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Theorem hgt750lem2

Description: Decimal multiplication galore! (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021)

Ref Expression
Assertion hgt750lem2
|- ( 3 x. ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) < ( 7 . _ 3 _ 4 8 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 1nn0
 |-  1 e. NN0
2 0re
 |-  0 e. RR
3 7re
 |-  7 e. RR
4 9re
 |-  9 e. RR
5 5re
 |-  5 e. RR
6 5 5 pm3.2i
 |-  ( 5 e. RR /\ 5 e. RR )
7 dp2cl
 |-  ( ( 5 e. RR /\ 5 e. RR ) -> _ 5 5 e. RR )
8 6 7 ax-mp
 |-  _ 5 5 e. RR
9 4 8 pm3.2i
 |-  ( 9 e. RR /\ _ 5 5 e. RR )
10 dp2cl
 |-  ( ( 9 e. RR /\ _ 5 5 e. RR ) -> _ 9 _ 5 5 e. RR )
11 9 10 ax-mp
 |-  _ 9 _ 5 5 e. RR
12 4 11 pm3.2i
 |-  ( 9 e. RR /\ _ 9 _ 5 5 e. RR )
13 dp2cl
 |-  ( ( 9 e. RR /\ _ 9 _ 5 5 e. RR ) -> _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR )
14 12 13 ax-mp
 |-  _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR
15 3 14 pm3.2i
 |-  ( 7 e. RR /\ _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR )
16 dp2cl
 |-  ( ( 7 e. RR /\ _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR ) -> _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR )
17 15 16 ax-mp
 |-  _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR
18 2 17 pm3.2i
 |-  ( 0 e. RR /\ _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR )
19 dp2cl
 |-  ( ( 0 e. RR /\ _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR ) -> _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR )
20 18 19 ax-mp
 |-  _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR
21 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR ) -> ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) e. RR )
22 1 20 21 mp2an
 |-  ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) e. RR
23 22 resqcli
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) e. RR
24 4nn0
 |-  4 e. NN0
25 4nn
 |-  4 e. NN
26 nnrp
 |-  ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
27 25 26 ax-mp
 |-  4 e. RR+
28 1 27 rpdp2cl
 |-  _ 1 4 e. RR+
29 24 28 rpdp2cl
 |-  _ 4 _ 1 4 e. RR+
30 1 29 rpdpcl
 |-  ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) e. RR+
31 rpre
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) e. RR+ -> ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) e. RR )
32 30 31 ax-mp
 |-  ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) e. RR
33 23 32 remulcli
 |-  ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) e. RR
34 6re
 |-  6 e. RR
35 1re
 |-  1 e. RR
36 5 35 pm3.2i
 |-  ( 5 e. RR /\ 1 e. RR )
37 dp2cl
 |-  ( ( 5 e. RR /\ 1 e. RR ) -> _ 5 1 e. RR )
38 36 37 ax-mp
 |-  _ 5 1 e. RR
39 34 38 pm3.2i
 |-  ( 6 e. RR /\ _ 5 1 e. RR )
40 dp2cl
 |-  ( ( 6 e. RR /\ _ 5 1 e. RR ) -> _ 6 _ 5 1 e. RR )
41 39 40 ax-mp
 |-  _ 6 _ 5 1 e. RR
42 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 6 _ 5 1 e. RR ) -> ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) e. RR )
43 1 41 42 mp2an
 |-  ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) e. RR
44 33 43 pm3.2i
 |-  ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) e. RR /\ ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) e. RR )
45 22 sqge0i
 |-  0 <_ ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 )
46 rpgt0
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) e. RR+ -> 0 < ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) )
47 30 46 ax-mp
 |-  0 < ( 1 . _ 4 _ 1 4 )
48 2 32 47 ltleii
 |-  0 <_ ( 1 . _ 4 _ 1 4 )
49 23 32 mulge0i
 |-  ( ( 0 <_ ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) /\ 0 <_ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) -> 0 <_ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) )
50 45 48 49 mp2an
 |-  0 <_ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) )
51 0nn0
 |-  0 e. NN0
52 7nn0
 |-  7 e. NN0
53 9nn0
 |-  9 e. NN0
54 5nn0
 |-  5 e. NN0
55 5nn
 |-  5 e. NN
56 nnrp
 |-  ( 5 e. NN -> 5 e. RR+ )
57 55 56 ax-mp
 |-  5 e. RR+
58 54 57 rpdp2cl
 |-  _ 5 5 e. RR+
59 53 58 rpdp2cl
 |-  _ 9 _ 5 5 e. RR+
60 53 59 rpdp2cl
 |-  _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR+
61 52 60 rpdp2cl
 |-  _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR+
62 51 61 rpdp2cl
 |-  _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 e. RR+
63 8nn
 |-  8 e. NN
64 63 rpdp2cl2
 |-  _ 8 0 e. RR+
65 51 64 rpdp2cl
 |-  _ 0 _ 8 0 e. RR+
66 9lt10
 |-  9 < ; 1 0
67 5lt10
 |-  5 < ; 1 0
68 54 57 67 67 dp2lt10
 |-  _ 5 5 < ; 1 0
69 53 58 66 68 dp2lt10
 |-  _ 9 _ 5 5 < ; 1 0
70 53 59 66 69 dp2lt10
 |-  _ 9 _ 9 _ 5 5 < ; 1 0
71 7p1e8
 |-  ( 7 + 1 ) = 8
72 52 60 70 71 dp2ltsuc
 |-  _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 < 8
73 8nn0
 |-  8 e. NN0
74 73 dp20u
 |-  _ 8 0 = 8
75 72 74 breqtrri
 |-  _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 < _ 8 0
76 51 61 64 75 dp2lt
 |-  _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 < _ 0 _ 8 0
77 1 62 65 76 dplt
 |-  ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) < ( 1 . _ 0 _ 8 0 )
78 1 62 rpdpcl
 |-  ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) e. RR+
79 rpge0
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) e. RR+ -> 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) )
80 78 79 ax-mp
 |-  0 <_ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 )
81 1 65 rpdpcl
 |-  ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) e. RR+
82 rpge0
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) e. RR+ -> 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) )
83 81 82 ax-mp
 |-  0 <_ ( 1 . _ 0 _ 8 0 )
84 8re
 |-  8 e. RR
85 84 2 pm3.2i
 |-  ( 8 e. RR /\ 0 e. RR )
86 dp2cl
 |-  ( ( 8 e. RR /\ 0 e. RR ) -> _ 8 0 e. RR )
87 85 86 ax-mp
 |-  _ 8 0 e. RR
88 2 87 pm3.2i
 |-  ( 0 e. RR /\ _ 8 0 e. RR )
89 dp2cl
 |-  ( ( 0 e. RR /\ _ 8 0 e. RR ) -> _ 0 _ 8 0 e. RR )
90 88 89 ax-mp
 |-  _ 0 _ 8 0 e. RR
91 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 0 _ 8 0 e. RR ) -> ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) e. RR )
92 1 90 91 mp2an
 |-  ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) e. RR
93 22 92 lt2sqi
 |-  ( ( 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) /\ 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ) -> ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) < ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) <-> ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) < ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ^ 2 ) ) )
94 80 83 93 mp2an
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) < ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) <-> ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) < ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ^ 2 ) )
95 77 94 mpbi
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) < ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ^ 2 )
96 92 recni
 |-  ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) e. CC
97 96 sqvali
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ^ 2 ) = ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) x. ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) )
98 6nn0
 |-  6 e. NN0
99 1 98 deccl
 |-  ; 1 6 e. NN0
100 98 24 deccl
 |-  ; 6 4 e. NN0
101 4lt10
 |-  4 < ; 1 0
102 10pos
 |-  0 < ; 1 0
103 99 51 deccl
 |-  ; ; 1 6 0 e. NN0
104 eqid
 |-  ; ; ; 1 6 0 0 = ; ; ; 1 6 0 0
105 eqid
 |-  ; 6 4 = ; 6 4
106 eqid
 |-  ; ; 1 6 0 = ; ; 1 6 0
107 98 dec0h
 |-  6 = ; 0 6
108 99 nn0cni
 |-  ; 1 6 e. CC
109 108 addid1i
 |-  ( ; 1 6 + 0 ) = ; 1 6
110 6cn
 |-  6 e. CC
111 110 addid2i
 |-  ( 0 + 6 ) = 6
112 99 51 51 98 106 107 109 111 decadd
 |-  ( ; ; 1 6 0 + 6 ) = ; ; 1 6 6
113 4cn
 |-  4 e. CC
114 113 addid2i
 |-  ( 0 + 4 ) = 4
115 103 51 98 24 104 105 112 114 decadd
 |-  ( ; ; ; 1 6 0 0 + ; 6 4 ) = ; ; ; 1 6 6 4
116 1t1e1
 |-  ( 1 x. 1 ) = 1
117 1 dp0u
 |-  ( 1 . 0 ) = 1
118 117 117 oveq12i
 |-  ( ( 1 . 0 ) x. ( 1 . 0 ) ) = ( 1 x. 1 )
119 51 dp20u
 |-  _ 0 0 = 0
120 119 oveq2i
 |-  ( 1 . _ 0 0 ) = ( 1 . 0 )
121 120 117 eqtri
 |-  ( 1 . _ 0 0 ) = 1
122 116 118 121 3eqtr4i
 |-  ( ( 1 . 0 ) x. ( 1 . 0 ) ) = ( 1 . _ 0 0 )
123 8t8e64
 |-  ( 8 x. 8 ) = ; 6 4
124 73 dp0u
 |-  ( 8 . 0 ) = 8
125 124 124 oveq12i
 |-  ( ( 8 . 0 ) x. ( 8 . 0 ) ) = ( 8 x. 8 )
126 119 oveq2i
 |-  ( ; 6 4 . _ 0 0 ) = ( ; 6 4 . 0 )
127 100 dp0u
 |-  ( ; 6 4 . 0 ) = ; 6 4
128 126 127 eqtri
 |-  ( ; 6 4 . _ 0 0 ) = ; 6 4
129 123 125 128 3eqtr4i
 |-  ( ( 8 . 0 ) x. ( 8 . 0 ) ) = ( ; 6 4 . _ 0 0 )
130 10nn0
 |-  ; 1 0 e. NN0
131 130 51 deccl
 |-  ; ; 1 0 0 e. NN0
132 eqid
 |-  ; ; ; 1 0 0 1 = ; ; ; 1 0 0 1
133 eqid
 |-  ; ; 1 6 6 = ; ; 1 6 6
134 eqid
 |-  ; ; 1 0 0 = ; ; 1 0 0
135 eqid
 |-  ; 1 6 = ; 1 6
136 dec10p
 |-  ( ; 1 0 + 1 ) = ; 1 1
137 130 51 1 98 134 135 136 111 decadd
 |-  ( ; ; 1 0 0 + ; 1 6 ) = ; ; 1 1 6
138 ax-1cn
 |-  1 e. CC
139 138 110 addcomi
 |-  ( 1 + 6 ) = ( 6 + 1 )
140 6p1e7
 |-  ( 6 + 1 ) = 7
141 139 140 eqtri
 |-  ( 1 + 6 ) = 7
142 131 1 99 98 132 133 137 141 decadd
 |-  ( ; ; ; 1 0 0 1 + ; ; 1 6 6 ) = ; ; ; 1 1 6 7
143 eqid
 |-  ; 1 7 = ; 1 7
144 141 oveq1i
 |-  ( ( 1 + 6 ) + 1 ) = ( 7 + 1 )
145 144 71 eqtri
 |-  ( ( 1 + 6 ) + 1 ) = 8
146 7p4e11
 |-  ( 7 + 4 ) = ; 1 1
147 1 52 98 24 143 105 145 1 146 decaddc
 |-  ( ; 1 7 + ; 6 4 ) = ; 8 1
148 119 oveq2i
 |-  ( ; 1 6 . _ 0 0 ) = ( ; 1 6 . 0 )
149 99 dp0u
 |-  ( ; 1 6 . 0 ) = ; 1 6
150 148 149 eqtri
 |-  ( ; 1 6 . _ 0 0 ) = ; 1 6
151 121 150 oveq12i
 |-  ( ( 1 . _ 0 0 ) + ( ; 1 6 . _ 0 0 ) ) = ( 1 + ; 1 6 )
152 1 dec0h
 |-  1 = ; 0 1
153 138 addid2i
 |-  ( 0 + 1 ) = 1
154 51 1 1 98 152 135 153 141 decadd
 |-  ( 1 + ; 1 6 ) = ; 1 7
155 151 154 eqtri
 |-  ( ( 1 . _ 0 0 ) + ( ; 1 6 . _ 0 0 ) ) = ; 1 7
156 155 128 oveq12i
 |-  ( ( ( 1 . _ 0 0 ) + ( ; 1 6 . _ 0 0 ) ) + ( ; 6 4 . _ 0 0 ) ) = ( ; 1 7 + ; 6 4 )
157 117 124 oveq12i
 |-  ( ( 1 . 0 ) + ( 8 . 0 ) ) = ( 1 + 8 )
158 8cn
 |-  8 e. CC
159 138 158 addcomi
 |-  ( 1 + 8 ) = ( 8 + 1 )
160 8p1e9
 |-  ( 8 + 1 ) = 9
161 157 159 160 3eqtri
 |-  ( ( 1 . 0 ) + ( 8 . 0 ) ) = 9
162 161 161 oveq12i
 |-  ( ( ( 1 . 0 ) + ( 8 . 0 ) ) x. ( ( 1 . 0 ) + ( 8 . 0 ) ) ) = ( 9 x. 9 )
163 9t9e81
 |-  ( 9 x. 9 ) = ; 8 1
164 162 163 eqtri
 |-  ( ( ( 1 . 0 ) + ( 8 . 0 ) ) x. ( ( 1 . 0 ) + ( 8 . 0 ) ) ) = ; 8 1
165 147 156 164 3eqtr4ri
 |-  ( ( ( 1 . 0 ) + ( 8 . 0 ) ) x. ( ( 1 . 0 ) + ( 8 . 0 ) ) ) = ( ( ( 1 . _ 0 0 ) + ( ; 1 6 . _ 0 0 ) ) + ( ; 6 4 . _ 0 0 ) )
166 1 51 73 51 1 73 51 51 51 51 1 99 51 51 100 51 51 1 98 98 24 1 1 98 52 101 102 102 115 122 129 142 165 dpmul4
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) x. ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ) < ( 1 . _ 1 _ 6 7 )
167 97 166 eqbrtri
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ^ 2 ) < ( 1 . _ 1 _ 6 7 )
168 92 resqcli
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ^ 2 ) e. RR
169 34 3 pm3.2i
 |-  ( 6 e. RR /\ 7 e. RR )
170 dp2cl
 |-  ( ( 6 e. RR /\ 7 e. RR ) -> _ 6 7 e. RR )
171 169 170 ax-mp
 |-  _ 6 7 e. RR
172 35 171 pm3.2i
 |-  ( 1 e. RR /\ _ 6 7 e. RR )
173 dp2cl
 |-  ( ( 1 e. RR /\ _ 6 7 e. RR ) -> _ 1 _ 6 7 e. RR )
174 172 173 ax-mp
 |-  _ 1 _ 6 7 e. RR
175 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 1 _ 6 7 e. RR ) -> ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) e. RR )
176 1 174 175 mp2an
 |-  ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) e. RR
177 23 168 176 lttri
 |-  ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) < ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ^ 2 ) /\ ( ( 1 . _ 0 _ 8 0 ) ^ 2 ) < ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) ) -> ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) < ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) )
178 95 167 177 mp2an
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) < ( 1 . _ 1 _ 6 7 )
179 23 176 32 47 ltmul1ii
 |-  ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) < ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) <-> ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) )
180 178 179 mpbi
 |-  ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) )
181 2nn0
 |-  2 e. NN0
182 3nn0
