Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reclempr.1 |
|- B = { x | E. y ( x |
2 |
|
prpssnq |
|- ( A e. P. -> A C. Q. ) |
3 |
|
pssnel |
|- ( A C. Q. -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. A ) ) |
4 |
|
recclnq |
|- ( x e. Q. -> ( *Q ` x ) e. Q. ) |
5 |
|
nsmallnq |
|- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> E. z z |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( x e. Q. -> E. z z |
7 |
6
|
adantr |
|- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> E. z z |
8 |
|
recrecnq |
|- ( x e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` x ) ) = x ) |
9 |
8
|
eleq1d |
|- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A <-> x e. A ) ) |
10 |
9
|
notbid |
|- ( x e. Q. -> ( -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A <-> -. x e. A ) ) |
11 |
10
|
anbi2d |
|- ( x e. Q. -> ( ( z ( z |
12 |
|
fvex |
|- ( *Q ` x ) e. _V |
13 |
|
breq2 |
|- ( y = ( *Q ` x ) -> ( z z |
14 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( *Q ` x ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( *Q ` x ) ) ) |
15 |
14
|
eleq1d |
|- ( y = ( *Q ` x ) -> ( ( *Q ` y ) e. A <-> ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) ) |
16 |
15
|
notbid |
|- ( y = ( *Q ` x ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A <-> -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) ) |
17 |
13 16
|
anbi12d |
|- ( y = ( *Q ` x ) -> ( ( z ( z |
18 |
12 17
|
spcev |
|- ( ( z E. y ( z |
19 |
11 18
|
syl6bir |
|- ( x e. Q. -> ( ( z E. y ( z |
20 |
|
vex |
|- z e. _V |
21 |
|
breq1 |
|- ( x = z -> ( x z |
22 |
21
|
anbi1d |
|- ( x = z -> ( ( x ( z |
23 |
22
|
exbidv |
|- ( x = z -> ( E. y ( x E. y ( z |
24 |
20 23 1
|
elab2 |
|- ( z e. B <-> E. y ( z |
25 |
19 24
|
syl6ibr |
|- ( x e. Q. -> ( ( z z e. B ) ) |
26 |
25
|
expcomd |
|- ( x e. Q. -> ( -. x e. A -> ( z z e. B ) ) ) |
27 |
26
|
imp |
|- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> ( z z e. B ) ) |
28 |
27
|
eximdv |
|- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> ( E. z z E. z z e. B ) ) |
29 |
7 28
|
mpd |
|- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> E. z z e. B ) |
30 |
|
n0 |
|- ( B =/= (/) <-> E. z z e. B ) |
31 |
29 30
|
sylibr |
|- ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> B =/= (/) ) |
32 |
31
|
exlimiv |
|- ( E. x ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> B =/= (/) ) |
33 |
2 3 32
|
3syl |
|- ( A e. P. -> B =/= (/) ) |
34 |
|
0pss |
|- ( (/) C. B <-> B =/= (/) ) |
35 |
33 34
|
sylibr |
|- ( A e. P. -> (/) C. B ) |
36 |
|
prn0 |
|- ( A e. P. -> A =/= (/) ) |
37 |
|
elprnq |
|- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> z e. Q. ) |
38 |
|
recrecnq |
|- ( z e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` z ) ) = z ) |
39 |
38
|
eleq1d |
|- ( z e. Q. -> ( ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A <-> z e. A ) ) |
40 |
39
|
anbi2d |
|- ( z e. Q. -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ z e. A ) ) ) |
41 |
37 40
|
syl |
|- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ z e. A ) ) ) |
42 |
|
fvex |
|- ( *Q ` z ) e. _V |
43 |
|
fveq2 |
|- ( x = ( *Q ` z ) -> ( *Q ` x ) = ( *Q ` ( *Q ` z ) ) ) |
44 |
43
|
eleq1d |
|- ( x = ( *Q ` z ) -> ( ( *Q ` x ) e. A <-> ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) ) |
45 |
44
|
anbi2d |
|- ( x = ( *Q ` z ) -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) ) ) |
46 |
42 45
|
spcev |
|- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) ) |
47 |
41 46
|
syl6bir |
|- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) ) ) |
48 |
47
|
pm2.43i |
|- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) ) |
49 |
|
elprnq |
|- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( *Q ` x ) e. Q. ) |
50 |
|
dmrecnq |
|- dom *Q = Q. |
