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Theorem ballotlemfrceq

Description: Value of F for a reverse counting ( RC ) . (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r 
|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
ballotlemg 
|- .^ = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
Assertion ballotlemfrceq 
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 ballotth.r 
 |-  R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
11 ballotlemg 
 |-  .^ = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsel1i 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
13 1zzd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 e. ZZ )
14 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemiex 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
15 14 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
16 15 simpld 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
17 16 elfzelzd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
18 elfzuz3 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
19 fzss2 
 |-  ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
20 16 18 19 3syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
21 simpr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
22 20 21 sseldd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsdom 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
24 22 23 syldan 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
25 24 elfzelzd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
26 fzsubel 
 |-  ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
27 13 17 25 13 26 syl22anc 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
28 12 27 mpbid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
29 1m1e0 
 |-  ( 1 - 1 ) = 0
30 29 oveq1i 
 |-  ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) )
31 28 30 eleqtrdi 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
32 14 simpld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
33 32 elfzelzd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
34 1zzd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
35 33 34 zsubcld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
36 nnaddcl 
 |-  ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
37 1 2 36 mp2an 
 |-  ( M + N ) e. NN
38 37 nnzi 
 |-  ( M + N ) e. ZZ
39 38 a1i 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
40 elfzle2 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
41 32 40 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
42 zlem1lt 
 |-  ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
43 33 39 42 syl2anc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
44 35 zred 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
45 39 zred 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
46 ltle 
 |-  ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
47 44 45 46 syl2anc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
48 43 47 sylbid 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
49 41 48 mpd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
50 eluz2 
 |-  ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
51 35 39 49 50 syl3anbrc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
52 fzss2 
 |-  ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
53 51 52 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
54 53 sselda 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
55 31 54 syldan 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfg 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
57 55 56 syldan 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
58 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfrc 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
59 57 58 oveq12d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
60 fzsplit3 
 |-  ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
61 12 60 syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
62 61 oveq2d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = ( C .^ ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
63 fz1ssfz0 
 |-  ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) )
64 63 sseli 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfg 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
66 64 65 sylan2 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
67 16 66 syldan 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
68 15 simprd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
69 67 68 eqtr3d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = 0 )
70 fzfi 
 |-  ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
71 eldifi 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> C e. O )
72 1 2 3 ballotlemelo 
 |-  ( C e. O <-> ( C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` C ) = M ) )
73 72 simplbi 
 |-  ( C e. O -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
74 71 73 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
75 ssfi 
 |-  ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> C e. Fin )
76 70 74 75 sylancr 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> C e. Fin )
77 76 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. Fin )
78 fzfid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. Fin )
79 fzfid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) e. Fin )
80 25 zred 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. RR )
81 ltm1 
 |-  ( ( ( S ` C ) ` J ) e. RR -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( ( S ` C ) ` J ) )
82 fzdisj 
 |-  ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( ( S ` C ) ` J ) -> ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) i^i ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) = (/) )
83 80 81 82 3syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) i^i ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) = (/) )
84 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 77 78 79 83 ballotlemgun 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
85 62 69 84 3eqtr3rd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) = 0 )
86 59 85 eqtrd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 )
87 71 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. O )
88 25 13 zsubcld 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
89 1 2 3 4 5 87 88 ballotlemfelz 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. ZZ )
90 89 zcnd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC )
91 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemro 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
92 91 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
93 21 elfzelzd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
94 1 2 3 4 5 92 93 ballotlemfelz 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
95 94 zcnd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
96 addeq0 
 |-  ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC /\ ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
97 90 95 96 syl2anc 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
98 86 97 mpbid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )