Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bpos.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 5 ) ) |
2 |
|
bpos.2 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
3 |
|
bpos.3 |
⊢ 𝐹 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( 𝑛 ↑ ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) , 1 ) ) |
4 |
|
bpos.4 |
⊢ 𝐾 = ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
5 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ ) → 𝑛 ∈ ℙ ) |
6 |
|
5nn |
⊢ 5 ∈ ℕ |
7 |
|
eluznn |
⊢ ( ( 5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 5 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
8 |
6 1 7
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
9 |
8
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
10 |
|
fzctr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
11 |
|
bccl2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
12 |
9 10 11
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ ) → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
14 |
5 13
|
pccld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ ) → ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
15 |
14
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑛 ∈ ℙ ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ∀ 𝑛 ∈ ℙ ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
17 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
18 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
19 |
17 8 18
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
20 |
19
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
21 |
|
3nn |
⊢ 3 ∈ ℕ |
22 |
|
nndivre |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ ) → ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
23 |
20 21 22
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
24 |
23
|
flcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ∈ ℤ ) |
25 |
4 24
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ ) |
26 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℝ ) |
28 |
|
5re |
⊢ 5 ∈ ℝ |
29 |
28
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 5 ∈ ℝ ) |
30 |
8
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ ) |
31 |
|
3lt5 |
⊢ 3 < 5 |
32 |
26 28 31
|
ltleii |
⊢ 3 ≤ 5 |
33 |
32
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ≤ 5 ) |
34 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 5 ) → 5 ≤ 𝑁 ) |
35 |
1 34
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 5 ≤ 𝑁 ) |
36 |
27 29 30 33 35
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 3 ≤ 𝑁 ) |
37 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
38 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
39 |
37 38
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) |
40 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( 3 ≤ 𝑁 ↔ ( 2 · 3 ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
41 |
26 39 40
|
mp3an13 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 3 ≤ 𝑁 ↔ ( 2 · 3 ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
42 |
30 41
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 ≤ 𝑁 ↔ ( 2 · 3 ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
43 |
36 42
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 3 ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) |
44 |
|
3pos |
⊢ 0 < 3 |
45 |
26 44
|
pm3.2i |
⊢ ( 3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3 ) |
46 |
|
lemuldiv |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ ( 3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3 ) ) → ( ( 2 · 3 ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ↔ 2 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) |
47 |
37 45 46
|
mp3an13 |
⊢ ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ → ( ( 2 · 3 ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ↔ 2 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) |
48 |
20 47
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 3 ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ↔ 2 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) |
49 |
43 48
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
50 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
51 |
|
flge |
⊢ ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( 2 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ↔ 2 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) ) |
52 |
23 50 51
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ↔ 2 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) ) |
53 |
49 52
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) |
54 |
53 4
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≤ 𝐾 ) |
55 |
50
|
eluz1i |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾 ) ) |
56 |
25 54 55
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
57 |
|
eluz2nn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐾 ∈ ℕ ) |
58 |
56 57
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ ) |
59 |
58
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝐾 ∈ ℕ ) |
60 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
61 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑝 → ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
62 |
3 16 59 60 61
|
pcmpt |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ) = if ( 𝑝 ≤ 𝐾 , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) ) |
63 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑝 ≤ 𝐾 → if ( 𝑝 ≤ 𝐾 , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
64 |
63
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑝 ≤ 𝐾 ) → if ( 𝑝 ≤ 𝐾 , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
65 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑝 ≤ 𝐾 → if ( 𝑝 ≤ 𝐾 , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = 0 ) |
66 |
65
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾 ) → if ( 𝑝 ≤ 𝐾 , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = 0 ) |
67 |
25
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ ) |
68 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ ) |
69 |
68
|
zred |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ ) |
70 |
|
ltnle |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ) → ( 𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾 ) ) |
71 |
67 69 70
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾 ) ) |
72 |
71
|
biimpar |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾 ) → 𝐾 < 𝑝 ) |
73 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
74 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
75 |
37
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
76 |
67
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
77 |
68
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑝 ∈ ℤ ) |
78 |
77
|
zred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑝 ∈ ℝ ) |
79 |
54
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 2 ≤ 𝐾 ) |
80 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 𝐾 < 𝑝 ) |
81 |
75 76 78 79 80
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 2 < 𝑝 ) |
82 |
4 80
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) < 𝑝 ) |
83 |
23
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
84 |
|
fllt |
⊢ ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ) → ( ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) < 𝑝 ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) < 𝑝 ) ) |
