Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xpord2.1 |
|- T = { <. x , y >. | ( x e. ( A X. B ) /\ y e. ( A X. B ) /\ ( ( ( 1st ` x ) R ( 1st ` y ) \/ ( 1st ` x ) = ( 1st ` y ) ) /\ ( ( 2nd ` x ) S ( 2nd ` y ) \/ ( 2nd ` x ) = ( 2nd ` y ) ) /\ x =/= y ) ) } |
2 |
|
frxp2.1 |
|- ( ph -> R Fr A ) |
3 |
|
frxp2.2 |
|- ( ph -> S Fr B ) |
4 |
|
dmss |
|- ( s C_ ( A X. B ) -> dom s C_ dom ( A X. B ) ) |
5 |
4
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> dom s C_ dom ( A X. B ) ) |
6 |
|
dmxpss |
|- dom ( A X. B ) C_ A |
7 |
5 6
|
sstrdi |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> dom s C_ A ) |
8 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> s =/= (/) ) |
9 |
|
relxp |
|- Rel ( A X. B ) |
10 |
|
relss |
|- ( s C_ ( A X. B ) -> ( Rel ( A X. B ) -> Rel s ) ) |
11 |
9 10
|
mpi |
|- ( s C_ ( A X. B ) -> Rel s ) |
12 |
11
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> Rel s ) |
13 |
|
reldm0 |
|- ( Rel s -> ( s = (/) <-> dom s = (/) ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> ( s = (/) <-> dom s = (/) ) ) |
15 |
14
|
necon3bid |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> ( s =/= (/) <-> dom s =/= (/) ) ) |
16 |
8 15
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> dom s =/= (/) ) |
17 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> R Fr A ) |
18 |
|
df-fr |
|- ( R Fr A <-> A. c ( ( c C_ A /\ c =/= (/) ) -> E. a e. c A. b e. c -. b R a ) ) |
19 |
17 18
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> A. c ( ( c C_ A /\ c =/= (/) ) -> E. a e. c A. b e. c -. b R a ) ) |
20 |
|
vex |
|- s e. _V |
21 |
20
|
dmex |
|- dom s e. _V |
22 |
|
sseq1 |
|- ( c = dom s -> ( c C_ A <-> dom s C_ A ) ) |
23 |
|
neeq1 |
|- ( c = dom s -> ( c =/= (/) <-> dom s =/= (/) ) ) |
24 |
22 23
|
anbi12d |
|- ( c = dom s -> ( ( c C_ A /\ c =/= (/) ) <-> ( dom s C_ A /\ dom s =/= (/) ) ) ) |
25 |
|
raleq |
|- ( c = dom s -> ( A. b e. c -. b R a <-> A. b e. dom s -. b R a ) ) |
26 |
25
|
rexeqbi1dv |
|- ( c = dom s -> ( E. a e. c A. b e. c -. b R a <-> E. a e. dom s A. b e. dom s -. b R a ) ) |
27 |
24 26
|
imbi12d |
|- ( c = dom s -> ( ( ( c C_ A /\ c =/= (/) ) -> E. a e. c A. b e. c -. b R a ) <-> ( ( dom s C_ A /\ dom s =/= (/) ) -> E. a e. dom s A. b e. dom s -. b R a ) ) ) |
28 |
21 27
|
spcv |
|- ( A. c ( ( c C_ A /\ c =/= (/) ) -> E. a e. c A. b e. c -. b R a ) -> ( ( dom s C_ A /\ dom s =/= (/) ) -> E. a e. dom s A. b e. dom s -. b R a ) ) |
29 |
19 28
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> ( ( dom s C_ A /\ dom s =/= (/) ) -> E. a e. dom s A. b e. dom s -. b R a ) ) |
30 |
7 16 29
|
mp2and |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> E. a e. dom s A. b e. dom s -. b R a ) |
31 |
|
imassrn |
|- ( s " { a } ) C_ ran s |
32 |
|
rnss |
|- ( s C_ ( A X. B ) -> ran s C_ ran ( A X. B ) ) |
33 |
32
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> ran s C_ ran ( A X. B ) ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> ran s C_ ran ( A X. B ) ) |
35 |
|
rnxpss |
|- ran ( A X. B ) C_ B |
36 |
34 35
|
sstrdi |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> ran s C_ B ) |
37 |
31 36
|
sstrid |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> ( s " { a } ) C_ B ) |
38 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> a e. dom s ) |
39 |
|
imadisj |
|- ( ( s " { a } ) = (/) <-> ( dom s i^i { a } ) = (/) ) |
40 |
|
disjsn |
|- ( ( dom s i^i { a } ) = (/) <-> -. a e. dom s ) |
41 |
39 40
|
bitri |
|- ( ( s " { a } ) = (/) <-> -. a e. dom s ) |
