| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.j |
⊢ 𝐽 = ( 1 ..^ ( ⌈ ‘ ( 𝑁 / 2 ) ) ) |
| 2 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑁 gPetersenGr 𝐾 ) |
| 3 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
| 4 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
| 5 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 6 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 7 |
5 6
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 8 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V |
| 9 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 10 |
8 9
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 11 |
7 10
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) |
| 12 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
| 13 |
12
|
orci |
⊢ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 14 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
| 15 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∈ V |
| 16 |
14 15
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 17 |
13 16
|
mpbir |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ |
| 18 |
12
|
orci |
⊢ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 19 |
14 15
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 20 |
18 19
|
mpbir |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ |
| 21 |
17 20
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) |
| 22 |
21
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) |
| 23 |
22
|
orcd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) ) |
| 24 |
|
prneimg |
⊢ ( ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) → ( ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) → { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 25 |
11 23 24
|
mpsyl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 26 |
17
|
orci |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) |
| 27 |
26
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ) |
| 28 |
12
|
orci |
⊢ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 29 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∈ V |
| 30 |
14 29
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 31 |
28 30
|
mpbir |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ |
| 32 |
31
|
olci |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) |
| 33 |
32
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) |
| 34 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V |
| 35 |
8 34
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) |
| 36 |
7 35
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) ) |
| 37 |
|
prneimg2 |
⊢ ( ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) ) → ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 38 |
36 37
|
mp1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 39 |
27 33 38
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ) |
| 40 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( ⌈ ‘ ( 𝑁 / 2 ) ) = ( ⌈ ‘ ( 5 / 2 ) ) ) |
| 41 |
|
ceil5half3 |
⊢ ( ⌈ ‘ ( 5 / 2 ) ) = 3 |
| 42 |
40 41
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( ⌈ ‘ ( 𝑁 / 2 ) ) = 3 ) |
| 43 |
42
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 1 ..^ ( ⌈ ‘ ( 𝑁 / 2 ) ) ) = ( 1 ..^ 3 ) ) |
| 44 |
1 43
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑁 = 5 → 𝐽 = ( 1 ..^ 3 ) ) |
| 45 |
44
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 3 ) ) ) |
| 46 |
45
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 3 ) ) |
| 47 |
46
|
anim1ci |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 3 ) ) ) |
| 48 |
|
minusmodnep2tmod |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 3 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 5 ) ) |
| 49 |
47 48
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 5 ) ) |
| 50 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ) |
| 51 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 5 ) ) |
| 52 |
50 51
|
neeq12d |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 5 ) ) ) |
| 53 |
52
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 5 ) ) ) |
| 54 |
49 53
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 𝑁 ) ) |
| 55 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ ) |
| 56 |
55
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ ℂ ) |
| 57 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ ( ⌈ ‘ ( 𝑁 / 2 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
| 58 |
57 1
|
eleq2s |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ ) |
| 59 |
58
|
zcnd |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℂ ) |
| 60 |
59
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
| 61 |
56 60 60
|
addassd |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 𝐾 ) + 𝐾 ) = ( 𝑋 + ( 𝐾 + 𝐾 ) ) ) |
| 62 |
60
|
2timesd |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 2 · 𝐾 ) = ( 𝐾 + 𝐾 ) ) |
| 63 |
62
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 + 𝐾 ) = ( 2 · 𝐾 ) ) |
| 64 |
63
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 + ( 𝐾 + 𝐾 ) ) = ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) ) |
| 65 |
61 64
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 𝐾 ) + 𝐾 ) = ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) ) |
| 66 |
65
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑋 + ( 2 · 𝐾 ) ) mod 𝑁 ) ) |
| 67 |
54 66
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 68 |
|
zre |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ ) |
| 69 |
68
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
| 70 |
58
|
zred |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ ) |
| 71 |
70
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
| 72 |
69 71
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 + 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
| 73 |
|
5nn |
⊢ 5 ∈ ℕ |
| 74 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ ) ) |
| 75 |
73 74
|
mpbiri |
⊢ ( 𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
| 76 |
75
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
| 77 |
76
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
| 78 |
|
modaddmod |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 79 |
72 71 77 78
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 80 |
67 79
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 81 |
80
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 82 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) = ( 𝑥 + 𝐾 ) ) |
| 83 |
82
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 84 |
83
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 85 |
81 84
|
neeqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 86 |
85
|
olcd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 87 |
86
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) ) |
| 88 |
|
orc |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 89 |
88
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 → ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) ) |
| 90 |
87 89
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 91 |
14 15
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 92 |
|
neirr |
⊢ ¬ 1 ≠ 1 |
| 93 |
92
