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Theorem stoweidlem41

Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of BrosowskiDeutsh p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - q_n". Here E is used to represent ε in the paper, and y to represent q_n in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses stoweidlem41.1 𝑡 𝜑
stoweidlem41.2 𝑋 = ( 𝑡𝑇 ↦ ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
stoweidlem41.3 𝐹 = ( 𝑡𝑇 ↦ 1 )
stoweidlem41.4 𝑉𝑇
stoweidlem41.5 ( 𝜑𝑦𝐴 )
stoweidlem41.6 ( 𝜑𝑦 : 𝑇 ⟶ ℝ )
stoweidlem41.7 ( ( 𝜑𝑓𝐴 ) → 𝑓 : 𝑇 ⟶ ℝ )
stoweidlem41.8 ( ( 𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) + ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
stoweidlem41.9 ( ( 𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) · ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
stoweidlem41.10 ( ( 𝜑𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑡𝑇𝑤 ) ∈ 𝐴 )
stoweidlem41.11 ( 𝜑𝐸 ∈ ℝ+ )
stoweidlem41.12 ( 𝜑 → ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) )
stoweidlem41.13 ( 𝜑 → ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑦𝑡 ) )
stoweidlem41.14 ( 𝜑 → ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝐸 )
Assertion stoweidlem41 ( 𝜑 → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝐸 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 stoweidlem41.1 𝑡 𝜑
2 stoweidlem41.2 𝑋 = ( 𝑡𝑇 ↦ ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
3 stoweidlem41.3 𝐹 = ( 𝑡𝑇 ↦ 1 )
4 stoweidlem41.4 𝑉𝑇
5 stoweidlem41.5 ( 𝜑𝑦𝐴 )
6 stoweidlem41.6 ( 𝜑𝑦 : 𝑇 ⟶ ℝ )
7 stoweidlem41.7 ( ( 𝜑𝑓𝐴 ) → 𝑓 : 𝑇 ⟶ ℝ )
8 stoweidlem41.8 ( ( 𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) + ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
9 stoweidlem41.9 ( ( 𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) · ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
10 stoweidlem41.10 ( ( 𝜑𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑡𝑇𝑤 ) ∈ 𝐴 )
11 stoweidlem41.11 ( 𝜑𝐸 ∈ ℝ+ )
12 stoweidlem41.12 ( 𝜑 → ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) )
13 stoweidlem41.13 ( 𝜑 → ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑦𝑡 ) )
14 stoweidlem41.14 ( 𝜑 → ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝐸 )
15 1re 1 ∈ ℝ
16 3 fvmpt2 ( ( 𝑡𝑇 ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( 𝐹𝑡 ) = 1 )
17 15 16 mpan2 ( 𝑡𝑇 → ( 𝐹𝑡 ) = 1 )
18 17 adantl ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 𝐹𝑡 ) = 1 )
19 18 oveq1d ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝑦𝑡 ) ) = ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
20 1 19 mpteq2da ( 𝜑 → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝑦𝑡 ) ) ) = ( 𝑡𝑇 ↦ ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) ) )
21 20 2 eqtr4di ( 𝜑 → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝑦𝑡 ) ) ) = 𝑋 )
22 10 stoweidlem4 ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( 𝑡𝑇 ↦ 1 ) ∈ 𝐴 )
23 15 22 mpan2 ( 𝜑 → ( 𝑡𝑇 ↦ 1 ) ∈ 𝐴 )
24 3 23 eqeltrid ( 𝜑𝐹𝐴 )
25 nfmpt1 𝑡 ( 𝑡𝑇 ↦ 1 )
26 3 25 nfcxfr 𝑡 𝐹
27 nfcv 𝑡 𝑦
28 26 27 1 7 8 9 10 stoweidlem33 ( ( 𝜑𝐹𝐴𝑦𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝑦𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
29 24 5 28 mpd3an23 ( 𝜑 → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝑦𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
30 21 29 eqeltrrd ( 𝜑𝑋𝐴 )
31 6 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 𝑦𝑡 ) ∈ ℝ )
32 1red ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → 1 ∈ ℝ )
33 0red ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → 0 ∈ ℝ )
34 12 r19.21bi ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) )
35 34 simprd ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 )
36 1m0e1 ( 1 − 0 ) = 1
37 35 36 breqtrrdi ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 𝑦𝑡 ) ≤ ( 1 − 0 ) )
38 31 32 33 37 lesubd ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → 0 ≤ ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
39 simpr ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → 𝑡𝑇 )
40 32 31 resubcld ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) ∈ ℝ )
41 2 fvmpt2 ( ( 𝑡𝑇 ∧ ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑋𝑡 ) = ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
42 39 40 41 syl2anc ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 𝑋𝑡 ) = ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
43 38 42 breqtrrd ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) )
44 34 simpld ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) )
45 33 31 32 44 lesub2dd ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) ≤ ( 1 − 0 ) )