85 |
83 77 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → ( ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) < 𝑝 ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) < 𝑝 ) ) |
86 |
82 85
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) < 𝑝 ) |
87 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑝 ≤ 𝑁 ) |
88 |
73 74 81 86 87
|
bposlem2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) |
89 |
88
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝐾 < 𝑝 ) → ( 𝑝 ≤ 𝑁 → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
90 |
|
rspe |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
91 |
90
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
92 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → ¬ ∃ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
93 |
91 92
|
pm2.21dd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) |
94 |
93
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑁 < 𝑝 ) → ( 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
95 |
12
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
96 |
9
|
faccld |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
97 |
96 96
|
nnmulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) |
98 |
97
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
99 |
|
dvdsmul1 |
⊢ ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∥ ( ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) · ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
100 |
95 98 99
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∥ ( ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) · ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
101 |
|
bcctr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) = ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
102 |
9 101
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) = ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
103 |
102
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) · ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) · ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
104 |
19
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
105 |
104
|
faccld |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) |
106 |
105
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
107 |
97
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
108 |
97
|
nnne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
109 |
106 107 108
|
divcan1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) · ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
110 |
103 109
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) · ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
111 |
100 110
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
112 |
111
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
113 |
68
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℤ ) |
114 |
95
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
115 |
105
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
116 |
115
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
117 |
|
dvdstr |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑝 ∥ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∧ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
118 |
113 114 116 117
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 ∥ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∧ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
119 |
112 118
|
mpan2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ∥ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) → 𝑝 ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
120 |
|
prmfac1 |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) |
121 |
120
|
3expia |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) → 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
122 |
104 121
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ∥ ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) → 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
123 |
119 122
|
syld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ∥ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) → 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
124 |
123
|
con3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ¬ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) → ¬ 𝑝 ∥ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
125 |
|
id |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ ) |
126 |
|
pceq0 |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
127 |
125 12 126
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
128 |
124 127
|
sylibrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ¬ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
129 |
128
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑁 < 𝑝 ) → ( ¬ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
130 |
94 129
|
pm2.61d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑁 < 𝑝 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) |
131 |
130
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑁 < 𝑝 → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
132 |
131
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝐾 < 𝑝 ) → ( 𝑁 < 𝑝 → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
133 |
|
lelttric |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝 ) ) |
134 |
69 30 133
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝 ) ) |
135 |
134
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝐾 < 𝑝 ) → ( 𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝 ) ) |
136 |
89 132 135
|
mpjaod |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝐾 < 𝑝 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) |
137 |
72 136
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = 0 ) |
138 |
66 137
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾 ) → if ( 𝑝 ≤ 𝐾 , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
139 |
64 138
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → if ( 𝑝 ≤ 𝐾 , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
140 |
62 139
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
141 |
140
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑝 pCnt ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
142 |
3 15
|
pcmptcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 : ℕ ⟶ ℕ ∧ seq 1 ( · , 𝐹 ) : ℕ ⟶ ℕ ) ) |
143 |
142
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( · , 𝐹 ) : ℕ ⟶ ℕ ) |
144 |
143 58
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ ) |
145 |
144
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) |
146 |
12
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
147 |
|
pc11 |
⊢ ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) = ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑝 pCnt ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) ) |
148 |
145 146 147
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) = ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑝 pCnt ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) ) |
149 |
141 148
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) = ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) |