 |-  3 e. NN0
183 1lt10
 |-  1 < ; 1 0
184 3lt10
 |-  3 < ; 1 0
185 8lt10
 |-  8 < ; 1 0
186 130 53 deccl
 |-  ; ; 1 0 9 e. NN0
187 eqid
 |-  ; ; ; 1 0 9 2 = ; ; ; 1 0 9 2
188 53 dec0h
 |-  9 = ; 0 9
189 186 nn0cni
 |-  ; ; 1 0 9 e. CC
190 189 addid1i
 |-  ( ; ; 1 0 9 + 0 ) = ; ; 1 0 9
191 dec10p
 |-  ( ; 1 0 + 0 ) = ; 1 0
192 138 addid1i
 |-  ( 1 + 0 ) = 1
193 1 51 51 1 191 152 192 153 decadd
 |-  ( ( ; 1 0 + 0 ) + 1 ) = ; 1 1
194 9p1e10
 |-  ( 9 + 1 ) = ; 1 0
195 130 53 51 1 190 152 193 51 194 decaddc
 |-  ( ( ; ; 1 0 9 + 0 ) + 1 ) = ; ; 1 1 0
196 9cn
 |-  9 e. CC
197 2cn
 |-  2 e. CC
198 196 197 addcomi
 |-  ( 9 + 2 ) = ( 2 + 9 )
199 9p2e11
 |-  ( 9 + 2 ) = ; 1 1
200 198 199 eqtr3i
 |-  ( 2 + 9 ) = ; 1 1
201 186 181 51 53 187 188 195 1 200 decaddc
 |-  ( ; ; ; 1 0 9 2 + 9 ) = ; ; ; 1 1 0 1
202 113 138 mulcomi
 |-  ( 4 x. 1 ) = ( 1 x. 4 )
203 113 mulid1i
 |-  ( 4 x. 1 ) = 4
204 202 203 eqtr3i
 |-  ( 1 x. 4 ) = 4
205 24 dec0h
 |-  4 = ; 0 4
206 203 202 205 3eqtr3i
 |-  ( 1 x. 4 ) = ; 0 4
207 138 113 addcli
 |-  ( 1 + 4 ) e. CC
208 207 addid1i
 |-  ( ( 1 + 4 ) + 0 ) = ( 1 + 4 )
209 113 138 addcomi
 |-  ( 4 + 1 ) = ( 1 + 4 )
210 4p1e5
 |-  ( 4 + 1 ) = 5
211 208 209 210 3eqtr2i
 |-  ( ( 1 + 4 ) + 0 ) = 5
212 54 dec0h
 |-  5 = ; 0 5
213 211 212 eqtri
 |-  ( ( 1 + 4 ) + 0 ) = ; 0 5
214 1 1 1 24 51 51 54 24 116 204 116 206 213 192 dpmul
 |-  ( ( 1 . 1 ) x. ( 1 . 4 ) ) = ( 1 . _ 5 4 )
215 110 mulid1i
 |-  ( 6 x. 1 ) = 6
216 6t4e24
 |-  ( 6 x. 4 ) = ; 2 4
217 7cn
 |-  7 e. CC
218 217 mulid1i
 |-  ( 7 x. 1 ) = 7
219 7t4e28
 |-  ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
220 181 24 deccl
 |-  ; 2 4 e. NN0
221 220 nn0cni
 |-  ; 2 4 e. CC
222 221 217 addcomi
 |-  ( ; 2 4 + 7 ) = ( 7 + ; 2 4 )
223 eqid
 |-  ; 2 4 = ; 2 4
224 2p1e3
 |-  ( 2 + 1 ) = 3
225 217 113 146 addcomli
 |-  ( 4 + 7 ) = ; 1 1
226 181 24 52 223 224 1 225 decaddci
 |-  ( ; 2 4 + 7 ) = ; 3 1
227 222 226 eqtr3i
 |-  ( 7 + ; 2 4 ) = ; 3 1
228 227 oveq1i
 |-  ( ( 7 + ; 2 4 ) + 2 ) = ( ; 3 1 + 2 )
229 eqid
 |-  ; 3 1 = ; 3 1
230 197 138 224 addcomli
 |-  ( 1 + 2 ) = 3
231 182 1 181 229 230 decaddi
 |-  ( ; 3 1 + 2 ) = ; 3 3
232 228 231 eqtri
 |-  ( ( 7 + ; 2 4 ) + 2 ) = ; 3 3
233 6p3e9
 |-  ( 6 + 3 ) = 9
234 98 52 1 24 181 182 182 73 215 216 218 219 232 233 dpmul
 |-  ( ( 6 . 7 ) x. ( 1 . 4 ) ) = ( 9 . _ 3 8 )
235 1 54 deccl
 |-  ; 1 5 e. NN0
236 235 24 deccl
 |-  ; ; 1 5 4 e. NN0
237 51 1 deccl
 |-  ; 0 1 e. NN0
238 237 1 deccl
 |-  ; ; 0 1 1 e. NN0
239 eqid
 |-  ; ; ; 1 5 4 1 = ; ; ; 1 5 4 1
240 152 deceq1i
 |-  ; 1 1 = ; ; 0 1 1
241 240 deceq1i
 |-  ; ; 1 1 0 = ; ; ; 0 1 1 0
242 eqid
 |-  ; ; 1 5 4 = ; ; 1 5 4
243 eqid
 |-  ; ; 0 1 1 = ; ; 0 1 1
244 152 oveq2i
 |-  ( ; 1 5 + 1 ) = ( ; 1 5 + ; 0 1 )
245 eqid
 |-  ; 1 5 = ; 1 5
246 5p1e6
 |-  ( 5 + 1 ) = 6
247 1 54 1 245 246 decaddi
 |-  ( ; 1 5 + 1 ) = ; 1 6
248 244 247 eqtr3i
 |-  ( ; 1 5 + ; 0 1 ) = ; 1 6
249 235 24 237 1 242 243 248 210 decadd
 |-  ( ; ; 1 5 4 + ; ; 0 1 1 ) = ; ; 1 6 5
250 236 1 238 51 239 241 249 192 decadd
 |-  ( ; ; ; 1 5 4 1 + ; ; 1 1 0 ) = ; ; ; 1 6 5 1
251 7t2e14
 |-  ( 7 x. 2 ) = ; 1 4
252 8t7e56
 |-  ( 8 x. 7 ) = ; 5 6
253 158 217 252 mulcomli
 |-  ( 7 x. 8 ) = ; 5 6
254 8t2e16
 |-  ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
255 eqid
 |-  ; 5 6 = ; 5 6
256 5cn
 |-  5 e. CC
257 256 138 246 addcomli
 |-  ( 1 + 5 ) = 6
258 257 oveq1i
 |-  ( ( 1 + 5 ) + 1 ) = ( 6 + 1 )
259 258 140 eqtri
 |-  ( ( 1 + 5 ) + 1 ) = 7
260 6p6e12
 |-  ( 6 + 6 ) = ; 1 2
261 1 98 54 98 135 255 259 181 260 decaddc
 |-  ( ; 1 6 + ; 5 6 ) = ; 7 2
262 261 oveq1i
 |-  ( ( ; 1 6 + ; 5 6 ) + 6 ) = ( ; 7 2 + 6 )
263 eqid
 |-  ; 7 2 = ; 7 2
264 6p2e8
 |-  ( 6 + 2 ) = 8
265 110 197 264 addcomli
 |-  ( 2 + 6 ) = 8
266 52 181 98 263 265 decaddi
 |-  ( ; 7 2 + 6 ) = ; 7 8
267 262 266 eqtri
 |-  ( ( ; 1 6 + ; 5 6 ) + 6 ) = ; 7 8
268 eqid
 |-  ; 1 4 = ; 1 4
269 1p1e2
 |-  ( 1 + 1 ) = 2
270 1 24 52 268 269 1 225 decaddci
 |-  ( ; 1 4 + 7 ) = ; 2 1
271 52 73 181 73 98 52 73 24 251 253 254 123 267 270 dpmul
 |-  ( ( 7 . 8 ) x. ( 2 . 8 ) ) = ( ; 2 1 . _ 8 4 )
272 eqid
 |-  ; 1 1 = ; 1 1
273 eqid
 |-  ; 6 7 = ; 6 7
274 217 138 71 addcomli
 |-  ( 1 + 7 ) = 8
275 1 1 98 52 272 273 141 274 decadd
 |-  ( ; 1 1 + ; 6 7 ) = ; 7 8
276 1 1 98 52 52 73 275 dpadd
 |-  ( ( 1 . 1 ) + ( 6 . 7 ) ) = ( 7 . 8 )
277 4p4e8
 |-  ( 4 + 4 ) = 8
278 1 24 1 24 268 268 269 277 decadd
 |-  ( ; 1 4 + ; 1 4 ) = ; 2 8
279 1 24 1 24 181 73 278 dpadd
 |-  ( ( 1 . 4 ) + ( 1 . 4 ) ) = ( 2 . 8 )
280 276 279 oveq12i
 |-  ( ( ( 1 . 1 ) + ( 6 . 7 ) ) x. ( ( 1 . 4 ) + ( 1 . 4 ) ) ) = ( ( 7 . 8 ) x. ( 2 . 8 ) )
281 1 181 deccl
 |-  ; 1 2 e. NN0
282 eqid
 |-  ; ; 1 0 9 = ; ; 1 0 9
283 130 nn0cni
 |-  ; 1 0 e. CC
284 283 138 136 addcomli
 |-  ( 1 + ; 1 0 ) = ; 1 1
285 1 1 269 284 decsuc
 |-  ( ( 1 + ; 1 0 ) + 1 ) = ; 1 2
286 9p5e14
 |-  ( 9 + 5 ) = ; 1 4
287 196 256 286 addcomli
 |-  ( 5 + 9 ) = ; 1 4
288 1 54 130 53 245 282 285 24 287 decaddc
 |-  ( ; 1 5 + ; ; 1 0 9 ) = ; ; 1 2 4
289 4p2e6
 |-  ( 4 + 2 ) = 6
290 235 24 186 181 242 187 288 289 decadd
 |-  ( ; ; 1 5 4 + ; ; ; 1 0 9 2 ) = ; ; ; 1 2 4 6
291 1 54 24 130 53 281 181 24 98 290 dpadd3
 |-  ( ( 1 . _ 5 4 ) + ( ; 1 0 . _ 9 2 ) ) = ( ; 1 2 . _ 4 6 )
292 291 oveq1i
 |-  ( ( ( 1 . _ 5 4 ) + ( ; 1 0 . _ 9 2 ) ) + ( 9 . _ 3 8 ) ) = ( ( ; 1 2 . _ 4 6 ) + ( 9 . _ 3 8 ) )
293 181 1 deccl
 |-  ; 2 1 e. NN0
294 281 24 deccl
 |-  ; ; 1 2 4 e. NN0
295 53 182 deccl
 |-  ; 9 3 e. NN0
296 eqid
 |-  ; ; ; 1 2 4 6 = ; ; ; 1 2 4 6
297 eqid
 |-  ; ; 9 3 8 = ; ; 9 3 8
298 eqid
 |-  ; ; 1 2 4 = ; ; 1 2 4
299 eqid
 |-  ; 9 3 = ; 9 3
300 eqid
 |-  ; 1 2 = ; 1 2
301 1 181 53 300 269 1 200 decaddci
 |-  ( ; 1 2 + 9 ) = ; 2 1
302 4p3e7
 |-  ( 4 + 3 ) = 7
303 281 24 53 182 298 299 301 302 decadd
 |-  ( ; ; 1 2 4 + ; 9 3 ) = ; ; 2 1 7
304 293 52 71 303 decsuc
 |-  ( ( ; ; 1 2 4 + ; 9 3 ) + 1 ) = ; ; 2 1 8
305 8p6e14
 |-  ( 8 + 6 ) = ; 1 4
306 158 110 305 addcomli
 |-  ( 6 + 8 ) = ; 1 4
307 294 98 295 73 296 297 304 24 306 decaddc
 |-  ( ; ; ; 1 2 4 6 + ; ; 9 3 8 ) = ; ; ; 2 1 8 4
