑊 ) ) |
129 |
128
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑊 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) |
130 |
25
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ ) |
131 |
130 71
|
pncan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑊 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) |
132 |
131
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑊 ) / 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) / 𝑇 ) ) |
133 |
64
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
134 |
133 36 61
|
divcan4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) / 𝑇 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ) |
135 |
129 132 134
|
3eqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) |
136 |
135
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) |
137 |
109 127 136
|
3brtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ) |
138 |
78
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) |
139 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) |
140 |
|
zltp1le |
⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ↔ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ) ) |
141 |
138 139 140
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ↔ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ) ) |
142 |
137 141
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) ) |
143 |
98 83 81 101 142
|
lemul1ad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) |
144 |
96 143
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) ≤ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) |
145 |
92 84 81 144
|
lesub1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) + 𝑇 ) − 𝑇 ) ≤ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
146 |
91 145
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
147 |
82 85 86 146
|
lesub2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) ≤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
148 |
75 147
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) ≤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
149 |
67
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) ) |
150 |
69 71 130
|
subadd2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = 𝑊 ↔ ( 𝑊 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) ) ) |
151 |
149 150
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = 𝑊 ) |
152 |
151
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
153 |
152
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 + 𝑇 ) = ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) ) |
154 |
153
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( 𝑊 + 𝑇 ) = ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑊 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) ) |
155 |
118
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) ) |
156 |
1
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
157 |
|
iocssre |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
158 |
156 2 157
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
159 |
1 2 3 6 7
|
fourierdlem4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) |
160 |
159 30
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) |
161 |
158 160
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) ∈ ℝ ) |
162 |
161
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) ∈ ℂ ) |
163 |
162 88 121
|
subadd2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = 𝑍 ↔ ( 𝑍 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) ) ) |
164 |
155 163
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = 𝑍 ) |
165 |
10
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑍 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
166 |
164 165
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
167 |
166
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → 𝑍 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑊 ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑍 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
168 |
148 154 167
|
3brtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( 𝑊 + 𝑇 ) ≤ 𝑍 ) |
169 |
21 29 31 48 168
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( 𝐵 + 𝑋 ) < 𝑍 ) |
170 |
21 31
|
ltnled |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ( ( 𝐵 + 𝑋 ) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) |
171 |
169 170
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑊 < 𝑍 ) → ¬ 𝑍 ≤ ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
172 |
20 171
|
pm2.65da |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍 ) |