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Theorem reclem2pr

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of Gleason p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis reclempr.1
|- B = { x | E. y ( x 
Assertion reclem2pr
|- ( A e. P. -> B e. P. )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 reclempr.1
 |-  B = { x | E. y ( x 
2 prpssnq
 |-  ( A e. P. -> A C. Q. )
3 pssnel
 |-  ( A C. Q. -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. A ) )
4 recclnq
 |-  ( x e. Q. -> ( *Q ` x ) e. Q. )
5 nsmallnq
 |-  ( ( *Q ` x ) e. Q. -> E. z z 
6 4 5 syl
 |-  ( x e. Q. -> E. z z 
7 6 adantr
 |-  ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> E. z z 
8 recrecnq
 |-  ( x e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` x ) ) = x )
9 8 eleq1d
 |-  ( x e. Q. -> ( ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A <-> x e. A ) )
10 9 notbid
 |-  ( x e. Q. -> ( -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A <-> -. x e. A ) )
11 10 anbi2d
 |-  ( x e. Q. -> ( ( z  ( z 
12 fvex
 |-  ( *Q ` x ) e. _V
13 breq2
 |-  ( y = ( *Q ` x ) -> ( z  z 
14 fveq2
 |-  ( y = ( *Q ` x ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( *Q ` x ) ) )
15 14 eleq1d
 |-  ( y = ( *Q ` x ) -> ( ( *Q ` y ) e. A <-> ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) )
16 15 notbid
 |-  ( y = ( *Q ` x ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A <-> -. ( *Q ` ( *Q ` x ) ) e. A ) )
17 13 16 anbi12d
 |-  ( y = ( *Q ` x ) -> ( ( z  ( z 
18 12 17 spcev
 |-  ( ( z  E. y ( z 
19 11 18 syl6bir
 |-  ( x e. Q. -> ( ( z  E. y ( z 
20 vex
 |-  z e. _V
21 breq1
 |-  ( x = z -> ( x  z 
22 21 anbi1d
 |-  ( x = z -> ( ( x  ( z 
23 22 exbidv
 |-  ( x = z -> ( E. y ( x  E. y ( z 
24 20 23 1 elab2
 |-  ( z e. B <-> E. y ( z 
25 19 24 syl6ibr
 |-  ( x e. Q. -> ( ( z  z e. B ) )
26 25 expcomd
 |-  ( x e. Q. -> ( -. x e. A -> ( z  z e. B ) ) )
27 26 imp
 |-  ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> ( z  z e. B ) )
28 27 eximdv
 |-  ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> ( E. z z  E. z z e. B ) )
29 7 28 mpd
 |-  ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> E. z z e. B )
30 n0
 |-  ( B =/= (/) <-> E. z z e. B )
31 29 30 sylibr
 |-  ( ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> B =/= (/) )
32 31 exlimiv
 |-  ( E. x ( x e. Q. /\ -. x e. A ) -> B =/= (/) )
33 2 3 32 3syl
 |-  ( A e. P. -> B =/= (/) )
34 0pss
 |-  ( (/) C. B <-> B =/= (/) )
35 33 34 sylibr
 |-  ( A e. P. -> (/) C. B )
36 prn0
 |-  ( A e. P. -> A =/= (/) )
37 elprnq
 |-  ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> z e. Q. )
38 recrecnq
 |-  ( z e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` z ) ) = z )
39 38 eleq1d
 |-  ( z e. Q. -> ( ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A <-> z e. A ) )
40 39 anbi2d
 |-  ( z e. Q. -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ z e. A ) ) )
41 37 40 syl
 |-  ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ z e. A ) ) )
42 fvex
 |-  ( *Q ` z ) e. _V
43 fveq2
 |-  ( x = ( *Q ` z ) -> ( *Q ` x ) = ( *Q ` ( *Q ` z ) ) )
44 43 eleq1d
 |-  ( x = ( *Q ` z ) -> ( ( *Q ` x ) e. A <-> ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) )
45 44 anbi2d
 |-  ( x = ( *Q ` z ) -> ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) <-> ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) ) )
46 42 45 spcev
 |-  ( ( A e. P. /\ ( *Q ` ( *Q ` z ) ) e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) )
47 41 46 syl6bir
 |-  ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) ) )
48 47 pm2.43i
 |-  ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) )
49 elprnq
 |-  ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( *Q ` x ) e. Q. )
50 dmrecnq
 |-  dom *Q = Q.
51 0nnq
 |-  -. (/) e. Q.