308 281 24 98 53 182 293 73 73 24 307 dpadd3
 |-  ( ( ; 1 2 . _ 4 6 ) + ( 9 . _ 3 8 ) ) = ( ; 2 1 . _ 8 4 )
309 292 308 eqtri
 |-  ( ( ( 1 . _ 5 4 ) + ( ; 1 0 . _ 9 2 ) ) + ( 9 . _ 3 8 ) ) = ( ; 2 1 . _ 8 4 )
310 271 280 309 3eqtr4i
 |-  ( ( ( 1 . 1 ) + ( 6 . 7 ) ) x. ( ( 1 . 4 ) + ( 1 . 4 ) ) ) = ( ( ( 1 . _ 5 4 ) + ( ; 1 0 . _ 9 2 ) ) + ( 9 . _ 3 8 ) )
311 1 1 98 52 1 1 54 24 24 24 1 130 53 181 53 182 73 1 1 51 1 1 98 54 1 183 184 185 201 214 234 250 310 dpmul4
 |-  ( ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( 1 . _ 6 _ 5 1 )
312 176 32 remulcli
 |-  ( ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) e. RR
313 33 312 43 lttri
 |-  ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) /\ ( ( 1 . _ 1 _ 6 7 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) ) -> ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) )
314 180 311 313 mp2an
 |-  ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( 1 . _ 6 _ 5 1 )
315 50 314 pm3.2i
 |-  ( 0 <_ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) /\ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) )
316 44 315 pm3.2i
 |-  ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) e. RR /\ ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) /\ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) ) )
317 4re
 |-  4 e. RR
318 2re
 |-  2 e. RR
319 3re
 |-  3 e. RR
320 34 319 pm3.2i
 |-  ( 6 e. RR /\ 3 e. RR )
321 dp2cl
 |-  ( ( 6 e. RR /\ 3 e. RR ) -> _ 6 3 e. RR )
322 320 321 ax-mp
 |-  _ 6 3 e. RR
323 318 322 pm3.2i
 |-  ( 2 e. RR /\ _ 6 3 e. RR )
324 dp2cl
 |-  ( ( 2 e. RR /\ _ 6 3 e. RR ) -> _ 2 _ 6 3 e. RR )
325 323 324 ax-mp
 |-  _ 2 _ 6 3 e. RR
326 317 325 pm3.2i
 |-  ( 4 e. RR /\ _ 2 _ 6 3 e. RR )
327 dp2cl
 |-  ( ( 4 e. RR /\ _ 2 _ 6 3 e. RR ) -> _ 4 _ 2 _ 6 3 e. RR )
328 326 327 ax-mp
 |-  _ 4 _ 2 _ 6 3 e. RR
329 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 4 _ 2 _ 6 3 e. RR ) -> ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) e. RR )
330 1 328 329 mp2an
 |-  ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) e. RR
331 84 319 pm3.2i
 |-  ( 8 e. RR /\ 3 e. RR )
332 dp2cl
 |-  ( ( 8 e. RR /\ 3 e. RR ) -> _ 8 3 e. RR )
333 331 332 ax-mp
 |-  _ 8 3 e. RR
334 84 333 pm3.2i
 |-  ( 8 e. RR /\ _ 8 3 e. RR )
335 dp2cl
 |-  ( ( 8 e. RR /\ _ 8 3 e. RR ) -> _ 8 _ 8 3 e. RR )
336 334 335 ax-mp
 |-  _ 8 _ 8 3 e. RR
337 319 336 pm3.2i
 |-  ( 3 e. RR /\ _ 8 _ 8 3 e. RR )
338 dp2cl
 |-  ( ( 3 e. RR /\ _ 8 _ 8 3 e. RR ) -> _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR )
339 337 338 ax-mp
 |-  _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR
340 2 339 pm3.2i
 |-  ( 0 e. RR /\ _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR )
341 dp2cl
 |-  ( ( 0 e. RR /\ _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR ) -> _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR )
342 340 341 ax-mp
 |-  _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR
343 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR ) -> ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) e. RR )
344 1 342 343 mp2an
 |-  ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) e. RR
345 330 344 remulcli
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) e. RR
346 317 333 pm3.2i
 |-  ( 4 e. RR /\ _ 8 3 e. RR )
347 dp2cl
 |-  ( ( 4 e. RR /\ _ 8 3 e. RR ) -> _ 4 _ 8 3 e. RR )
348 346 347 ax-mp
 |-  _ 4 _ 8 3 e. RR
349 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 4 _ 8 3 e. RR ) -> ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) e. RR )
350 1 348 349 mp2an
 |-  ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) e. RR
351 345 350 pm3.2i
 |-  ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) e. RR /\ ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) e. RR )
352 3rp
 |-  3 e. RR+
353 98 352 rpdp2cl
 |-  _ 6 3 e. RR+
354 181 353 rpdp2cl
 |-  _ 2 _ 6 3 e. RR+
355 24 354 rpdp2cl
 |-  _ 4 _ 2 _ 6 3 e. RR+
356 1 355 rpdpcl
 |-  ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) e. RR+
357 rpge0
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) e. RR+ -> 0 <_ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) )
358 356 357 ax-mp
 |-  0 <_ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 )
359 73 352 rpdp2cl
 |-  _ 8 3 e. RR+
360 73 359 rpdp2cl
 |-  _ 8 _ 8 3 e. RR+
361 182 360 rpdp2cl
 |-  _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR+
362 51 361 rpdp2cl
 |-  _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 e. RR+
363 1 362 rpdpcl
 |-  ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) e. RR+
364 rpge0
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) e. RR+ -> 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) )
365 363 364 ax-mp
 |-  0 <_ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 )
366 330 344 mulge0i
 |-  ( ( 0 <_ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) /\ 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) -> 0 <_ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) )
367 358 365 366 mp2an
 |-  0 <_ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) )
368 318 3 pm3.2i
 |-  ( 2 e. RR /\ 7 e. RR )
369 dp2cl
 |-  ( ( 2 e. RR /\ 7 e. RR ) -> _ 2 7 e. RR )
370 368 369 ax-mp
 |-  _ 2 7 e. RR
371 317 370 pm3.2i
 |-  ( 4 e. RR /\ _ 2 7 e. RR )
372 dp2cl
 |-  ( ( 4 e. RR /\ _ 2 7 e. RR ) -> _ 4 _ 2 7 e. RR )
373 371 372 ax-mp
 |-  _ 4 _ 2 7 e. RR
374 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 4 _ 2 7 e. RR ) -> ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) e. RR )
375 1 373 374 mp2an
 |-  ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) e. RR
376 330 375 pm3.2i
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) e. RR /\ ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) e. RR )
377 7nn
 |-  7 e. NN
378 nnrp
 |-  ( 7 e. NN -> 7 e. RR+ )
379 377 378 ax-mp
 |-  7 e. RR+
380 181 379 rpdp2cl
 |-  _ 2 7 e. RR+
381 24 380 rpdp2cl
 |-  _ 4 _ 2 7 e. RR+
382 98 352 184 140 dp2ltsuc
 |-  _ 6 3 < 7
383 181 353 379 382 dp2lt
 |-  _ 2 _ 6 3 < _ 2 7
384 24 354 380 383 dp2lt