42 |
41
|
necon2abii |
|- ( a e. dom s <-> ( s " { a } ) =/= (/) ) |
43 |
38 42
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> ( s " { a } ) =/= (/) ) |
44 |
|
df-fr |
|- ( S Fr B <-> A. e ( ( e C_ B /\ e =/= (/) ) -> E. c e. e A. d e. e -. d S c ) ) |
45 |
3 44
|
sylib |
|- ( ph -> A. e ( ( e C_ B /\ e =/= (/) ) -> E. c e. e A. d e. e -. d S c ) ) |
46 |
45
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> A. e ( ( e C_ B /\ e =/= (/) ) -> E. c e. e A. d e. e -. d S c ) ) |
47 |
20
|
imaex |
|- ( s " { a } ) e. _V |
48 |
|
sseq1 |
|- ( e = ( s " { a } ) -> ( e C_ B <-> ( s " { a } ) C_ B ) ) |
49 |
|
neeq1 |
|- ( e = ( s " { a } ) -> ( e =/= (/) <-> ( s " { a } ) =/= (/) ) ) |
50 |
48 49
|
anbi12d |
|- ( e = ( s " { a } ) -> ( ( e C_ B /\ e =/= (/) ) <-> ( ( s " { a } ) C_ B /\ ( s " { a } ) =/= (/) ) ) ) |
51 |
|
raleq |
|- ( e = ( s " { a } ) -> ( A. d e. e -. d S c <-> A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) |
52 |
51
|
rexeqbi1dv |
|- ( e = ( s " { a } ) -> ( E. c e. e A. d e. e -. d S c <-> E. c e. ( s " { a } ) A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) |
53 |
50 52
|
imbi12d |
|- ( e = ( s " { a } ) -> ( ( ( e C_ B /\ e =/= (/) ) -> E. c e. e A. d e. e -. d S c ) <-> ( ( ( s " { a } ) C_ B /\ ( s " { a } ) =/= (/) ) -> E. c e. ( s " { a } ) A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) ) |
54 |
47 53
|
spcv |
|- ( A. e ( ( e C_ B /\ e =/= (/) ) -> E. c e. e A. d e. e -. d S c ) -> ( ( ( s " { a } ) C_ B /\ ( s " { a } ) =/= (/) ) -> E. c e. ( s " { a } ) A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) |
55 |
46 54
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> ( ( ( s " { a } ) C_ B /\ ( s " { a } ) =/= (/) ) -> E. c e. ( s " { a } ) A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) |
56 |
37 43 55
|
mp2and |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> E. c e. ( s " { a } ) A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) |
57 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) -> c e. ( s " { a } ) ) |
58 |
|
vex |
|- a e. _V |
59 |
|
vex |
|- c e. _V |
60 |
58 59
|
elimasn |
|- ( c e. ( s " { a } ) <-> <. a , c >. e. s ) |
61 |
57 60
|
sylib |
|- ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) -> <. a , c >. e. s ) |
62 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) -> Rel s ) |
63 |
|
elrel |
|- ( ( Rel s /\ q e. s ) -> E. e E. f q = <. e , f >. ) |
64 |
62 63
|
sylan |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ q e. s ) -> E. e E. f q = <. e , f >. ) |
65 |
|
breq1 |
|- ( d = f -> ( d S c <-> f S c ) ) |
66 |
65
|
notbid |
|- ( d = f -> ( -. d S c <-> -. f S c ) ) |
67 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. a , f >. e. s ) -> A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) |
68 |
|
vex |
|- f e. _V |
69 |
58 68
|
elimasn |
|- ( f e. ( s " { a } ) <-> <. a , f >. e. s ) |
70 |
69
|
biimpri |
|- ( <. a , f >. e. s -> f e. ( s " { a } ) ) |
71 |
70
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. a , f >. e. s ) -> f e. ( s " { a } ) ) |
72 |
66 67 71
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. a , f >. e. s ) -> -. f S c ) |
73 |
72
|
intnanrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. a , f >. e. s ) -> -. ( f S c /\ f =/= c ) ) |
74 |
|
opeq1 |
|- ( e = a -> <. e , f >. = <. a , f >. ) |
75 |
74
|
eleq1d |
|- ( e = a -> ( <. e , f >. e. s <-> <. a , f >. e. s ) ) |
76 |
75
|
anbi2d |
|- ( e = a -> ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) <-> ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. a , f >. e. s ) ) ) |
77 |
|
3anass |
|- ( ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) <-> ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) ) |
78 |
|
olc |
|- ( e = a -> ( e R a \/ e = a ) ) |
79 |
78
|
biantrurd |
|- ( e = a -> ( ( ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) <-> ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) ) ) |
80 |
|
neeq1 |
|- ( e = a -> ( e =/= a <-> a =/= a ) ) |
81 |
80
|
orbi1d |
|- ( e = a -> ( ( e =/= a \/ f =/= c ) <-> ( a =/= a \/ f =/= c ) ) ) |
82 |
|
neirr |
|- -. a =/= a |
83 |
|
biorf |
|- ( -. a =/= a -> ( f =/= c <-> ( a =/= a \/ f =/= c ) ) ) |
84 |
82 83
|
ax-mp |
|- ( f =/= c <-> ( a =/= a \/ f =/= c ) ) |
85 |
81 84
|
bitr4di |
|- ( e = a -> ( ( e =/= a \/ f =/= c ) <-> f =/= c ) ) |
86 |
85
|
anbi2d |
|- ( e = a -> ( ( ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) <-> ( ( f S c \/ f = c ) /\ f =/= c ) ) ) |
87 |
|
andir |
|- ( ( ( f S c \/ f = c ) /\ f =/= c ) <-> ( ( f S c /\ f =/= c ) \/ ( f = c /\ f =/= c ) ) ) |
88 |
|
nonconne |
|- -. ( f = c /\ f =/= c ) |
89 |
88
|
biorfi |
|- ( ( f S c /\ f =/= c ) <-> ( ( f S c /\ f =/= c ) \/ ( f = c /\ f =/= c ) ) ) |
90 |
87 89
|
bitr4i |
|- ( ( ( f S c \/ f = c ) /\ f =/= c ) <-> ( f S c /\ f =/= c ) ) |
91 |
86 90
|
bitrdi |
|- ( e = a -> ( ( ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) <-> ( f S c /\ f =/= c ) ) ) |
92 |
79 91
|
bitr3d |
|- ( e = a -> ( ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) <-> ( f S c /\ f =/= c ) ) ) |
93 |
77 92
|
syl5bb |
|- ( e = a -> ( ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) <-> ( f S c /\ f =/= c ) ) ) |
94 |
93
|
notbid |
|- ( e = a -> ( -. ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) <-> -. ( f S c /\ f =/= c ) ) ) |
95 |
76 94
|
imbi12d |
|- ( e = a -> ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) -> -. ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. a , f >. e. s ) -> -. ( f S c /\ f =/= c ) ) ) ) |
96 |
73 95
|
mpbiri |
|- ( e = a -> ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) -> -. ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) ) |
97 |
96
|
impcom |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) /\ e = a ) -> -. ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) |
98 |
|
breq1 |
|- ( b = e -> ( b R a <-> e R a ) ) |
99 |
98
|
notbid |
|- ( b = e -> ( -. b R a <-> -. e R a ) ) |
100 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) -> A. b e. dom s -. b R a ) |
101 |
100
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) /\ e =/= a ) -> A. b e. dom s -. b R a ) |
102 |
|
vex |
|- e e. _V |
103 |
102 68
|
opeldm |
|- ( <. e , f >. e. s -> e e. dom s ) |
104 |
103
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) -> e e. dom s ) |
105 |
104
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) /\ e =/= a ) -> e e. dom s ) |
106 |
99 101 105
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) /\ e =/= a ) -> -. e R a ) |
107 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) /\ e =/= a ) -> e =/= a ) |
108 |
107
|
neneqd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) /\ e =/= a ) -> -. e = a ) |
109 |
|
ioran |
|- ( -. ( e R a \/ e = a ) <-> ( -. e R a /\ -. e = a ) ) |
110 |
106 108 109
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) /\ e =/= a ) -> -. ( e R a \/ e = a ) ) |
111 |
110
|
intn3an1d |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) /\ e =/= a ) -> -. ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) |
