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Theorem cmtbr3N

Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of Kalmbach p. 23. ( cmbr3 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cmtbr2.b B = Base K
cmtbr2.j ˙ = join K
cmtbr2.m ˙ = meet K
cmtbr2.o ˙ = oc K
cmtbr2.c C = cm K
Assertion cmtbr3N K OML X B Y B X C Y X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cmtbr2.b B = Base K
2 cmtbr2.j ˙ = join K
3 cmtbr2.m ˙ = meet K
4 cmtbr2.o ˙ = oc K
5 cmtbr2.c C = cm K
6 1 5 cmtcomN K OML X B Y B X C Y Y C X
7 1 2 3 4 5 cmtbr2N K OML Y B X B Y C X Y = Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X
8 7 3com23 K OML X B Y B Y C X Y = Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X
9 6 8 bitrd K OML X B Y B X C Y Y = Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X
10 oveq2 Y = Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X X ˙ Y = X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X
11 10 adantl K OML X B Y B Y = Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X X ˙ Y = X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X
12 omlol K OML K OL
13 12 3ad2ant1 K OML X B Y B K OL
14 simp2 K OML X B Y B X B
15 omllat K OML K Lat
16 15 3ad2ant1 K OML X B Y B K Lat
17 simp3 K OML X B Y B Y B
18 1 2 latjcl K Lat Y B X B Y ˙ X B
19 16 17 14 18 syl3anc K OML X B Y B Y ˙ X B
20 omlop K OML K OP
21 20 3ad2ant1 K OML X B Y B K OP
22 1 4 opoccl K OP X B ˙ X B
23 21 14 22 syl2anc K OML X B Y B ˙ X B
24 1 2 latjcl K Lat Y B ˙ X B Y ˙ ˙ X B
25 16 17 23 24 syl3anc K OML X B Y B Y ˙ ˙ X B
26 1 3 latmassOLD K OL X B Y ˙ X B Y ˙ ˙ X B X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X = X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X
27 13 14 19 25 26 syl13anc K OML X B Y B X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X = X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X
28 1 2 latjcom K Lat Y B X B Y ˙ X = X ˙ Y
29 16 17 14 28 syl3anc K OML X B Y B Y ˙ X = X ˙ Y
30 29 oveq2d K OML X B Y B X ˙ Y ˙ X = X ˙ X ˙ Y
31 1 2 3 latabs2 K Lat X B Y B X ˙ X ˙ Y = X
32 15 31 syl3an1 K OML X B Y B X ˙ X ˙ Y = X
33 30 32 eqtrd K OML X B Y B X ˙ Y ˙ X = X
34 1 2 latjcom K Lat Y B ˙ X B Y ˙ ˙ X = ˙ X ˙ Y
35 16 17 23 34 syl3anc K OML X B Y B Y ˙ ˙ X = ˙ X ˙ Y
36 33 35 oveq12d K OML X B Y B X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X = X ˙ ˙ X ˙ Y
37 27 36 eqtr3d K OML X B Y B X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X = X ˙ ˙ X ˙ Y
38 37 adantr K OML X B Y B Y = Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X X ˙ Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X = X ˙ ˙ X ˙ Y
39 11 38 eqtr2d K OML X B Y B Y = Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y
40 39 ex K OML X B Y B Y = Y ˙ X ˙ Y ˙ ˙ X X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y
41 9 40 sylbid K OML X B Y B X C Y X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y
42 simp1 K OML X B Y B K OML
43 1 4 opoccl K OP Y B ˙ Y B
44 21 17 43 syl2anc K OML X B Y B ˙ Y B
45 1 3 latmcl K Lat X B ˙ Y B X ˙ ˙ Y B
46 16 14 44 45 syl3anc K OML X B Y B X ˙ ˙ Y B
47 42 46 14 3jca K OML X B Y B K OML X ˙ ˙ Y B X B
48 eqid K = K
49 1 48 3 latmle1 K Lat X B ˙ Y B X ˙ ˙ Y K X
50 16 14 44 49 syl3anc K OML X B Y B X ˙ ˙ Y K X
51 1 48 2 3 4 omllaw2N K OML X ˙ ˙ Y B X B X ˙ ˙ Y K X X ˙ ˙ Y ˙ ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X = X
52 47 50 51 sylc K OML X B Y B X ˙ ˙ Y ˙ ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X = X
53 1 4 opoccl K OP X ˙ ˙ Y B ˙ X ˙ ˙ Y B
54 21 46 53 syl2anc K OML X B Y B ˙ X ˙ ˙ Y B
55 1 3 latmcl K Lat ˙ X ˙ ˙ Y B X B ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X B
56 16 54 14 55 syl3anc K OML X B Y B ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X B
57 1 2 latjcom K Lat X ˙ ˙ Y B ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X B X ˙ ˙ Y ˙ ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X = ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X ˙ X ˙ ˙ Y
58 16 46 56 57 syl3anc K OML X B Y B X ˙ ˙ Y ˙ ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X = ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X ˙ X ˙ ˙ Y
59 52 58 eqtr3d K OML X B Y B X = ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X ˙ X ˙ ˙ Y
60 59 adantr K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y X = ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X ˙ X ˙ ˙ Y
61 1 2 3 4 oldmm3N K OL X B Y B ˙ X ˙ ˙ Y = ˙ X ˙ Y
62 12 61 syl3an1 K OML X B Y B ˙ X ˙ ˙ Y = ˙ X ˙ Y
63 62 oveq2d K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ ˙ Y = X ˙ ˙ X ˙ Y
64 1 3 latmcom K Lat X B ˙ X ˙ ˙ Y B X ˙ ˙ X ˙ ˙ Y = ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X
65 16 14 54 64 syl3anc K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ ˙ Y = ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X
66 63 65 eqtr3d K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ Y = ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X
67 66 eqeq1d K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X = X ˙ Y
68 oveq1 ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X ˙ X ˙ ˙ Y = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y
69 67 68 syl6bi K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X ˙ X ˙ ˙ Y = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y
70 69 imp K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y ˙ X ˙ X ˙ ˙ Y = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y
71 60 70 eqtrd K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y X = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y
72 71 ex K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y X = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y
73 1 2 3 4 5 cmtvalN K OML X B Y B X C Y X = X ˙ Y ˙ X ˙ ˙ Y
74 72 73 sylibrd K OML X B Y B X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y X C Y
75 41 74 impbid K OML X B Y B X C Y X ˙ ˙ X ˙ Y = X ˙ Y