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Theorem phpreu

Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020)

Ref Expression
Assertion phpreu 
|- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> A. x e. A E! y e. B x = C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eleq1 
 |-  ( x = C -> ( x e. A <-> C e. A ) )
2 1 biimpac 
 |-  ( ( x e. A /\ x = C ) -> C e. A )
3 rabid 
 |-  ( y e. { y e. B | C e. A } <-> ( y e. B /\ C e. A ) )
4 3 simplbi2com 
 |-  ( C e. A -> ( y e. B -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
5 2 4 syl 
 |-  ( ( x e. A /\ x = C ) -> ( y e. B -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
6 5 impancom 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
7 6 ancrd 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C -> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
8 7 expimpd 
 |-  ( x e. A -> ( ( y e. B /\ x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
9 8 reximdv2 
 |-  ( x e. A -> ( E. y e. B x = C -> E. y e. { y e. B | C e. A } x = C ) )
10 9 ralimia 
 |-  ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C )
11 3 simplbi 
 |-  ( y e. { y e. B | C e. A } -> y e. B )
12 6 pm4.71rd 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
13 df-mpt 
 |-  ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) = { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) }
14 13 breqi 
 |-  ( y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> y { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } x )
15 df-br 
 |-  ( y { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } x <-> <. y , x >. e. { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } )
16 opabidw 
 |-  ( <. y , x >. e. { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) )
17 14 15 16 3bitri 
 |-  ( y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) )
18 12 17 bitr4di 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
19 11 18 sylan2 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. { y e. B | C e. A } ) -> ( x = C <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
20 19 rexbidva 
 |-  ( x e. A -> ( E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
21 20 ralbiia 
 |-  ( A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
22 breq2 
 |-  ( a = x -> ( b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
23 22 rexbidv 
 |-  ( a = x -> ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
24 nfcv 
 |-  F/_ b { y e. B | C e. A }
25 nfrab1 
 |-  F/_ y { y e. B | C e. A }
26 nfcv 
 |-  F/_ y b
27 nfmpt1 
 |-  F/_ y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C )
28 nfcv 
 |-  F/_ y x
29 26 27 28 nfbr 
 |-  F/ y b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x
30 nfv 
 |-  F/ b y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x
31 breq1 
 |-  ( b = y -> ( b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
32 24 25 29 30 31 cbvrexfw 
 |-  ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
33 23 32 bitrdi 
 |-  ( a = x -> ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
34 33 cbvralvw 
 |-  ( A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
35 21 34 bitr4i 
 |-  ( A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
36 10 35 sylib 
 |-  ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
37 nfv 
 |-  F/ b ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C )
38 25 nfcri 
 |-  F/ y b e. { y e. B | C e. A }
39 nfcsb1v 
 |-  F/_ y [_ b / y ]_ C
40 39 nfeq2 
 |-  F/ y x = [_ b / y ]_ C
41 38 40 nfan 
 |-  F/ y ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C )
42 eleq1 
 |-  ( y = b -> ( y e. { y e. B | C e. A } <-> b e. { y e. B | C e. A } ) )
43 csbeq1a 
 |-  ( y = b -> C = [_ b / y ]_ C )
44 43 eqeq2d 
 |-  ( y = b -> ( x = C <-> x = [_ b / y ]_ C ) )
45 42 44 anbi12d 
 |-  ( y = b -> ( ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) <-> ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) ) )
46 37 41 45 cbvopab1 
 |-  { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } = { <. b , x >. | ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) }
47 df-mpt 
 |-  ( b e. { y e. B | C e. A } |-> [_ b / y ]_ C ) = { <. b , x >. | ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) }
48 46 13 47 3eqtr4i 
 |-  ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) = ( b e. { y e. B | C e. A } |-> [_ b / y ]_ C )
49 nfcv 
 |-  F/_ y B
50 39 nfel1 
 |-  F/ y [_ b / y ]_ C e. A
51 43 eleq1d 
 |-  ( y = b -> ( C e. A <-> [_ b / y ]_ C e. A ) )
52 26 49 50 51 elrabf 
 |-  ( b e. { y e. B | C e. A } <-> ( b e. B /\ [_ b / y ]_ C e. A ) )
53 52 simprbi 
 |-  ( b e. { y e. B | C e. A } -> [_ b / y ]_ C e. A )
54 48 53 fmpti 
 |-  ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A
55 36 54 jctil 
 |-  ( A. x e. A E. y e. B x = C -> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
56 dffo4 
 |-  ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A <-> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
57 55 56 sylibr 
 |-  ( A. x e. A E. y e. B x = C -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A )
58 57 adantl 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A )
59 relen 
 |-  Rel ~~
60 59 brrelex2i 
 |-  ( A ~~ B -> B e. _V )
61 ssrab2 
 |-  { y e. B | C e. A } C_ B
62 ssdomg 
 |-  ( B e. _V -> ( { y e. B | C e. A } C_ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ B ) )
63 60 61 62 mpisyl 
 |-  ( A ~~ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ B )
64 ensym 
 |-  ( A ~~ B -> B ~~ A )
65 domentr 
 |-  ( ( { y e. B | C e. A } ~<_ B /\ B ~~ A ) -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
66 63 64 65 syl2anc 
 |-  ( A ~~ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
67 66 ad2antlr 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
68 enfi 
 |-  ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
69 68 biimpac 
 |-  ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> B e. Fin )
70 rabfi 
 |-  ( B e. Fin -> { y e. B | C e. A } e. Fin )
71 69 70 syl 
 |-  ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> { y e. B | C e. A } e. Fin )
72 fodomfi 
 |-  ( ( { y e. B | C e. A } e. Fin /\ ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A ) -> A ~<_ { y e. B | C e. A } )
73 71 57 72 syl2an 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A ~<_ { y e. B | C e. A } )
74 sbth 
 |-  ( ( { y e. B | C e. A } ~<_ A /\ A ~<_ { y e. B | C e. A } ) -> { y e. B | C e. A } ~~ A )
75 67 73 74 syl2anc 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> { y e. B | C e. A } ~~ A )
76 simpll 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A e. Fin )
77 fofinf1o 
 |-  ( ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A /\ { y e. B | C e. A } ~~ A /\ A e. Fin ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A )
78 58 75 76 77 syl3anc 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A )
79 f1of1 
 |-  ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A )
80 78 79 syl 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A )
81 dff12 
 |-  ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A <-> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
82 81 simprbi 
 |-  ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A -> A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
83 22 mobidv 
 |-  ( a = x -> ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
84 29 30 31 cbvmow 
 |-  ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
85 83 84 bitrdi 
 |-  ( a = x -> ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
86 85 cbvalvw 
 |-  ( A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
87 82 86 sylib 
 |-  ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A -> A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
88 mormo 
 |-  ( E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
89 88 alimi 
 |-  ( A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> A. x E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
90 alral 
 |-  ( A. x E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
91 80 87 89 90 4syl 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
92 18 rmobidva 
 |-  ( x e. A -> ( E* y e. B x = C <-> E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
93 92 ralbiia 
 |-  ( A. x e. A E* y e. B x = C <-> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
94 91 93 sylibr 
 |-  ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A. x e. A E* y e. B x = C )
95 94 ex 
 |-  ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. x e. A E* y e. B x = C ) )
96 95 pm4.71d 
 |-  ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) ) )
97 reu5 
 |-  ( E! y e. B x = C <-> ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) )
98 97 ralbii 
 |-  ( A. x e. A E! y e. B x = C <-> A. x e. A ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) )
99 r19.26 
 |-  ( A. x e. A ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) )
100 98 99 bitri 
 |-  ( A. x e. A E! y e. B x = C <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) )
101 96 100 bitr4di 
 |-  ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> A. x e. A E! y e. B x = C ) )