112 |
97 111
|
pm2.61dane |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) -> -. ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) |
113 |
112
|
intn3an3d |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) -> -. ( ( e e. A /\ f e. B ) /\ ( a e. A /\ c e. B ) /\ ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) ) |
114 |
|
eleq1 |
|- ( q = <. e , f >. -> ( q e. s <-> <. e , f >. e. s ) ) |
115 |
114
|
anbi2d |
|- ( q = <. e , f >. -> ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ q e. s ) <-> ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) ) ) |
116 |
|
breq1 |
|- ( q = <. e , f >. -> ( q T <. a , c >. <-> <. e , f >. T <. a , c >. ) ) |
117 |
1
|
xpord2lem |
|- ( <. e , f >. T <. a , c >. <-> ( ( e e. A /\ f e. B ) /\ ( a e. A /\ c e. B ) /\ ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) ) |
118 |
116 117
|
bitrdi |
|- ( q = <. e , f >. -> ( q T <. a , c >. <-> ( ( e e. A /\ f e. B ) /\ ( a e. A /\ c e. B ) /\ ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) ) ) |
119 |
118
|
notbid |
|- ( q = <. e , f >. -> ( -. q T <. a , c >. <-> -. ( ( e e. A /\ f e. B ) /\ ( a e. A /\ c e. B ) /\ ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) ) ) |
120 |
115 119
|
imbi12d |
|- ( q = <. e , f >. -> ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ q e. s ) -> -. q T <. a , c >. ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ <. e , f >. e. s ) -> -. ( ( e e. A /\ f e. B ) /\ ( a e. A /\ c e. B ) /\ ( ( e R a \/ e = a ) /\ ( f S c \/ f = c ) /\ ( e =/= a \/ f =/= c ) ) ) ) ) ) |
121 |
113 120
|
mpbiri |
|- ( q = <. e , f >. -> ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ q e. s ) -> -. q T <. a , c >. ) ) |
122 |
121
|
com12 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ q e. s ) -> ( q = <. e , f >. -> -. q T <. a , c >. ) ) |
123 |
122
|
exlimdvv |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ q e. s ) -> ( E. e E. f q = <. e , f >. -> -. q T <. a , c >. ) ) |
124 |
64 123
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) /\ q e. s ) -> -. q T <. a , c >. ) |
125 |
124
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) -> A. q e. s -. q T <. a , c >. ) |
126 |
|
breq2 |
|- ( p = <. a , c >. -> ( q T p <-> q T <. a , c >. ) ) |
127 |
126
|
notbid |
|- ( p = <. a , c >. -> ( -. q T p <-> -. q T <. a , c >. ) ) |
128 |
127
|
ralbidv |
|- ( p = <. a , c >. -> ( A. q e. s -. q T p <-> A. q e. s -. q T <. a , c >. ) ) |
129 |
128
|
rspcev |
|- ( ( <. a , c >. e. s /\ A. q e. s -. q T <. a , c >. ) -> E. p e. s A. q e. s -. q T p ) |
130 |
61 125 129
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) /\ ( c e. ( s " { a } ) /\ A. d e. ( s " { a } ) -. d S c ) ) -> E. p e. s A. q e. s -. q T p ) |
131 |
56 130
|
rexlimddv |
|- ( ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) /\ ( a e. dom s /\ A. b e. dom s -. b R a ) ) -> E. p e. s A. q e. s -. q T p ) |
132 |
30 131
|
rexlimddv |
|- ( ( ph /\ ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) ) -> E. p e. s A. q e. s -. q T p ) |
133 |
132
|
ex |
|- ( ph -> ( ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) -> E. p e. s A. q e. s -. q T p ) ) |
134 |
133
|
alrimiv |
|- ( ph -> A. s ( ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) -> E. p e. s A. q e. s -. q T p ) ) |
135 |
|
df-fr |
|- ( T Fr ( A X. B ) <-> A. s ( ( s C_ ( A X. B ) /\ s =/= (/) ) -> E. p e. s A. q e. s -. q T p ) ) |
136 |
134 135
|
sylibr |
|- ( ph -> T Fr ( A X. B ) ) |