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 94 |
91 93
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 95 |
94
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 96 |
14 29
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 97 |
92
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 98 |
96 97
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 99 |
98
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 100 |
95 99
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ↔ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) ) |
| 101 |
90 100
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) |
| 102 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
| 103 |
73
|
nnzi |
⊢ 5 ∈ ℤ |
| 104 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
| 105 |
|
5re |
⊢ 5 ∈ ℝ |
| 106 |
|
2lt5 |
⊢ 2 < 5 |
| 107 |
104 105 106
|
ltleii |
⊢ 2 ≤ 5 |
| 108 |
|
eluz2 |
⊢ ( 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( 2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5 ) ) |
| 109 |
102 103 107 108
|
mpbir3an |
⊢ 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) |
| 110 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) |
| 111 |
109 110
|
mpbiri |
⊢ ( 𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
| 112 |
111
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
| 113 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ ℤ ) |
| 114 |
1
|
ceilhalfelfzo1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) |
| 115 |
75 114
|
syl |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) |
| 116 |
115
|
imp |
⊢ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) |
| 117 |
116
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) |
| 118 |
|
zplusmodne |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( 𝑋 mod 𝑁 ) ) |
| 119 |
112 113 117 118
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( 𝑋 mod 𝑁 ) ) |
| 120 |
59
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
| 121 |
|
npcan |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) + 𝐾 ) = 𝑋 ) |
| 122 |
55 120 121
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) + 𝐾 ) = 𝑋 ) |
| 123 |
122
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( 𝑋 mod 𝑁 ) ) |
| 124 |
119 123
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 125 |
57
|
zred |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ ( ⌈ ‘ ( 𝑁 / 2 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
| 126 |
125 1
|
eleq2s |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ ) |
| 127 |
126
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
| 128 |
69 127
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 − 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
| 129 |
|
5rp |
⊢ 5 ∈ ℝ+ |
| 130 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝑁 ∈ ℝ+ ↔ 5 ∈ ℝ+ ) ) |
| 131 |
129 130
|
mpbiri |
⊢ ( 𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
| 132 |
131
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
| 133 |
|
modaddmod |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 134 |
128 127 132 133
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 135 |
124 134
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 136 |
135
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 137 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) = ( 𝑥 + 𝐾 ) ) |
| 138 |
137
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 139 |
138
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 140 |
136 139
|
neeqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 141 |
140
|
orcd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 142 |
141
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 143 |
|
olc |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 144 |
143
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 → ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 145 |
142 144
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 146 |
14 15
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 147 |
92
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 148 |
146 147
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 149 |
148
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 150 |
14 29
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 151 |
92
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 152 |
150 151
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 153 |
152
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 154 |
149 153
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ↔ ( ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 155 |
145 154
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ) |
| 156 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 157 |
34 156
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 158 |
7 157
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) |
| 159 |
|
prneimg2 |
⊢ ( ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) → ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∧ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 160 |
158 159
|
mp1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∧ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 161 |
101 155 160
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 162 |
25 39 161
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 163 |
162
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 164 |
|
ralnex |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ¬ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 165 |
|
3ioran |
⊢ ( ¬ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 166 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 167 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ) |
| 168 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 169 |
166 167 168
|
3anbi123i |
⊢ ( ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 170 |
165 169
|
bitr4i |
⊢ ( ¬ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 171 |
170
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ¬ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 172 |
164 171
|
bitr3i |
⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 173 |
163 172
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 174 |
|
5eluz3 |
⊢ 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) |
| 175 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ↔ 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) |
| 176 |
174 175
|
mpbiri |
⊢ ( 𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
| 177 |
|
eqid |
⊢ ( 0 ..^ 𝑁 ) = ( 0 ..^ 𝑁 ) |
| 178 |
177 1 2 4
|
gpgedgel |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 179 |
176 178
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 180 |
179
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 181 |
173 180
|
mtbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ) |
| 182 |
|
df-nel |
⊢ ( { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∉ 𝐸 ↔ ¬ { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ) |
| 183 |
181 182
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → { ⟨ 1 , ( ( 𝑋 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∉ 𝐸 ) |