46 45 36 breqtrdi ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) ≤ 1 )
47 42 46 eqbrtrd ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 )
48 43 47 jca ( ( 𝜑𝑡𝑇 ) → ( 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) ∧ ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 ) )
49 48 ex ( 𝜑 → ( 𝑡𝑇 → ( 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) ∧ ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 ) ) )
50 1 49 ralrimi ( 𝜑 → ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) ∧ ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 ) )
51 4 sseli ( 𝑡𝑉𝑡𝑇 )
52 51 42 sylan2 ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝑋𝑡 ) = ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
53 1red ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → 1 ∈ ℝ )
54 11 rpred ( 𝜑𝐸 ∈ ℝ )
55 54 adantr ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → 𝐸 ∈ ℝ )
56 51 31 sylan2 ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝑦𝑡 ) ∈ ℝ )
57 13 r19.21bi ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑦𝑡 ) )
58 53 55 56 57 ltsub23d ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) < 𝐸 )
59 52 58 eqbrtrd ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝑋𝑡 ) < 𝐸 )
60 59 ex ( 𝜑 → ( 𝑡𝑉 → ( 𝑋𝑡 ) < 𝐸 ) )
61 1 60 ralrimi ( 𝜑 → ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑋𝑡 ) < 𝐸 )
62 eldifi ( 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) → 𝑡𝑇 )
63 62 31 sylan2 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ) → ( 𝑦𝑡 ) ∈ ℝ )
64 54 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
65 1red ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ) → 1 ∈ ℝ )
66 14 r19.21bi ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ) → ( 𝑦𝑡 ) < 𝐸 )
67 63 64 65 66 ltsub2dd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ) → ( 1 − 𝐸 ) < ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
68 62 42 sylan2 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ) → ( 𝑋𝑡 ) = ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
69 67 68 breqtrrd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ) → ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑋𝑡 ) )
70 69 ex ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) → ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑋𝑡 ) ) )
71 1 70 ralrimi ( 𝜑 → ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑋𝑡 ) )
72 nfmpt1 𝑡 ( 𝑡𝑇 ↦ ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
73 2 72 nfcxfr 𝑡 𝑋
74 73 nfeq2 𝑡 𝑥 = 𝑋
75 fveq1 ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥𝑡 ) = ( 𝑋𝑡 ) )
76 75 breq2d ( 𝑥 = 𝑋 → ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ↔ 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) ) )
77 75 breq1d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ↔ ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 ) )
78 76 77 anbi12d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) ∧ ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 ) ) )
79 74 78 ralbid ( 𝑥 = 𝑋 → ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ↔ ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) ∧ ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 ) ) )
80 75 breq1d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑥𝑡 ) < 𝐸 ↔ ( 𝑋𝑡 ) < 𝐸 ) )
81 74 80 ralbid ( 𝑥 = 𝑋 → ( ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝐸 ↔ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑋𝑡 ) < 𝐸 ) )
82 75 breq2d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑥𝑡 ) ↔ ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑋𝑡 ) ) )
83 74 82 ralbid ( 𝑥 = 𝑋 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑥𝑡 ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑋𝑡 ) ) )
84 79 81 83 3anbi123d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝐸 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ↔ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) ∧ ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑋𝑡 ) < 𝐸 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑋𝑡 ) ) ) )
85 84 rspcev ( ( 𝑋𝐴 ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑋𝑡 ) ∧ ( 𝑋𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑋𝑡 ) < 𝐸 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑋𝑡 ) ) ) → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝐸 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) )
86 30 50 61 71 85 syl13anc ( 𝜑 → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝐸 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝐸 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) )