Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fprodser.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 𝐴 ) |
2 |
|
fprodser.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
3 |
|
fprodser.3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
4 |
|
prodfc |
⊢ ∏ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ 𝑗 ) = ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 |
5 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) |
6 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
7 |
2 6
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
8 |
7
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
9 |
|
eluzel2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
10 |
2 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
11 |
10
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ ) |
12 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
13 |
8 11 12
|
subadd23d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) + 1 ) = ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) |
14 |
13
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑀 ) + 1 ) ) |
15 |
|
uznn0sub |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) |
16 |
2 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) |
17 |
|
nn0p1nn |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
18 |
16 17
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
19 |
14 18
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ∈ ℕ ) |
20 |
12 11
|
pncan3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) = 𝑀 ) |
21 |
8 12 11
|
pnpncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) = 𝑁 ) |
22 |
20 21
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
23 |
22
|
eleq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑝 ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ↔ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
24 |
23
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
25 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑝 ∈ ℤ ) |
26 |
25
|
zcnd |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑝 ∈ ℂ ) |
27 |
26
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑝 ∈ ℂ ) |
28 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) |
29 |
10 28
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) |
30 |
29
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℂ ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℂ ) |
32 |
27 31
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) = 𝑝 ) |
33 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
34 |
32 33
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
35 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ V |
36 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) → ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) = ( ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
37 |
36
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
38 |
35 37
|
sbcie |
⊢ ( [ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑛 ] ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
39 |
34 38
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → [ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑛 ] ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
40 |
24 39
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) → [ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑛 ] ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
41 |
40
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑝 ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) [ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑛 ] ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
42 |
|
1zzd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ ) |
43 |
19
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
44 |
|
fzshftral |
⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) [ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑛 ] ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
45 |
42 43 29 44
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) [ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑛 ] ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
46 |
41 45
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
47 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
48 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
49 |
25
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑝 ∈ ℤ ) |
50 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) |
51 |
|
fzsubel |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( ( 𝑀 − ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( 𝑁 − ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ) |
52 |
47 48 49 50 51
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( ( 𝑀 − ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( 𝑁 − ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ) |
53 |
33 52
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( ( 𝑀 − ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( 𝑁 − ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
54 |
11 12
|
nncand |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 − ( 𝑀 − 1 ) ) = 1 ) |
55 |
8 11 12
|
subsub2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − ( 𝑀 − 1 ) ) = ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) |
56 |
54 55
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 − ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( 𝑁 − ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) |
57 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑀 − ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( 𝑁 − ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) |
58 |
53 57
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) |
59 |
32
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑝 = ( ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
60 |
36
|
rspceeqv |
⊢ ( ( ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ∧ 𝑝 = ( ( 𝑝 − ( 𝑀 − 1 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
61 |
58 59 60
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
62 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
63 |
62
|
zcnd |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℂ ) |
64 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
65 |
64
|
zcnd |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
66 |
63 65
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) ) |
67 |
|
eqtr2 |
⊢ ( ( 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ 𝑝 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
68 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) ) → 𝑛 ∈ ℂ ) |
69 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
70 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℂ ) |
71 |
68 69 70
|
addcan2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ↔ 𝑛 = 𝑚 ) ) |
72 |
67 71
|
syl5ib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ 𝑝 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) → 𝑛 = 𝑚 ) ) |
73 |
66 72
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ 𝑝 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) → 𝑛 = 𝑚 ) ) |
74 |
73
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ( ( 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ 𝑝 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) → 𝑛 = 𝑚 ) ) |
75 |
74
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ( ( 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ 𝑝 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) → 𝑛 = 𝑚 ) ) |
76 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
77 |
76
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ↔ 𝑝 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
78 |
77
|
reu4 |
⊢ ( ∃! 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ↔ ( ∃ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ( ( 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ 𝑝 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) → 𝑛 = 𝑚 ) ) ) |
79 |
61 75 78
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ∃! 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
80 |
79
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∃! 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
81 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
82 |
81
|
f1ompt |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) : ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑝 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∃! 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) 𝑝 = ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
83 |
46 80 82
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) : ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
84 |
3
|
fmpttd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) : ( 𝑀 ... 𝑁 ) ⟶ ℂ ) |
85 |
84
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
86 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) |
87 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → 1 ∈ ℤ ) |
88 |
43
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
89 |
64
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
90 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) |
91 |
|
fzaddel |
⊢ ( ( ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑚 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↔ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ) |
92 |
87 88 89 90 91
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↔ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ) |
93 |
86 92
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
94 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ... ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
95 |
93 94
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
96 |
1
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 𝐴 ) |
97 |
|
nfcsb1v |
⊢ Ⅎ 𝑘 ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 |
98 |
97
|
nfeq2 |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐹 ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 |
99 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
100 |
|
csbeq1a |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) → 𝐴 = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ) |
101 |
99 100
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 𝐴 ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ) ) |
102 |
98 101
|
rspc |
⊢ ( ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 𝐴 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ) ) |
103 |
96 102
|
mpan9 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ) |
104 |
95 103
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ) |
105 |
|
f1of |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) : ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) : ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ⟶ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
106 |
83 105
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) : ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ⟶ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
107 |
|
fvco3 |
⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) : ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ⟶ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ∘ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) |
108 |
106 107
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ∘ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) |
109 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ V |
110 |
76 81 109
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
111 |
110
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
112 |
111
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
113 |
108 112
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ∘ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
114 |
111
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
115 |
3
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 ∈ ℂ ) |
116 |
97
|
nfel1 |
⊢ Ⅎ 𝑘 ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ |
117 |
100
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) ) |
118 |
116 117
|
rspc |
⊢ ( ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 ∈ ℂ → ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) ) |
119 |
115 118
|
mpan9 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) |
120 |
95 119
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) |
121 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) |
122 |
121
|
fvmpts |
⊢ ( ( ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ) |
123 |
95 120 122
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ) |
124 |
114 123
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ) = ⦋ ( 𝑚 + ( 𝑀 − 1 ) ) / 𝑘 ⦌ 𝐴 ) |
125 |
104 113 124
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ∘ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ) ) |
126 |
5 19 83 85 125
|
fprod |
⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ 𝑗 ) = ( seq 1 ( · , ( 𝐹 ∘ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ) |
127 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
128 |
19 127
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
129 |
128 29 113
|
seqshft2 |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , ( 𝐹 ∘ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) ↦ ( 𝑛 + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) ) = ( seq ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ( · , 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
130 |
20
|
seqeq1d |
⊢ ( 𝜑 → seq ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ( · , 𝐹 ) = seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) |
131 |
130 21
|
fveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( seq ( 1 + ( 𝑀 − 1 ) ) ( · , 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 − 𝑀 ) ) + ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) ) |
132 |
126 129 131
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ 𝐴 ) ‘ 𝑗 ) = ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) ) |
133 |
4 132
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) ) |