52 50 51 ndmfvrcl
 |-  ( ( *Q ` x ) e. Q. -> x e. Q. )
53 49 52 syl
 |-  ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> x e. Q. )
54 ltrnq
 |-  ( x  ( *Q ` y ) 
55 prcdnq
 |-  ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( ( *Q ` y )  ( *Q ` y ) e. A ) )
56 54 55 syl5bi
 |-  ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( x  ( *Q ` y ) e. A ) )
57 56 alrimiv
 |-  ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> A. y ( x  ( *Q ` y ) e. A ) )
58 1 abeq2i
 |-  ( x e. B <-> E. y ( x 
59 exanali
 |-  ( E. y ( x  -. A. y ( x  ( *Q ` y ) e. A ) )
60 58 59 bitri
 |-  ( x e. B <-> -. A. y ( x  ( *Q ` y ) e. A ) )
61 60 con2bii
 |-  ( A. y ( x  ( *Q ` y ) e. A ) <-> -. x e. B )
62 57 61 sylib
 |-  ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> -. x e. B )
63 53 62 jca
 |-  ( ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> ( x e. Q. /\ -. x e. B ) )
64 63 eximi
 |-  ( E. x ( A e. P. /\ ( *Q ` x ) e. A ) -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) )
65 48 64 syl
 |-  ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) )
66 65 ex
 |-  ( A e. P. -> ( z e. A -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) )
67 66 exlimdv
 |-  ( A e. P. -> ( E. z z e. A -> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) ) )
68 n0
 |-  ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
69 nss
 |-  ( -. Q. C_ B <-> E. x ( x e. Q. /\ -. x e. B ) )
70 67 68 69 3imtr4g
 |-  ( A e. P. -> ( A =/= (/) -> -. Q. C_ B ) )
71 36 70 mpd
 |-  ( A e. P. -> -. Q. C_ B )
72 ltrelnq
 |-  
73 72 brel
 |-  ( x  ( x e. Q. /\ y e. Q. ) )
74 73 simpld
 |-  ( x  x e. Q. )
75 74 adantr
 |-  ( ( x  x e. Q. )
76 75 exlimiv
 |-  ( E. y ( x  x e. Q. )
77 58 76 sylbi
 |-  ( x e. B -> x e. Q. )
78 77 ssriv
 |-  B C_ Q.
79 71 78 jctil
 |-  ( A e. P. -> ( B C_ Q. /\ -. Q. C_ B ) )
80 dfpss3
 |-  ( B C. Q. <-> ( B C_ Q. /\ -. Q. C_ B ) )
81 79 80 sylibr
 |-  ( A e. P. -> B C. Q. )
82 35 81 jca
 |-  ( A e. P. -> ( (/) C. B /\ B C. Q. ) )
83 ltsonq
 |-  
84 83 72 sotri
 |-  ( ( z  z 
85 84 ex
 |-  ( z  ( x  z 
86 85 anim1d
 |-  ( z  ( ( x  ( z 
87 86 eximdv
 |-  ( z  ( E. y ( x  E. y ( z 
88 87 58 24 3imtr4g
 |-  ( z  ( x e. B -> z e. B ) )
89 88 com12
 |-  ( x e. B -> ( z  z e. B ) )
90 89 alrimiv
 |-  ( x e. B -> A. z ( z  z e. B ) )
91 nfe1
 |-  F/ y E. y ( x 
92 91 nfab
 |-  F/_ y { x | E. y ( x 
93 1 92 nfcxfr
 |-  F/_ y B
94 nfv
 |-  F/ y x 
95 93 94 nfrex
 |-  F/ y E. z e. B x 
96 19.8a
 |-  ( ( z  E. y ( z 
97 96 24 sylibr
 |-  ( ( z  z e. B )
98 97 adantll
 |-  ( ( ( x  z e. B )
99 simpll
 |-  ( ( ( x  x 
100 98 99 jca
 |-  ( ( ( x  ( z e. B /\ x 
101 100 expcom
 |-  ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( ( x  ( z e. B /\ x 
102 101 eximdv
 |-  ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( E. z ( x  E. z ( z e. B /\ x 
103 ltbtwnnq
 |-  ( x  E. z ( x 
104 df-rex
 |-  ( E. z e. B x  E. z ( z e. B /\ x 
105 102 103 104 3imtr4g
 |-  ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( x  E. z e. B x 
106 105 impcom
 |-  ( ( x  E. z e. B x 
107 95 106 exlimi
 |-  ( E. y ( x  E. z e. B x 
108 58 107 sylbi
 |-  ( x e. B -> E. z e. B x 
109 90 108 jca
 |-  ( x e. B -> ( A. z ( z  z e. B ) /\ E. z e. B x 
110 109 rgen
 |-  A. x e. B ( A. z ( z  z e. B ) /\ E. z e. B x 
111 elnp
 |-  ( B e. P. <-> ( ( (/) C. B /\ B C. Q. ) /\ A. x e. B ( A. z ( z  z e. B ) /\ E. z e. B x 
112 82 110 111 sylanblrc
 |-  ( A e. P. -> B e. P. )