 |-  _ 4 _ 2 _ 6 3 < _ 4 _ 2 7
385 1 355 381 384 dplt
 |-  ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) < ( 1 . _ 4 _ 2 7 )
386 358 385 pm3.2i
 |-  ( 0 <_ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) /\ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) < ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) )
387 376 386 pm3.2i
 |-  ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) e. RR /\ ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) /\ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) < ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) ) )
388 319 4 pm3.2i
 |-  ( 3 e. RR /\ 9 e. RR )
389 dp2cl
 |-  ( ( 3 e. RR /\ 9 e. RR ) -> _ 3 9 e. RR )
390 388 389 ax-mp
 |-  _ 3 9 e. RR
391 2 390 pm3.2i
 |-  ( 0 e. RR /\ _ 3 9 e. RR )
392 dp2cl
 |-  ( ( 0 e. RR /\ _ 3 9 e. RR ) -> _ 0 _ 3 9 e. RR )
393 391 392 ax-mp
 |-  _ 0 _ 3 9 e. RR
394 dpcl
 |-  ( ( 1 e. NN0 /\ _ 0 _ 3 9 e. RR ) -> ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) e. RR )
395 1 393 394 mp2an
 |-  ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) e. RR
396 344 395 pm3.2i
 |-  ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) e. RR /\ ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) e. RR )
397 9nn
 |-  9 e. NN
398 nnrp
 |-  ( 9 e. NN -> 9 e. RR+ )
399 397 398 ax-mp
 |-  9 e. RR+
400 182 399 rpdp2cl
 |-  _ 3 9 e. RR+
401 51 400 rpdp2cl
 |-  _ 0 _ 3 9 e. RR+
402 73 352 185 184 dp2lt10
 |-  _ 8 3 < ; 1 0
403 73 359 402 160 dp2ltsuc
 |-  _ 8 _ 8 3 < 9
404 182 360 399 403 dp2lt
 |-  _ 3 _ 8 _ 8 3 < _ 3 9
405 51 361 400 404 dp2lt
 |-  _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 < _ 0 _ 3 9
406 1 362 401 405 dplt
 |-  ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) < ( 1 . _ 0 _ 3 9 )
407 365 406 pm3.2i
 |-  ( 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) /\ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) < ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) )
408 396 407 pm3.2i
 |-  ( ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) e. RR /\ ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) /\ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) < ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) ) )
409 ltmul12a
 |-  ( ( ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) e. RR /\ ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) /\ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) < ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) ) ) /\ ( ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) e. RR /\ ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) /\ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) < ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) ) ) ) -> ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) < ( ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) ) )
410 387 408 409 mp2an
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) < ( ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) )
411 6lt10
 |-  6 < ; 1 0
412 73 1 deccl
 |-  ; 8 1 e. NN0
413 eqid
 |-  ; ; 8 1 6 = ; ; 8 1 6
414 eqid
 |-  ; 1 0 = ; 1 0
415 eqid
 |-  ; 8 1 = ; 8 1
416 73 1 269 415 decsuc
 |-  ( ; 8 1 + 1 ) = ; 8 2
417 73 dec0h
 |-  8 = ; 0 8
418 417 deceq1i
 |-  ; 8 2 = ; ; 0 8 2
419 416 418 eqtri
 |-  ( ; 8 1 + 1 ) = ; ; 0 8 2
420 110 addid1i
 |-  ( 6 + 0 ) = 6
421 412 98 1 51 413 414 419 420 decadd
 |-  ( ; ; 8 1 6 + ; 1 0 ) = ; ; ; 0 8 2 6
422 138 mul01i
 |-  ( 1 x. 0 ) = 0
423 113 mul01i
 |-  ( 4 x. 0 ) = 0
424 51 dec0h
 |-  0 = ; 0 0
425 423 424 eqtri
 |-  ( 4 x. 0 ) = ; 0 0
426 113 addid1i
 |-  ( 4 + 0 ) = 4
427 426 oveq1i
 |-  ( ( 4 + 0 ) + 0 ) = ( 4 + 0 )
428 427 426 205 3eqtri
 |-  ( ( 4 + 0 ) + 0 ) = ; 0 4
429 1 24 1 51 51 51 24 51 116 422 203 425 428 192 dpmul
 |-  ( ( 1 . 4 ) x. ( 1 . 0 ) ) = ( 1 . _ 4 0 )
430 3cn
 |-  3 e. CC
431 3t2e6
 |-  ( 3 x. 2 ) = 6
432 430 197 431 mulcomli
 |-  ( 2 x. 3 ) = 6
433 9t2e18
 |-  ( 9 x. 2 ) = ; 1 8
434 196 197 433 mulcomli
 |-  ( 2 x. 9 ) = ; 1 8
435 7t3e21
 |-  ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
436 9t7e63
 |-  ( 9 x. 7 ) = ; 6 3
437 196 217 436 mulcomli
 |-  ( 7 x. 9 ) = ; 6 3
438 eqid
 |-  ; 2 1 = ; 2 1
439 eqid
 |-  ; 1 8 = ; 1 8
440 159 160 eqtri
 |-  ( 1 + 8 ) = 9
441 181 1 1 73 438 439 224 440 decadd
 |-  ( ; 2 1 + ; 1 8 ) = ; 3 9
442 441 oveq1i
 |-  ( ( ; 2 1 + ; 1 8 ) + 6 ) = ( ; 3 9 + 6 )
443 eqid
 |-  ; 3 9 = ; 3 9
444 3p1e4
 |-  ( 3 + 1 ) = 4
445 9p6e15
 |-  ( 9 + 6 ) = ; 1 5
446 182 53 98 443 444 54 445 decaddci
 |-  ( ; 3 9 + 6 ) = ; 4 5
447 442 446 eqtri
 |-  ( ( ; 2 1 + ; 1 8 ) + 6 ) = ; 4 5
448 6p4e10
 |-  ( 6 + 4 ) = ; 1 0
449 181 52 182 53 98 24 54 182 432 434 435 437 447 448 dpmul
 |-  ( ( 2 . 7 ) x. ( 3 . 9 ) ) = ( ; 1 0 . _ 5 3 )
450 1 24 deccl
 |-  ; 1 4 e. NN0
451 450 51 deccl
 |-  ; ; 1 4 0 e. NN0
452 417 73 eqeltrri
 |-  ; 0 8 e. NN0
453 eqid
 |-  ; ; ; 1 4 0 1 = ; ; ; 1 4 0 1
454 eqid
 |-  ; ; 0 8 2 = ; ; 0 8 2
455 eqid
 |-  ; ; 1 4 0 = ; ; 1 4 0
456 417 158 eqeltrri
 |-  ; 0 8 e. CC
457 0cn
 |-  0 e. CC
458 417 oveq1i
 |-  ( 8 + 0 ) = ( ; 0 8 + 0 )
459 158 addid1i
 |-  ( 8 + 0 ) = 8
460 458 459 eqtr3i
 |-  ( ; 0 8 + 0 ) = 8
461 456 457 460 addcomli
 |-  ( 0 + ; 0 8 ) = 8
462 450 51 452 455 461 decaddi
 |-  ( ; ; 1 4 0 + ; 0 8 ) = ; ; 1 4 8
463 451 1 452 181 453 454 462 230 decadd
 |-  ( ; ; ; 1 4 0 1 + ; ; 0 8 2 ) = ; ; ; 1 4 8 3
464 4t4e16
 |-  ( 4 x. 4 ) = ; 1 6
465 9t4e36
 |-  ( 9 x. 4 ) = ; 3 6
466 196 113 465 mulcomli
 |-  ( 4 x. 9 ) = ; 3 6
467 196 mulid1i
 |-  ( 9 x. 1 ) = 9
468 467 188 eqtri
 |-  ( 9 x. 1 ) = ; 0 9
469 196 138 468 mulcomli
 |-  ( 1 x. 9 ) = ; 0 9
470 182 98 deccl
 |-  ; 3 6 e. NN0
471 470 nn0cni
 |-  ; 3 6 e. CC
472 eqid
 |-  ; 3 6 = ; 3 6
473 182 98 24 472 444 51 448 decaddci
 |-  ( ; 3 6 + 4 ) = ; 4 0
474 471 113 473 addcomli
 |-  ( 4 + ; 3 6 ) = ; 4 0
475 474 oveq1i
 |-  ( ( 4 + ; 3 6 ) + 0 ) = ( ; 4 0 + 0 )
476 24 51 deccl
 |-  ; 4 0 e. NN0
477 476 nn0cni
 |-  ; 4 0 e. CC
478 477 addid1i
 |-  ( ; 4 0 + 0 ) = ; 4 0
479 475 478 eqtri
 |-  ( ( 4 + ; 3 6 ) + 0 ) = ; 4 0
480 1 98 24 135 269 51 448 decaddci
 |-  ( ; 1 6 + 4 ) = ; 2 0
481 24 1 24 53 51 24 51 53 464 466 204 469 479 480 dpmul
 |-  ( ( 4 . 1 ) x. ( 4 . 9 ) ) = ( ; 2 0 . _ 0 9 )
482 eqid
 |-  ; 2 7 = ; 2 7
483 230 oveq1i
 |-  ( ( 1 + 2 ) + 1 ) = ( 3 + 1 )
484 483 444 eqtri
 |-  ( ( 1 + 2 ) + 1 ) = 4
485 1 24 181 52 268 482 484 1 225 decaddc
 |-  ( ; 1 4 + ; 2 7 ) = ; 4 1
486 1 24 181 52 24 1 485 dpadd
 |-  ( ( 1 . 4 ) + ( 2 . 7 ) ) = ( 4 . 1 )
487 430 138 444 addcomli
 |-  ( 1 + 3 ) = 4
488 196 addid2i
 |-  ( 0 + 9 ) = 9
489 1 51 182 53 414 443 487 488 decadd
 |-  ( ; 1 0 + ; 3 9 ) = ; 4 9
490 1 51 182 53 24 53 489 dpadd
 |-  ( ( 1 . 0 ) + ( 3 . 9 ) ) = ( 4 . 9 )
491 486 490 oveq12i
 |-  ( ( ( 1 . 4 ) + ( 2 . 7 ) ) x. ( ( 1 . 0 ) + ( 3 . 9 ) ) ) = ( ( 4 . 1 ) x. ( 4 . 9 ) )
492 1 24 73 1 268 415 440 210 decadd
 |-  ( ; 1 4 + ; 8 1 ) = ; 9 5
493 450 51 412 98 455 413 492 111 decadd
 |-  ( ; ; 1 4 0 + ; ; 8 1 6 ) = ; ; 9 5 6
494 1 24 51 73 1 53 98 54 98 493 dpadd3
 |-  ( ( 1 . _ 4 0 ) + ( 8 . _ 1 6 ) ) = ( 9 . _ 5 6 )
495 494 oveq1i
 |-  ( ( ( 1 . _ 4 0 ) + ( 8 . _ 1 6 ) ) + ( ; 1 0 . _ 5 3 ) ) = ( ( 9 . _ 5 6 ) + ( ; 1 0 . _ 5 3 ) )
496 181 51 deccl
 |-  ; 2 0 e. NN0
497 53 54 deccl
 |-  ; 9 5 e. NN0
498 130 54 deccl
 |-  ; ; 1 0 5 e. NN0
499 eqid
 |-  ; ; 9 5 6 = ; ; 9 5 6
500 eqid
 |-  ; ; ; 1 0 5 3 = ; ; ; 1 0 5 3
501 eqid
 |-  ; 9 5 = ; 9 5
502 eqid
 |-  ; ; 1 0 5 = ; ; 1 0 5
503 dec10p
 |-  ( ; 1 0 + 9 ) = ; 1 9
504 283 196 503 addcomli
 |-  ( 9 + ; 1 0 ) = ; 1 9
505 504 oveq1i
 |-  ( ( 9 + ; 1 0 ) + 1 ) = ( ; 1 9 + 1 )
506 eqid
 |-  ; 1 9 = ; 1 9
507 1 53 1 506 269 51 194 decaddci
 |-  ( ; 1 9 + 1 ) = ; 2 0
508 505 507 eqtri
 |-  ( ( 9 + ; 1 0 ) + 1 ) = ; 2 0
509 5p5e10
 |-  ( 5 + 5 ) = ; 1 0
510 53 54 130 54 501 502 508 51 509 decaddc
 |-  ( ; 9 5 + ; ; 1 0 5 ) = ; ; 2 0 0
511 497 98 498 182 499 500 510 233 decadd
 |-  ( ; ; 9 5 6 + ; ; ; 1 0 5 3 ) = ; ; ; 2 0 0 9
512 53 54 98 130 54 496 182 51 53 511 dpadd3
 |-  ( ( 9 . _ 5 6 ) + ( ; 1 0 . _ 5 3 ) ) = ( ; 2 0 . _ 0 9 )
513 495 512 eqtri
 |-  ( ( ( 1 . _ 4 0 ) + ( 8 . _ 1 6 ) ) + ( ; 1 0 . _ 5 3 ) ) = ( ; 2 0 . _ 0 9 )
514 481 491 513 3eqtr4i
 |-  ( ( ( 1 . 4 ) + ( 2 . 7 ) ) x. ( ( 1 . 0 ) + ( 3 . 9 ) ) ) = ( ( ( 1 . _ 4 0 ) + ( 8 . _ 1 6 ) ) + ( ; 1 0 . _ 5 3 ) )
515 1 24 181 52 1 182 24 51 51 53 1 73 1 98 130 54 182 51 73 181 98 1 24 73 182 411 67 184 421 429 449 463 514 dpmul4
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) ) < ( 1 . _ 4 _ 8 3 )
516 375 395 remulcli
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) ) e. RR
517 345 516 350 lttri
 |-  ( ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) < ( ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) ) /\ ( ( 1 . _ 4 _ 2 7 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 9 ) ) < ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) ) -> ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) < ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) )
518 410 515 517 mp2an
 |-  ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) < ( 1 . _ 4 _ 8 3 )
519 367 518 pm3.2i
 |-  ( 0 <_ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) /\ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) < ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) )
520 351 519 pm3.2i
 |-  ( ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) e. RR /\ ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) /\ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) < ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) ) )
521 ltmul12a
 |-  ( ( ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) e. RR /\ ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) /\ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) < ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) e. RR /\ ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) /\ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) < ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) ) ) ) -> ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) < ( ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) x. ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) ) )
522 316 520 521 mp2an
 |-  ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) < ( ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) x. ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) )
523 24 181 deccl
 |-  ; 4 2 e. NN0
524 496 24 deccl
 |-  ; ; 2 0 4 e. NN0
525 eqid
 |-  ; ; ; 2 0 4 2 = ; ; ; 2 0 4 2
526 eqid
 |-  ; 4 2 = ; 4 2
527 eqid
 |-  ; ; 2 0 4 = ; ; 2 0 4
528 496 24 24 527 277 decaddi
 |-  ( ; ; 2 0 4 + 4 ) = ; ; 2 0 8
529 2p2e4
 |-  ( 2 + 2 ) = 4
530 524 181 24 181 525 526 528 529 decadd
 |-  ( ; ; ; 2 0 4 2 + ; 4 2 ) = ; ; ; 2 0 8 4
531 448 oveq1i
 |-  ( ( 6 + 4 ) + 2 ) = ( ; 1 0 + 2 )
532 dec10p
 |-  ( ; 1 0 + 2 ) = ; 1 2
533 531 532 eqtri
 |-  ( ( 6 + 4 ) + 2 ) = ; 1 2
534 1 98 1 24 181 1 181 24 116 204 215 216 533 269 dpmul
 |-  ( ( 1 . 6 ) x. ( 1 . 4 ) ) = ( 2 . _ 2 4 )
535 8t5e40
 |-  ( 8 x. 5 ) = ; 4 0
536 158 256 535 mulcomli
 |-  ( 5 x. 8 ) = ; 4 0
537 5t3e15
 |-  ( 5 x. 3 ) = ; 1 5
538 158 mulid2i
 |-  ( 1 x. 8 ) = 8
539 430 mulid2i
 |-  ( 1 x. 3 ) = 3
540 182 dec0h
 |-  3 = ; 0 3
541 539 540 eqtri
 |-  ( 1 x. 3 ) = ; 0 3
542 235 nn0cni
 |-  ; 1 5 e. CC
543 8p5e13
 |-  ( 8 + 5 ) = ; 1 3
544 158 256 543 addcomli
 |-  ( 5 + 8 ) = ; 1 3
545 1 54 73 245 269 182 544 decaddci
 |-  ( ; 1 5 + 8 ) = ; 2 3
546 542 158 545 addcomli
 |-  ( 8 + ; 1 5 ) = ; 2 3
547 546 oveq1i
 |-  ( ( 8 + ; 1 5 ) + 0 ) = ( ; 2 3 + 0 )
548 181 182 deccl
 |-  ; 2 3 e. NN0
549 548 nn0cni
 |-  ; 2 3 e. CC
550 549 addid1i
 |-  ( ; 2 3 + 0 ) = ; 2 3
551 547 550 eqtri
 |-  ( ( 8 + ; 1 5 ) + 0 ) = ; 2 3
552 eqid
 |-  ; 4 0 = ; 4 0
553 197 addid2i
 |-  ( 0 + 2 ) = 2
554 24 51 181 552 553 decaddi
 |-  ( ; 4 0 + 2 ) = ; 4 2
555 54 1 73 182 51 181 182 182 536 537 538 541 551 554 dpmul
 |-  ( ( 5 . 1 ) x. ( 8 . 3 ) ) = ( ; 4 2 . _ 3 3 )
556 181 181 deccl
 |-  ; 2 2 e. NN0
557 556 24 deccl
 |-  ; ; 2 2 4 e. NN0
558 eqid
 |-  ; ; ; 2 2 4 1 = ; ; ; 2 2 4 1
559 eqid
 |-  ; ; 2 0 8 = ; ; 2 0 8
560 eqid
 |-  ; ; 2 2 4 = ; ; 2 2 4
561 eqid
 |-  ; 2 0 = ; 2 0
562 eqid
 |-  ; 2 2 = ; 2 2
563 181 181 181 562 529 decaddi
 |-  ( ; 2 2 + 2 ) = ; 2 4
564 556 24 181 51 560 561 563 426 decadd
 |-  ( ; ; 2 2 4 + ; 2 0 ) = ; ; 2 4 4
565 557 1 496 73 558 559 564 440 decadd
 |-  ( ; ; ; 2 2 4 1 + ; ; 2 0 8 ) = ; ; ; 2 4 4 9
566 556 98 deccl
 |-  ; ; 2 2 6 e. NN0
567 523 182 deccl
 |-  ; ; 4 2 3 e. NN0
568 eqid
 |-  ; ; ; 2 2 6 6 = ; ; ; 2 2 6 6
569 eqid
 |-  ; ; ; 4 2 3 3 = ; ; ; 4 2 3 3
570 eqid
 |-  ; ; 2 2 6 = ; ; 2 2 6
571 eqid
 |-  ; ; 4 2 3 = ; ; 4 2 3
572 113 197 289 addcomli
 |-  ( 2 + 4 ) = 6
573 181 181 24 181 562 526 572 529 decadd
 |-  ( ; 2 2 + ; 4 2 ) = ; 6 4
574 556 98 523 182 570 571 573 233 decadd
 |-  ( ; ; 2 2 6 + ; ; 4 2 3 ) = ; ; 6 4 9
575 566 98 567 182 568 569 574 233 decadd
 |-  ( ; ; ; 2 2 6 6 + ; ; ; 4 2 3 3 ) = ; ; ; 6 4 9 9
576 556 98 98 523 182 100 182 53 53 575 dpadd3
 |-  ( ( ; 2 2 . _ 6 6 ) + ( ; 4 2 . _ 3 3 ) ) = ( ; 6 4 . _ 9 9 )
577 496 nn0cni
 |-  ; 2 0 e. CC
578 181 51 181 561 553 decaddi
 |-  ( ; 2 0 + 2 ) = ; 2 2
579 577 197 578 addcomli
 |-  ( 2 + ; 2 0 ) = ; 2 2
580 181 181 496 24 562 527 579 572 decadd
 |-  ( ; 2 2 + ; ; 2 0 4 ) = ; ; 2 2 6
581 556 24 524 181 560 525 580 289 decadd
 |-  ( ; ; 2 2 4 + ; ; ; 2 0 4 2 ) = ; ; ; 2 2 6 6
582 181 181 24 496 24 556 181 98 98 581 dpadd3
 |-  ( ( 2 . _ 2 4 ) + ( ; 2 0 . _ 4 2 ) ) = ( ; 2 2 . _ 6 6 )
583 582 oveq1i
 |-  ( ( ( 2 . _ 2 4 ) + ( ; 2 0 . _ 4 2 ) ) + ( ; 4 2 . _ 3 3 ) ) = ( ( ; 2 2 . _ 6 6 ) + ( ; 4 2 . _ 3 3 ) )
584 eqid
 |-  ; 5 1 = ; 5 1
585 1 98 54 1 135 584 257 140 decadd
 |-  ( ; 1 6 + ; 5 1 ) = ; 6 7
586 1 98 54 1 98 52 585 dpadd
 |-  ( ( 1 . 6 ) + ( 5 . 1 ) ) = ( 6 . 7 )
587 eqid
 |-  ; 8 3 = ; 8 3
588 1 24 73 182 268 587 440 302 decadd
 |-  ( ; 1 4 + ; 8 3 ) = ; 9 7
589 1 24 73 182 53 52 588 dpadd
 |-  ( ( 1 . 4 ) + ( 8 . 3 ) ) = ( 9 . 7 )
590 586 589 oveq12i
 |-  ( ( ( 1 . 6 ) + ( 5 . 1 ) ) x. ( ( 1 . 4 ) + ( 8 . 3 ) ) ) = ( ( 6 . 7 ) x. ( 9 . 7 ) )
591 9t6e54
 |-  ( 9 x. 6 ) = ; 5 4
592 196 110 591 mulcomli
 |-  ( 6 x. 9 ) = ; 5 4
593 7t6e42
 |-  ( 7 x. 6 ) = ; 4 2
594 217 110 593 mulcomli
 |-  ( 6 x. 7 ) = ; 4 2
595 7t7e49
 |-  ( 7 x. 7 ) = ; 4 9
596 eqid
 |-  ; 6 3 = ; 6 3
597 3p2e5
 |-  ( 3 + 2 ) = 5
598 98 182 24 181 596 526 448 597 decadd
 |-  ( ; 6 3 + ; 4 2 ) = ; ; 1 0 5
599 598 oveq1i
 |-  ( ( ; 6 3 + ; 4 2 ) + 4 ) = ( ; ; 1 0 5 + 4 )
600 5p4e9
 |-  ( 5 + 4 ) = 9
601 130 54 24 502 600 decaddi
 |-  ( ; ; 1 0 5 + 4 ) = ; ; 1 0 9
602 599 601 eqtri
 |-  ( ( ; 6 3 + ; 4 2 ) + 4 ) = ; ; 1 0 9
603 eqid
 |-  ; 5 4 = ; 5 4
604 54 24 1 51 603 414 246 426 decadd
 |-  ( ; 5 4 + ; 1 0 ) = ; 6 4
605 98 52 53 52 24 130 53 53 592 594 437 595 602 604 dpmul
 |-  ( ( 6 . 7 ) x. ( 9 . 7 ) ) = ( ; 6 4 . _ 9 9 )
606 590 605 eqtri
 |-  ( ( ( 1 . 6 ) + ( 5 . 1 ) ) x. ( ( 1 . 4 ) + ( 8 . 3 ) ) ) = ( ; 6 4 . _ 9 9 )
607 576 583 606 3eqtr4ri
 |-  ( ( ( 1 . 6 ) + ( 5 . 1 ) ) x. ( ( 1 . 4 ) + ( 8 . 3 ) ) ) = ( ( ( 2 . _ 2 4 ) + ( ; 2 0 . _ 4 2 ) ) + ( ; 4 2 . _ 3 3 ) )
608 1 98 54 1 1 73 181 24 24 182 181 496 24 181 523 182 182 181 51 73 24 181 24 24 53 101 184 184 530 534 555 565 607 dpmul4
 |-  ( ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) x. ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) ) < ( 2 . _ 4 _ 4 9 )
609 33 345 remulcli
 |-  ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) e. RR
610 43 350 remulcli
 |-  ( ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) x. ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) ) e. RR
611 24 399 rpdp2cl
 |-  _ 4 9 e. RR+
612 24 611 rpdp2cl
 |-  _ 4 _ 4 9 e. RR+
613 181 612 rpdpcl
 |-  ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) e. RR+
614 rpre
 |-  ( ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) e. RR+ -> ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) e. RR )
615 613 614 ax-mp
 |-  ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) e. RR
616 609 610 615 lttri
 |-  ( ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) < ( ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) x. ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) ) /\ ( ( 1 . _ 6 _ 5 1 ) x. ( 1 . _ 4 _ 8 3 ) ) < ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) -> ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) < ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) )
617 522 608 616 mp2an
 |-  ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) < ( 2 . _ 4 _ 4 9 )
618 3pos
 |-  0 < 3
619 609 615 319 ltmul2i
 |-  ( 0 < 3 -> ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) < ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) <-> ( 3 x. ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) < ( 3 x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) ) )
620 618 619 ax-mp
 |-  ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) < ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) <-> ( 3 x. ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) < ( 3 x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) )
621 617 620 mpbi
 |-  ( 3 x. ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) < ( 3 x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) )
622 119 dp2eq2i
 |-  _ 0 _ 0 0 = _ 0 0
623 622 119 eqtri
 |-  _ 0 _ 0 0 = 0
624 623 oveq2i
 |-  ( 3 . _ 0 _ 0 0 ) = ( 3 . 0 )
625 182 dp0u
 |-  ( 3 . 0 ) = 3
626 624 625 eqtr2i
 |-  3 = ( 3 . _ 0 _ 0 0 )
627 626 oveq1i
 |-  ( 3 x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) = ( ( 3 . _ 0 _ 0 0 ) x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) )
628 450 52 deccl
 |-  ; ; 1 4 7 e. NN0
629 628 51 deccl
 |-  ; ; ; 1 4 7 0 e. NN0
630 629 nn0cni
 |-  ; ; ; 1 4 7 0 e. CC
631 630 addid1i
 |-  ( ; ; ; 1 4 7 0 + 0 ) = ; ; ; 1 4 7 0
632 4t3e12
 |-  ( 4 x. 3 ) = ; 1 2
633 113 430 632 mulcomli
 |-  ( 3 x. 4 ) = ; 1 2
634 197 mul02i
 |-  ( 0 x. 2 ) = 0
635 113 457 425 mulcomli
 |-  ( 0 x. 4 ) = ; 0 0
636 51 51 1 181 424 300 153 553 decadd
 |-  ( 0 + ; 1 2 ) = ; 1 2
637 636 oveq1i
 |-  ( ( 0 + ; 1 2 ) + 0 ) = ( ; 1 2 + 0 )
638 281 nn0cni
 |-  ; 1 2 e. CC
639 638 addid1i
 |-  ( ; 1 2 + 0 ) = ; 1 2
640 637 639 eqtri
 |-  ( ( 0 + ; 1 2 ) + 0 ) = ; 1 2
641 182 51 181 24 51 1 181 51 431 633 634 635 640 140 dpmul
 |-  ( ( 3 . 0 ) x. ( 2 . 4 ) ) = ( 7 . _ 2 0 )
642 51 dp0u
 |-  ( 0 . 0 ) = 0
643 642 oveq1i
 |-  ( ( 0 . 0 ) x. ( 4 . 9 ) ) = ( 0 x. ( 4 . 9 ) )
644 dpcl
 |-  ( ( 4 e. NN0 /\ 9 e. RR ) -> ( 4 . 9 ) e. RR )
645 24 4 644 mp2an
 |-  ( 4 . 9 ) e. RR
646 645 recni
 |-  ( 4 . 9 ) e. CC
647 646 mul02i
 |-  ( 0 x. ( 4 . 9 ) ) = 0
648 643 647 eqtri
 |-  ( ( 0 . 0 ) x. ( 4 . 9 ) ) = 0
649 119 oveq2i
 |-  ( 0 . _ 0 0 ) = ( 0 . 0 )
650 649 642 eqtri
 |-  ( 0 . _ 0 0 ) = 0
651 648 650 eqtr4i
 |-  ( ( 0 . 0 ) x. ( 4 . 9 ) ) = ( 0 . _ 0 0 )
652 52 181 deccl
 |-  ; 7 2 e. NN0
653 652 51 deccl
 |-  ; ; 7 2 0 e. NN0
654 eqid
 |-  ; ; ; 7 2 0 1 = ; ; ; 7 2 0 1
655 eqid
 |-  ; ; 1 4 7 = ; ; 1 4 7
656 eqid
 |-  ; ; 7 2 0 = ; ; 7 2 0
657 52 181 224 263 decsuc
 |-  ( ; 7 2 + 1 ) = ; 7 3
658 652 51 1 24 656 268 657 114 decadd
 |-  ( ; ; 7 2 0 + ; 1 4 ) = ; ; 7 3 4
659 653 1 450 52 654 655 658 274 decadd
 |-  ( ; ; ; 7 2 0 1 + ; ; 1 4 7 ) = ; ; ; 7 3 4 8
660 642 oveq2i
 |-  ( ( 3 . 0 ) + ( 0 . 0 ) ) = ( ( 3 . 0 ) + 0 )
661 625 430 eqeltri
 |-  ( 3 . 0 ) e. CC
662 661 addid1i
 |-  ( ( 3 . 0 ) + 0 ) = ( 3 . 0 )
663 660 662 eqtri
 |-  ( ( 3 . 0 ) + ( 0 . 0 ) ) = ( 3 . 0 )
664 eqid
 |-  ; 4 9 = ; 4 9
665 572 oveq1i
 |-  ( ( 2 + 4 ) + 1 ) = ( 6 + 1 )
666 665 140 eqtri
 |-  ( ( 2 + 4 ) + 1 ) = 7
667 9p4e13
 |-  ( 9 + 4 ) = ; 1 3
668 196 113 667 addcomli
 |-  ( 4 + 9 ) = ; 1 3
669 181 24 24 53 223 664 666 182 668 decaddc
 |-  ( ; 2 4 + ; 4 9 ) = ; 7 3
670 181 24 24 53 52 182 669 dpadd
 |-  ( ( 2 . 4 ) + ( 4 . 9 ) ) = ( 7 . 3 )
671 663 670 oveq12i
 |-  ( ( ( 3 . 0 ) + ( 0 . 0 ) ) x. ( ( 2 . 4 ) + ( 4 . 9 ) ) ) = ( ( 3 . 0 ) x. ( 7 . 3 ) )
672 217 430 435 mulcomli
 |-  ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
673 3t3e9
 |-  ( 3 x. 3 ) = 9
674 217 mul01i
 |-  ( 7 x. 0 ) = 0
675 217 457 674 mulcomli
 |-  ( 0 x. 7 ) = 0
676 430 mul01i
 |-  ( 3 x. 0 ) = 0
677 676 424 eqtri
 |-  ( 3 x. 0 ) = ; 0 0
678 430 457 677 mulcomli
 |-  ( 0 x. 3 ) = ; 0 0
679 196 addid1i
 |-  ( 9 + 0 ) = 9
680 679 oveq1i
 |-  ( ( 9 + 0 ) + 0 ) = ( 9 + 0 )
681 680 679 188 3eqtri
 |-  ( ( 9 + 0 ) + 0 ) = ; 0 9
682 196 457 addcomi
 |-  ( 9 + 0 ) = ( 0 + 9 )
683 682 oveq1i
 |-  ( ( 9 + 0 ) + 0 ) = ( ( 0 + 9 ) + 0 )
684 683 eqeq1i
 |-  ( ( ( 9 + 0 ) + 0 ) = ; 0 9 <-> ( ( 0 + 9 ) + 0 ) = ; 0 9 )
685 681 684 mpbi
 |-  ( ( 0 + 9 ) + 0 ) = ; 0 9
686 181 1 51 438 192 decaddi
 |-  ( ; 2 1 + 0 ) = ; 2 1
687 182 51 52 182 51 51 53 51 672 673 675 678 685 686 dpmul
 |-  ( ( 3 . 0 ) x. ( 7 . 3 ) ) = ( ; 2 1 . _ 9 0 )
688 671 687 eqtri
 |-  ( ( ( 3 . 0 ) + ( 0 . 0 ) ) x. ( ( 2 . 4 ) + ( 4 . 9 ) ) ) = ( ; 2 1 . _ 9 0 )
689 650 oveq2i
 |-  ( ( ( 7 . _ 2 0 ) + ( ; 1 4 . _ 7 0 ) ) + ( 0 . _ 0 0 ) ) = ( ( ( 7 . _ 2 0 ) + ( ; 1 4 . _ 7 0 ) ) + 0 )
690 318 2 pm3.2i
 |-  ( 2 e. RR /\ 0 e. RR )
691 dp2cl
 |-  ( ( 2 e. RR /\ 0 e. RR ) -> _ 2 0 e. RR )
692 690 691 ax-mp
 |-  _ 2 0 e. RR
693 dpcl
 |-  ( ( 7 e. NN0 /\ _ 2 0 e. RR ) -> ( 7 . _ 2 0 ) e. RR )
694 52 692 693 mp2an
 |-  ( 7 . _ 2 0 ) e. RR
695 694 recni
 |-  ( 7 . _ 2 0 ) e. CC
696 3 2 pm3.2i
 |-  ( 7 e. RR /\ 0 e. RR )
697 dp2cl
 |-  ( ( 7 e. RR /\ 0 e. RR ) -> _ 7 0 e. RR )
698 696 697 ax-mp
 |-  _ 7 0 e. RR
699 dpcl
 |-  ( ( ; 1 4 e. NN0 /\ _ 7 0 e. RR ) -> ( ; 1 4 . _ 7 0 ) e. RR )
700 450 698 699 mp2an
 |-  ( ; 1 4 . _ 7 0 ) e. RR
701 700 recni
 |-  ( ; 1 4 . _ 7 0 ) e. CC
702 695 701 addcli
 |-  ( ( 7 . _ 2 0 ) + ( ; 1 4 . _ 7 0 ) ) e. CC
703 702 addid1i
 |-  ( ( ( 7 . _ 2 0 ) + ( ; 1 4 . _ 7 0 ) ) + 0 ) = ( ( 7 . _ 2 0 ) + ( ; 1 4 . _ 7 0 ) )
704 eqid
 |-  ; ; ; 1 4 7 0 = ; ; ; 1 4 7 0
705 450 nn0cni
 |-  ; 1 4 e. CC
706 705 217 270 addcomli
 |-  ( 7 + ; 1 4 ) = ; 2 1
707 7p2e9
 |-  ( 7 + 2 ) = 9
708 217 197 707 addcomli
 |-  ( 2 + 7 ) = 9
709 52 181 450 52 263 655 706 708 decadd
 |-  ( ; 7 2 + ; ; 1 4 7 ) = ; ; 2 1 9
710 00id
 |-  ( 0 + 0 ) = 0
711 652 51 628 51 656 704 709 710 decadd
 |-  ( ; ; 7 2 0 + ; ; ; 1 4 7 0 ) = ; ; ; 2 1 9 0
712 52 181 51 450 52 293 51 53 51 711 dpadd3
 |-  ( ( 7 . _ 2 0 ) + ( ; 1 4 . _ 7 0 ) ) = ( ; 2 1 . _ 9 0 )
713 689 703 712 3eqtri
 |-  ( ( ( 7 . _ 2 0 ) + ( ; 1 4 . _ 7 0 ) ) + ( 0 . _ 0 0 ) ) = ( ; 2 1 . _ 9 0 )
714 688 713 eqtr4i
 |-  ( ( ( 3 . 0 ) + ( 0 . 0 ) ) x. ( ( 2 . 4 ) + ( 4 . 9 ) ) ) = ( ( ( 7 . _ 2 0 ) + ( ; 1 4 . _ 7 0 ) ) + ( 0 . _ 0 0 ) )
715 182 51 51 51 181 24 181 51 24 53 52 450 52 51 51 51 51 1 24 52 51 52 182 24 73 102 102 102 631 641 651 659 714 dpmul4
 |-  ( ( 3 . _ 0 _ 0 0 ) x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) < ( 7 . _ 3 _ 4 8 )
716 627 715 eqbrtri
 |-  ( 3 x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) < ( 7 . _ 3 _ 4 8 )
717 319 609 remulcli
 |-  ( 3 x. ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) e. RR
718 319 615 remulcli
 |-  ( 3 x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) e. RR
719 nnrp
 |-  ( 8 e. NN -> 8 e. RR+ )
720 63 719 ax-mp
 |-  8 e. RR+
721 24 720 rpdp2cl
 |-  _ 4 8 e. RR+
722 182 721 rpdp2cl
 |-  _ 3 _ 4 8 e. RR+
723 52 722 rpdpcl
 |-  ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) e. RR+
724 rpre
 |-  ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) e. RR+ -> ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) e. RR )
725 723 724 ax-mp
 |-  ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) e. RR
726 717 718 725 lttri
 |-  ( ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) < ( 3 x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) /\ ( 3 x. ( 2 . _ 4 _ 4 9 ) ) < ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) < ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) )
727 621 716 726 mp2an
 |-  ( 3 x. ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) x. ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) x. ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) < ( 7 . _ 3 _ 4 8 )