51 |
|
0nnq |
|- -. (/) e. Q. |
52 |
50 51
|
ndmfvrcl |
|- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> x e. Q. ) |
53 |
49 52
|
syl |
|- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> x e. Q. ) |
54 |
|
ltrnq |
|- ( x ( *Q ` y ) |
55 |
|
prcdnq |
|- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( ( *Q ` y ) ( *Q ` y ) e. A ) ) |
56 |
54 55
|
syl5bi |
|- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( x ( *Q ` y ) e. A ) ) |
57 |
56
|
alrimiv |
|- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> A. y ( x ( *Q ` y ) e. A ) ) |
58 |
1
|
abeq2i |
|- ( x e. B <-> E. y ( x |
59 |
|
exanali |
|- ( E. y ( x -. A. y ( x ( *Q ` y ) e. A ) ) |
60 |
58 59
|
bitri |
|- ( x e. B <-> -. A. y ( x ( *Q ` y ) e. A ) ) |
61 |
60
|
con2bii |
|- ( A. y ( x ( *Q ` y ) e. A ) <-> -. x e. B ) |
62 |
57 61
|
sylib |
|- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> -. x e. B ) |
63 |
53 62
|
jca |
|- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) |
64 |
63
|
eximi |
|- ( E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) |
65 |
48 64
|
syl |
|- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) |
66 |
65
|
ex |
|- ( A e. P. -> ( z e. A -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) ) |
67 |
66
|
exlimdv |
|- ( A e. P. -> ( E. z z e. A -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) ) |
68 |
|
n0 |
|- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A ) |
69 |
|
nss |
|- ( -. Q. C_ B <-> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) |
70 |
67 68 69
|
3imtr4g |
|- ( A e. P. -> ( A =/= (/) -> -. Q. C_ B ) ) |
71 |
36 70
|
mpd |
|- ( A e. P. -> -. Q. C_ B ) |
72 |
|
ltrelnq |
|- |
73 |
72
|
brel |
|- ( x ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) |
74 |
73
|
simpld |
|- ( x x e. Q. ) |
75 |
74
|
adantr |
|- ( ( x x e. Q. ) |
76 |
75
|
exlimiv |
|- ( E. y ( x x e. Q. ) |
77 |
58 76
|
sylbi |
|- ( x e. B -> x e. Q. ) |
78 |
77
|
ssriv |
|- B C_ Q. |
79 |
71 78
|
jctil |
|- ( A e. P. -> ( B C_ Q. /\ -. Q. C_ B ) ) |
80 |
|
dfpss3 |
|- ( B C. Q. <-> ( B C_ Q. /\ -. Q. C_ B ) ) |
81 |
79 80
|
sylibr |
|- ( A e. P. -> B C. Q. ) |
82 |
35 81
|
jca |
|- ( A e. P. -> ( (/) C. B /\ B C. Q. ) ) |
83 |
|
ltsonq |
|- |
84 |
83 72
|
sotri |
|- ( ( z z |
85 |
84
|
ex |
|- ( z ( x z |
86 |
85
|
anim1d |
|- ( z ( ( x ( z |
87 |
86
|
eximdv |
|- ( z ( E. y ( x E. y ( z |
88 |
87 58 24
|
3imtr4g |
|- ( z ( x e. B -> z e. B ) ) |
89 |
88
|
com12 |
|- ( x e. B -> ( z z e. B ) ) |
90 |
89
|
alrimiv |
|- ( x e. B -> A. z ( z z e. B ) ) |
91 |
|
nfe1 |
|- F/ y E. y ( x |
92 |
91
|
nfab |
|- F/_ y { x | E. y ( x |
93 |
1 92
|
nfcxfr |
|- F/_ y B |
94 |
|
nfv |
|- F/ y x |
95 |
93 94
|
nfrex |
|- F/ y E. z e. B x |
96 |
|
19.8a |
|- ( ( z E. y ( z |
97 |
96 24
|
sylibr |
|- ( ( z z e. B ) |
98 |
97
|
adantll |
|- ( ( ( x z e. B ) |
99 |
|
simpll |
|- ( ( ( x x |
100 |
98 99
|
jca |
|- ( ( ( x ( z e. B /\ x |
101 |
100
|
expcom |
|- ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( ( x ( z e. B /\ x |
102 |
101
|
eximdv |
|- ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( E. z ( x E. z ( z e. B /\ x |
103 |
|
ltbtwnnq |
|- ( x E. z ( x |
104 |
|
df-rex |
|- ( E. z e. B x E. z ( z e. B /\ x |
105 |
102 103 104
|
3imtr4g |
|- ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( x E. z e. B x |
106 |
105
|
impcom |
|- ( ( x E. z e. B x |
107 |
95 106
|
exlimi |
|- ( E. y ( x E. z e. B x |
108 |
58 107
|
sylbi |
|- ( x e. B -> E. z e. B x |
109 |
90 108
|
jca |
|- ( x e. B -> ( A. z ( z z e. B ) /\ E. z e. B x |
110 |
109
|
rgen |
|- A. x e. B ( A. z ( z z e. B ) /\ E. z e. B x |
111 |
|
elnp |
|- ( B e. P. <-> ( ( (/) C. B /\ B C. Q. ) /\ A. x e. B ( A. z ( z z e. B ) /\ E. z e. B x |
112 |
82 110 111
|
sylanblrc |
|- ( A e. P. -> B e. P. ) |