Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
qrng.q |
⊢ 𝑄 = ( ℂfld ↾s ℚ ) |
2 |
|
qabsabv.a |
⊢ 𝐴 = ( AbsVal ‘ 𝑄 ) |
3 |
|
padic.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℚ ↦ if ( 𝑥 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) ) ) |
4 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝐴 = ( AbsVal ‘ 𝑄 ) ) |
5 |
1
|
qrngbas |
⊢ ℚ = ( Base ‘ 𝑄 ) |
6 |
5
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → ℚ = ( Base ‘ 𝑄 ) ) |
7 |
|
qex |
⊢ ℚ ∈ V |
8 |
|
cnfldadd |
⊢ + = ( +g ‘ ℂfld ) |
9 |
1 8
|
ressplusg |
⊢ ( ℚ ∈ V → + = ( +g ‘ 𝑄 ) ) |
10 |
7 9
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → + = ( +g ‘ 𝑄 ) ) |
11 |
|
cnfldmul |
⊢ · = ( .r ‘ ℂfld ) |
12 |
1 11
|
ressmulr |
⊢ ( ℚ ∈ V → · = ( .r ‘ 𝑄 ) ) |
13 |
7 12
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → · = ( .r ‘ 𝑄 ) ) |
14 |
1
|
qrng0 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑄 ) |
15 |
14
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 0 = ( 0g ‘ 𝑄 ) ) |
16 |
1
|
qdrng |
⊢ 𝑄 ∈ DivRing |
17 |
|
drngring |
⊢ ( 𝑄 ∈ DivRing → 𝑄 ∈ Ring ) |
18 |
16 17
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝑄 ∈ Ring ) |
19 |
|
0red |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ∈ ℝ ) |
20 |
|
ioossre |
⊢ ( 0 (,) 1 ) ⊆ ℝ |
21 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) |
22 |
20 21
|
sselid |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
23 |
22
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
24 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) → ( 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 1 ) ) |
25 |
24
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → ( 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 1 ) ) |
26 |
25
|
simpld |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 0 < 𝑁 ) |
27 |
22 26
|
elrpd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
28 |
27
|
rpne0d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
30 |
|
df-ne |
⊢ ( 𝑥 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = 0 ) |
31 |
|
pcqcl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ∈ ℤ ) |
32 |
31
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ∈ ℤ ) |
33 |
32
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ ) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ∈ ℤ ) |
34 |
30 33
|
sylan2br |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ∈ ℤ ) |
35 |
23 29 34
|
reexpclzd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
36 |
19 35
|
ifclda |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ ) → if ( 𝑥 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) |
37 |
36 3
|
fmptd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝐹 : ℚ ⟶ ℝ ) |
38 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
39 |
|
zq |
⊢ ( 0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ ) |
40 |
38 39
|
ax-mp |
⊢ 0 ∈ ℚ |
41 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑥 = 0 → if ( 𝑥 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) ) = 0 ) |
42 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
43 |
41 3 42
|
fvmpt |
⊢ ( 0 ∈ ℚ → ( 𝐹 ‘ 0 ) = 0 ) |
44 |
40 43
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → ( 𝐹 ‘ 0 ) = 0 ) |
45 |
22
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
46 |
|
pcqcl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
47 |
46
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
48 |
47
|
3impb |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
49 |
26
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 0 < 𝑁 ) |
50 |
|
expgt0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁 ) → 0 < ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
51 |
45 48 49 50
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 0 < ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
52 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0 ) ) |
53 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) = ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) |
54 |
53
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
55 |
52 54
|
ifbieq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → if ( 𝑥 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑦 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) ) |
56 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ∈ V |
57 |
42 56
|
ifex |
⊢ if ( 𝑦 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) ∈ V |
58 |
55 3 57
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℚ → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) = if ( 𝑦 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) ) |
59 |
58
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) = if ( 𝑦 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) ) |
60 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 𝑦 ≠ 0 ) |
61 |
60
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ¬ 𝑦 = 0 ) |
62 |
61
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → if ( 𝑦 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
63 |
59 62
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
64 |
51 63
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → 0 < ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) |
65 |
|
pcqmul |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) = ( ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) + ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
66 |
65
|
3adant1r |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) = ( ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) + ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
67 |
66
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) = ( 𝑁 ↑ ( ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) + ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
68 |
22
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
69 |
68
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
70 |
28
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
71 |
47
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
72 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
73 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑧 ∈ ℚ ) |
74 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑧 ≠ 0 ) |
75 |
|
pcqcl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ∈ ℤ ) |
76 |
72 73 74 75
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ∈ ℤ ) |
77 |
|
expaddz |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 ↑ ( ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) + ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) · ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
78 |
69 70 71 76 77
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) + ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) · ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
79 |
67 78
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) · ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
80 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑦 ∈ ℚ ) |
81 |
|
qmulcl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ ) → ( 𝑦 · 𝑧 ) ∈ ℚ ) |
82 |
80 73 81
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑦 · 𝑧 ) ∈ ℚ ) |
83 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 · 𝑧 ) → ( 𝑥 = 0 ↔ ( 𝑦 · 𝑧 ) = 0 ) ) |
84 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 · 𝑧 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) = ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) |
85 |
84
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 · 𝑧 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) |
86 |
83 85
|
ifbieq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 · 𝑧 ) → if ( 𝑥 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) ) = if ( ( 𝑦 · 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
87 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ∈ V |
88 |
42 87
|
ifex |
⊢ if ( ( 𝑦 · 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ V |
89 |
86 3 88
|
fvmpt |
⊢ ( ( 𝑦 · 𝑧 ) ∈ ℚ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 · 𝑧 ) ) = if ( ( 𝑦 · 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
90 |
82 89
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 · 𝑧 ) ) = if ( ( 𝑦 · 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
91 |
|
qcn |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℂ ) |
92 |
80 91
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
93 |
|
qcn |
⊢ ( 𝑧 ∈ ℚ → 𝑧 ∈ ℂ ) |
94 |
73 93
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
95 |
|
simp2r |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑦 ≠ 0 ) |
96 |
92 94 95 74
|
mulne0d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑦 · 𝑧 ) ≠ 0 ) |
97 |
96
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ¬ ( 𝑦 · 𝑧 ) = 0 ) |
98 |
97
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → if ( ( 𝑦 · 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) |
99 |
90 98
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 · 𝑧 ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) |
100 |
63
|
3expb |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
101 |
100
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
102 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 = 0 ↔ 𝑧 = 0 ) ) |
103 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) = ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) |
104 |
103
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
105 |
102 104
|
ifbieq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → if ( 𝑥 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑧 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
106 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ∈ V |
107 |
42 106
|
ifex |
⊢ if ( 𝑧 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ∈ V |
108 |
105 3 107
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑧 ∈ ℚ → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = if ( 𝑧 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
109 |
73 108
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = if ( 𝑧 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
110 |
74
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ¬ 𝑧 = 0 ) |
111 |
110
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → if ( 𝑧 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
112 |
109 111
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
113 |
101 112
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) · ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
114 |
79 99 113
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 · 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) |
115 |
|
iftrue |
⊢ ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 → if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) = 0 ) |
116 |
115
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 → ( if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ↔ 0 ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) ) |
117 |
|
ifnefalse |
⊢ ( ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 → if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) |
118 |
117
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) |
119 |
71
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
120 |
119
|
zred |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
121 |
76
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ∈ ℤ ) |
122 |
121
|
zred |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ∈ ℝ ) |
123 |
22
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
124 |
123
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
125 |
70
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
126 |
72
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
127 |
|
qaddcl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ ) → ( 𝑦 + 𝑧 ) ∈ ℚ ) |
128 |
80 73 127
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑦 + 𝑧 ) ∈ ℚ ) |
129 |
128
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑦 + 𝑧 ) ∈ ℚ ) |
130 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) |
131 |
|
pcqcl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( ( 𝑦 + 𝑧 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ∈ ℤ ) |
132 |
126 129 130 131
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ∈ ℤ ) |
133 |
132
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ∈ ℤ ) |
134 |
124 125 133
|
reexpclzd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
135 |
119
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
136 |
124 125 135
|
reexpclzd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
137 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ) |
138 |
137 22
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
139 |
137 28
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
140 |
138 139 119
|
reexpclzd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
141 |
138 139 121
|
reexpclzd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
142 |
140 141
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
143 |
142
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
144 |
126
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
145 |
80
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → 𝑦 ∈ ℚ ) |
146 |
73
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ ℚ ) |
147 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) |
148 |
144 145 146 147
|
pcadd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) |
149 |
137 27
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
150 |
25
|
simprd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝑁 < 1 ) |
151 |
137 150
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → 𝑁 < 1 ) |
152 |
149 119 132 151
|
ltexp2rd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) < ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ↔ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) < ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
153 |
152
|
notbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ¬ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) < ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ↔ ¬ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) < ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
154 |
132
|
zred |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
155 |
120 154
|
lenltd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) < ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
156 |
138 139 132
|
reexpclzd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
157 |
156 140
|
lenltd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ↔ ¬ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) < ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
158 |
153 155 157
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) ) |
159 |
158
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
160 |
148 159
|
syldan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
161 |
27
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
162 |
161 76
|
rpexpcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ∈ ℝ+ ) |
163 |
162
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ∈ ℝ+ ) |
164 |
163
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → 0 ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
165 |
140 141
|
addge01d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 0 ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) ) |
166 |
164 165
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
167 |
166
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
168 |
134 136 143 160 167
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
169 |
156
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
170 |
141
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
171 |
142
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
172 |
126
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
173 |
73
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → 𝑧 ∈ ℚ ) |
174 |
80
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ ℚ ) |
175 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) |
176 |
172 173 174 175
|
pcadd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑧 + 𝑦 ) ) ) |
177 |
92 94
|
addcomd |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑦 + 𝑧 ) = ( 𝑧 + 𝑦 ) ) |
178 |
177
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( 𝑃 pCnt ( 𝑧 + 𝑦 ) ) ) |
179 |
178
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( 𝑃 pCnt ( 𝑧 + 𝑦 ) ) ) |
180 |
176 179
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) |
181 |
149 121 132 151
|
ltexp2rd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) < ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ↔ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) < ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
182 |
181
|
notbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ¬ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) < ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ↔ ¬ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) < ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
183 |
122 154
|
lenltd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) < ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
184 |
156 141
|
lenltd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) < ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
185 |
182 183 184
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
186 |
185
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
187 |
180 186
|
syldan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) |
188 |
161 71
|
rpexpcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ∈ ℝ+ ) |
189 |
188
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ∈ ℝ+ ) |
190 |
189
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → 0 ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ) |
191 |
141 140
|
addge02d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 0 ≤ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) ) |
192 |
190 191
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
193 |
192
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
194 |
169 170 171 187 193
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
195 |
120 122 168 194
|
lecasei |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
196 |
118 195
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑦 + 𝑧 ) ≠ 0 ) → if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
197 |
188 162
|
rpaddcld |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
198 |
197
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
199 |
116 196 198
|
pm2.61ne |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
200 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑧 ) → ( 𝑥 = 0 ↔ ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 ) ) |
201 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑧 ) → ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) = ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) |
202 |
201
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑧 ) → ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) = ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) |
203 |
200 202
|
ifbieq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑧 ) → if ( 𝑥 = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑥 ) ) ) = if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
204 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ∈ V |
205 |
42 204
|
ifex |
⊢ if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ∈ V |
206 |
203 3 205
|
fvmpt |
⊢ ( ( 𝑦 + 𝑧 ) ∈ ℚ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
207 |
128 206
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = if ( ( 𝑦 + 𝑧 ) = 0 , 0 , ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) ) ) |
208 |
101 112
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑦 ) ) + ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 pCnt 𝑧 ) ) ) ) |
209 |
199 207 208
|
3brtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) |
210 |
4 6 10 13 15 18 37 44 64 114 209
|
isabvd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 (,) 1 ) ) → 𝐹 ∈ 𝐴 ) |