| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
pfxcl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ∈ Word 𝑉 ) |
| 2 |
|
revcl |
⊢ ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ∈ Word 𝑉 → ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ∈ Word 𝑉 ) |
| 3 |
|
wrdfn |
⊢ ( ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ∈ Word 𝑉 → ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) ) ) |
| 4 |
1 2 3
|
3syl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) ) ) |
| 5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) ) ) |
| 6 |
|
revlen |
⊢ ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) = ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) |
| 7 |
1 6
|
syl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) = ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) |
| 8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) = ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) |
| 9 |
|
pfxlen |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) = 𝐿 ) |
| 10 |
8 9
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) = 𝐿 ) |
| 11 |
10
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) ) = ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 12 |
11
|
fneq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) ) ↔ ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) Fn ( 0 ..^ 𝐿 ) ) ) |
| 13 |
5 12
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) Fn ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 14 |
|
revcl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( reverse ‘ 𝑊 ) ∈ Word 𝑉 ) |
| 15 |
|
swrdcl |
⊢ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ∈ Word 𝑉 → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ∈ Word 𝑉 ) |
| 16 |
|
wrdfn |
⊢ ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ∈ Word 𝑉 → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) ) ) |
| 17 |
14 15 16
|
3syl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) ) ) |
| 18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) ) ) |
| 19 |
|
fznn0sub2 |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 20 |
|
lencl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ) |
| 21 |
|
nn0fz0 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 22 |
20 21
|
sylib |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 23 |
|
revlen |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ ( reverse ‘ 𝑊 ) ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
| 24 |
23
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( 0 ... ( ♯ ‘ ( reverse ‘ 𝑊 ) ) ) = ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 25 |
22 24
|
eleqtrrd |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( reverse ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
| 26 |
|
swrdlen |
⊢ ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( reverse ‘ 𝑊 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) |
| 27 |
14 19 25 26
|
syl3an |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) → ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) |
| 28 |
27
|
3anidm13 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) |
| 29 |
20
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℂ ) |
| 30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℂ ) |
| 31 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 𝐿 ∈ ℤ ) |
| 32 |
31
|
zcnd |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 𝐿 ∈ ℂ ) |
| 33 |
32
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → 𝐿 ∈ ℂ ) |
| 34 |
30 33
|
nncand |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) = 𝐿 ) |
| 35 |
28 34
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) = 𝐿 ) |
| 36 |
35
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) ) = ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 37 |
36
|
fneq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) ) ↔ ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ 𝐿 ) ) ) |
| 38 |
18 37
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 39 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
| 40 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 41 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) = ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 42 |
41
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) = ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 43 |
40 42
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) ) |
| 44 |
|
revfv |
⊢ ( ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) ) → ( ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 45 |
1 44
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ) ) → ( ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 46 |
39 43 45
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 47 |
9
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) − 1 ) = ( 𝐿 − 1 ) ) |
| 48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) |
| 49 |
48
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) ) = ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 50 |
49
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) ) = ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 51 |
32
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → 𝐿 ∈ ℂ ) |
| 52 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
| 53 |
52
|
zcnd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 54 |
53
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 55 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 56 |
51 54 55
|
sub32d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( 𝐿 − 𝑥 ) − 1 ) = ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) |
| 57 |
|
ubmelm1fzo |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) → ( ( 𝐿 − 𝑥 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 58 |
57
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( 𝐿 − 𝑥 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 59 |
56 58
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 60 |
|
pfxfv |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 61 |
59 60
|
syld3an3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 62 |
46 50 61
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 63 |
34
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) = ( 0 ..^ 𝐿 ) ) |
| 64 |
63
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) ) |
| 65 |
64
|
biimp3ar |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 66 |
|
id |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) ) |
| 67 |
66
|
3anidm13 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) ) |
| 68 |
|
swrdfv |
⊢ ( ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( reverse ‘ 𝑊 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) → ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) = ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 69 |
14 68
|
syl3anl1 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( reverse ‘ 𝑊 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) → ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) = ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 70 |
25 69
|
syl3anl3 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) → ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) = ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 71 |
67 70
|
stoic3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) → ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) = ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 72 |
19 71
|
syl3an2 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) → ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) = ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 73 |
65 72
|
syld3an3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) = ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 74 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
| 75 |
|
elfzuz3 |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ) |
| 76 |
32
|
addid2d |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 0 + 𝐿 ) = 𝐿 ) |
| 77 |
76
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 𝐿 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ) |
| 78 |
75 77
|
eleqtrrd |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 𝐿 ) ) ) |
| 79 |
|
eluzsub |
⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 𝐿 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
| 80 |
74 31 78 79
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
| 81 |
|
fzoss1 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 82 |
80 81
|
syl |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 83 |
82
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 84 |
20
|
nn0zd |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℤ ) |
| 85 |
84
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℤ ) |
| 86 |
31
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → 𝐿 ∈ ℤ ) |
| 87 |
85 86
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ℤ ) |
| 88 |
|
fzo0addel |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ∈ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ..^ ( 𝐿 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 89 |
40 87 88
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ∈ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ..^ ( 𝐿 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 90 |
30
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℂ ) |
| 91 |
51 90
|
pncan3d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( 𝐿 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
| 92 |
91
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ..^ ( 𝐿 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 93 |
89 92
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ∈ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 94 |
83 93
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 95 |
|
revfv |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) ) |
| 96 |
39 94 95
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) ) |
| 97 |
90 55
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
| 98 |
87
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ∈ ℂ ) |
| 99 |
97 54 98
|
sub32d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) − 𝑥 ) ) |
| 100 |
97 54 98
|
subsub4d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) |
| 101 |
90 55 98
|
sub32d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) − 1 ) ) |
| 102 |
101
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) − 𝑥 ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) ) |
| 103 |
99 100 102
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) ) |
| 104 |
34
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) = 𝐿 ) |
| 105 |
104
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) − 1 ) = ( 𝐿 − 1 ) ) |
| 106 |
105
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) − 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) |
| 107 |
103 106
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) = ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) |
| 108 |
107
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − ( 𝑥 + ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) ) ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 109 |
73 96 108
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝐿 − 1 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 110 |
62 109
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 111 |
110
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝐿 ) ) → ( ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 112 |
13 38 111
|
eqfnfvd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( reverse ‘ ( 𝑊 prefix 𝐿 ) ) = ( ( reverse ‘ 𝑊 ) substr ⟨ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 𝐿 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) ⟩ ) ) |