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Theorem ballotlemfrceq

Description: Value of F for a reverse counting ( RC ) . (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r 
|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
ballotlemg 
|- .^ = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
Assertion ballotlemfrceq 
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 ballotth.r 
 |-  R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
11 ballotlemg 
 |-  .^ = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsel1i 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
13 1zzd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 e. ZZ )
14 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemiex 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
15 14 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
16 15 simpld 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
17 elfzelz 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
18 16 17 syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
19 elfzuz3 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
20 fzss2 
 |-  ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
21 16 19 20 3syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
22 simpr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
23 21 22 sseldd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsdom 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
25 23 24 syldan 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
26 elfzelz 
 |-  ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
27 25 26 syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
28 fzsubel 
 |-  ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
29 13 18 27 13 28 syl22anc 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
30 12 29 mpbid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
31 1m1e0 
 |-  ( 1 - 1 ) = 0
32 31 oveq1i 
 |-  ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) )
33 30 32 eleqtrdi 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
34 14 simpld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
35 34 17 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
36 1zzd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
37 35 36 zsubcld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
38 nnaddcl 
 |-  ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
39 1 2 38 mp2an 
 |-  ( M + N ) e. NN
40 39 nnzi 
 |-  ( M + N ) e. ZZ
41 40 a1i 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
42 elfzle2 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
43 34 42 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
44 zlem1lt 
 |-  ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
45 35 41 44 syl2anc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
46 37 zred 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
47 41 zred 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
48 ltle 
 |-  ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
49 46 47 48 syl2anc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
50 45 49 sylbid 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
51 43 50 mpd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
52 eluz2 
 |-  ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
53 37 41 51 52 syl3anbrc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
54 fzss2 
 |-  ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
55 53 54 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
56 55 sselda 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
57 33 56 syldan 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
58 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfg 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
59 57 58 syldan 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfrc 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
61 59 60 oveq12d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
62 fzsplit3 
 |-  ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
63 12 62 syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
64 63 oveq2d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = ( C .^ ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
65 fz1ssfz0 
 |-  ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) )
66 65 sseli 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
67 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfg 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
68 66 67 sylan2 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
69 16 68 syldan 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
70 15 simprd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
71 69 70 eqtr3d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = 0 )
72 fzfi 
 |-  ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
73 eldifi 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> C e. O )
74 1 2 3 ballotlemelo 
 |-  ( C e. O <-> ( C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` C ) = M ) )
75 74 simplbi 
 |-  ( C e. O -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
76 73 75 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
77 ssfi 
 |-  ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> C e. Fin )
78 72 76 77 sylancr 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> C e. Fin )
79 78 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. Fin )
80 fzfid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. Fin )
81 fzfid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) e. Fin )
82 27 zred 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. RR )
83 ltm1 
 |-  ( ( ( S ` C ) ` J ) e. RR -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( ( S ` C ) ` J ) )
84 fzdisj 
 |-  ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( ( S ` C ) ` J ) -> ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) i^i ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) = (/) )
85 82 83 84 3syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) i^i ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) = (/) )
86 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 79 80 81 85 ballotlemgun 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
87 64 71 86 3eqtr3rd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) = 0 )
88 61 87 eqtrd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 )
89 73 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. O )
90 27 13 zsubcld 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
91 1 2 3 4 5 89 90 ballotlemfelz 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. ZZ )
92 91 zcnd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC )
93 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemro 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
94 93 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
95 elfzelz 
 |-  ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
96 22 95 syl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
97 1 2 3 4 5 94 96 ballotlemfelz 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
98 97 zcnd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
99 addeq0 
 |-  ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC /\ ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
100 92 98 99 syl2anc 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
101 88 100 mpbid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )