Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
logcn.d |
|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |
2 |
|
logf1o |
|- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log |
3 |
|
f1ofun |
|- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun log ) |
4 |
2 3
|
ax-mp |
|- Fun log |
5 |
1
|
logdmss |
|- D C_ ( CC \ { 0 } ) |
6 |
|
f1odm |
|- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> dom log = ( CC \ { 0 } ) ) |
7 |
2 6
|
ax-mp |
|- dom log = ( CC \ { 0 } ) |
8 |
5 7
|
sseqtrri |
|- D C_ dom log |
9 |
|
funimass4 |
|- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) ) ) |
10 |
4 8 9
|
mp2an |
|- ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) ) |
11 |
1
|
ellogdm |
|- ( x e. D <-> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) ) |
12 |
11
|
simplbi |
|- ( x e. D -> x e. CC ) |
13 |
1
|
logdmn0 |
|- ( x e. D -> x =/= 0 ) |
14 |
12 13
|
logcld |
|- ( x e. D -> ( log ` x ) e. CC ) |
15 |
14
|
imcld |
|- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR ) |
16 |
12 13
|
logimcld |
|- ( x e. D -> ( -u _pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) <_ _pi ) ) |
17 |
16
|
simpld |
|- ( x e. D -> -u _pi < ( Im ` ( log ` x ) ) ) |
18 |
|
pire |
|- _pi e. RR |
19 |
18
|
a1i |
|- ( x e. D -> _pi e. RR ) |
20 |
16
|
simprd |
|- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) <_ _pi ) |
21 |
1
|
logdmnrp |
|- ( x e. D -> -. -u x e. RR+ ) |
22 |
|
lognegb |
|- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = _pi ) ) |
23 |
12 13 22
|
syl2anc |
|- ( x e. D -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = _pi ) ) |
24 |
23
|
necon3bbid |
|- ( x e. D -> ( -. -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= _pi ) ) |
25 |
21 24
|
mpbid |
|- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= _pi ) |
26 |
25
|
necomd |
|- ( x e. D -> _pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) ) |
27 |
15 19 20 26
|
leneltd |
|- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) < _pi ) |
28 |
18
|
renegcli |
|- -u _pi e. RR |
29 |
28
|
rexri |
|- -u _pi e. RR* |
30 |
18
|
rexri |
|- _pi e. RR* |
31 |
|
elioo2 |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ _pi e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u _pi (,) _pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u _pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < _pi ) ) ) |
32 |
29 30 31
|
mp2an |
|- ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u _pi (,) _pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u _pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < _pi ) ) |
33 |
15 17 27 32
|
syl3anbrc |
|- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u _pi (,) _pi ) ) |
34 |
|
imf |
|- Im : CC --> RR |
35 |
|
ffn |
|- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC ) |
36 |
|
elpreima |
|- ( Im Fn CC -> ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u _pi (,) _pi ) ) ) ) |
37 |
34 35 36
|
mp2b |
|- ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u _pi (,) _pi ) ) ) |
38 |
14 33 37
|
sylanbrc |
|- ( x e. D -> ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) ) |
39 |
10 38
|
mprgbir |
|- ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) |
40 |
|
df-ioo |
|- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } ) |
41 |
|
df-ioc |
|- (,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z <_ y ) } ) |
42 |
|
idd |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( -u _pi < w -> -u _pi < w ) ) |
43 |
|
xrltle |
|- ( ( w e. RR* /\ _pi e. RR* ) -> ( w < _pi -> w <_ _pi ) ) |
44 |
40 41 42 43
|
ixxssixx |
|- ( -u _pi (,) _pi ) C_ ( -u _pi (,] _pi ) |
45 |
|
imass2 |
|- ( ( -u _pi (,) _pi ) C_ ( -u _pi (,] _pi ) -> ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) C_ ( `' Im " ( -u _pi (,] _pi ) ) ) |
46 |
44 45
|
ax-mp |
|- ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) C_ ( `' Im " ( -u _pi (,] _pi ) ) |
47 |
|
logrn |
|- ran log = ( `' Im " ( -u _pi (,] _pi ) ) |
48 |
46 47
|
sseqtrri |
|- ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) C_ ran log |
49 |
48
|
sseli |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> x e. ran log ) |
50 |
|
logef |
|- ( x e. ran log -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x ) |
51 |
49 50
|
syl |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x ) |
52 |
|
elpreima |
|- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u _pi (,) _pi ) ) ) ) |
53 |
34 35 52
|
mp2b |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u _pi (,) _pi ) ) ) |
54 |
|
efcl |
|- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC ) |
55 |
54
|
adantr |
|- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC ) |
56 |
53 55
|
sylbi |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC ) |
57 |
53
|
simplbi |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> x e. CC ) |
58 |
57
|
imcld |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( Im ` x ) e. RR ) |
59 |
|
eliooord |
|- ( ( Im ` x ) e. ( -u _pi (,) _pi ) -> ( -u _pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < _pi ) ) |
60 |
53 59
|
simplbiim |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( -u _pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < _pi ) ) |
61 |
60
|
simprd |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( Im ` x ) < _pi ) |
62 |
58 61
|
ltned |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( Im ` x ) =/= _pi ) |
63 |
51
|
adantr |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x ) |
64 |
63
|
fveq2d |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = ( Im ` x ) ) |
65 |
|
simpr |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) |
66 |
|
mnfxr |
|- -oo e. RR* |
67 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
68 |
|
elioc2 |
|- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) <-> ( ( exp ` x ) e. RR /\ -oo < ( exp ` x ) /\ ( exp ` x ) <_ 0 ) ) ) |
69 |
66 67 68
|
mp2an |
|- ( ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) <-> ( ( exp ` x ) e. RR /\ -oo < ( exp ` x ) /\ ( exp ` x ) <_ 0 ) ) |
70 |
65 69
|
sylib |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( ( exp ` x ) e. RR /\ -oo < ( exp ` x ) /\ ( exp ` x ) <_ 0 ) ) |
71 |
70
|
simp1d |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) e. RR ) |
72 |
|
0red |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> 0 e. RR ) |
73 |
70
|
simp3d |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) <_ 0 ) |
74 |
|
efne0 |
|- ( x e. CC -> ( exp ` x ) =/= 0 ) |
75 |
57 74
|
syl |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( exp ` x ) =/= 0 ) |
76 |
75
|
adantr |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) =/= 0 ) |
77 |
76
|
necomd |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> 0 =/= ( exp ` x ) ) |
78 |
71 72 73 77
|
leneltd |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) < 0 ) |
79 |
71 78
|
negelrpd |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> -u ( exp ` x ) e. RR+ ) |
80 |
|
lognegb |
|- ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( exp ` x ) =/= 0 ) -> ( -u ( exp ` x ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = _pi ) ) |
81 |
56 75 80
|
syl2anc |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( -u ( exp ` x ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = _pi ) ) |
82 |
81
|
adantr |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( -u ( exp ` x ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = _pi ) ) |
83 |
79 82
|
mpbid |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = _pi ) |
84 |
64 83
|
eqtr3d |
|- ( ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( Im ` x ) = _pi ) |
85 |
84
|
ex |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) -> ( Im ` x ) = _pi ) ) |
86 |
85
|
necon3ad |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( ( Im ` x ) =/= _pi -> -. ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) ) |
87 |
62 86
|
mpd |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> -. ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) |
88 |
56 87
|
eldifd |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( exp ` x ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) |
89 |
88 1
|
eleqtrrdi |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( exp ` x ) e. D ) |
90 |
|
funfvima2 |
|- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) ) |
91 |
4 8 90
|
mp2an |
|- ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) |
92 |
89 91
|
syl |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) |
93 |
51 92
|
eqeltrrd |
|- ( x e. ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) -> x e. ( log " D ) ) |
94 |
93
|
ssriv |
|- ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) C_ ( log " D ) |
95 |
39 94
|
eqssi |
|- ( log " D ) = ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) |
96 |
|
imcncf |
|- Im e. ( CC -cn-> RR ) |
97 |
|
ssid |
|- CC C_ CC |
98 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
99 |
|
eqid |
|- ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld ) |
100 |
99
|
cnfldtopon |
|- ( TopOpen ` CCfld ) e. ( TopOn ` CC ) |
101 |
100
|
toponrestid |
|- ( TopOpen ` CCfld ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t CC ) |
102 |
99
|
tgioo2 |
|- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR ) |
103 |
99 101 102
|
cncfcn |
|- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
104 |
97 98 103
|
mp2an |
|- ( CC -cn-> RR ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) |
105 |
96 104
|
eleqtri |
|- Im e. ( ( TopOpen ` CCfld ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) |
106 |
|
iooretop |
|- ( -u _pi (,) _pi ) e. ( topGen ` ran (,) ) |
107 |
|
cnima |
|- ( ( Im e. ( ( TopOpen ` CCfld ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) /\ ( -u _pi (,) _pi ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) e. ( TopOpen ` CCfld ) ) |
108 |
105 106 107
|
mp2an |
|- ( `' Im " ( -u _pi (,) _pi ) ) e. ( TopOpen ` CCfld ) |
109 |
95 108
|
eqeltri |
|- ( log " D ) e. ( TopOpen ` CCfld ) |