Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) |
2 |
|
ringgrp |
⊢ ( ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Grp ) |
3 |
2
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Grp ) |
4 |
|
orngogrp |
⊢ ( 𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp ) |
5 |
|
isogrp |
⊢ ( 𝑅 ∈ oGrp ↔ ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd ) ) |
6 |
5
|
simprbi |
⊢ ( 𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd ) |
7 |
4 6
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd ) |
8 |
|
ringmnd |
⊢ ( ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Mnd ) |
9 |
|
submomnd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Mnd ) → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ oMnd ) |
10 |
7 8 9
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ oMnd ) |
11 |
|
isogrp |
⊢ ( ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ oGrp ↔ ( ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Grp ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ oMnd ) ) |
12 |
3 10 11
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ oGrp ) |
13 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → 𝑅 ∈ oRing ) |
14 |
|
reldmress |
⊢ Rel dom ↾s |
15 |
14
|
ovprc2 |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) = ∅ ) |
16 |
15
|
fveq2d |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ( Base ‘ ∅ ) ) |
17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ V ) → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ( Base ‘ ∅ ) ) |
18 |
|
base0 |
⊢ ∅ = ( Base ‘ ∅ ) |
19 |
17 18
|
eqtr4di |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ V ) → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ∅ ) |
20 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) |
22 |
20 21
|
ringidcl |
⊢ ( ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring → ( 1r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
23 |
22
|
ne0d |
⊢ ( ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ≠ ∅ ) |
24 |
23
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ V ) → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ≠ ∅ ) |
25 |
24
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ V ) → ¬ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ∅ ) |
26 |
19 25
|
condan |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → 𝐴 ∈ V ) |
27 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) = ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) |
28 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
29 |
27 28
|
ressbas |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∩ ( Base ‘ 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
30 |
|
inss2 |
⊢ ( 𝐴 ∩ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) |
31 |
29 30
|
eqsstrrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
32 |
26 31
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
33 |
32
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
34 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
35 |
33 34
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
36 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ) |
37 |
|
orngring |
⊢ ( 𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
38 |
|
ringgrp |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp ) |
39 |
37 38
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Grp ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → 𝑅 ∈ Grp ) |
41 |
28
|
ressinbas |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) = ( 𝑅 ↾s ( 𝐴 ∩ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
42 |
29
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( 𝑅 ↾s ( 𝐴 ∩ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) = ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ) |
43 |
41 42
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) = ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ) |
44 |
26 43
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) = ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ) |
45 |
44 3
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∈ Grp ) |
46 |
28
|
issubg |
⊢ ( ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ↔ ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∈ Grp ) ) |
47 |
40 32 45 46
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) |
48 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) = ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
49 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
50 |
48 49
|
subg0 |
⊢ ( ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ) ) |
51 |
47 50
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ) ) |
52 |
44
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ) ) |
53 |
51 52
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
54 |
53
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
55 |
26
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ V ) |
56 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝑅 ) = ( le ‘ 𝑅 ) |
57 |
27 56
|
ressle |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( le ‘ 𝑅 ) = ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
58 |
55 57
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) → ( le ‘ 𝑅 ) = ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
59 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) → 𝑎 = 𝑎 ) |
60 |
54 58 59
|
breq123d |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) 𝑎 ↔ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ) ) |
61 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) 𝑎 ↔ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ) ) |
62 |
36 61
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) 𝑎 ) |
63 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
64 |
33 63
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → 𝑏 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
65 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) |
66 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) → 𝑏 = 𝑏 ) |
67 |
54 58 66
|
breq123d |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) 𝑏 ↔ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) |
68 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) 𝑏 ↔ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) |
69 |
65 68
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) |
70 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
71 |
28 56 49 70
|
orngmul |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) 𝑎 ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) |
72 |
13 35 62 64 69 71
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) |
73 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
74 |
58
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( le ‘ 𝑅 ) = ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
75 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → 𝐴 ∈ V ) |
76 |
27 70
|
ressmulr |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
77 |
75 76
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) |
78 |
77
|
oveqd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) = ( 𝑎 ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) |
79 |
73 74 78
|
breq123d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( le ‘ 𝑅 ) ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ↔ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( 𝑎 ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) ) |
80 |
72 79
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( 𝑎 ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) |
81 |
80
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( 𝑎 ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) ) |
82 |
81
|
anasss |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ) ) → ( ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( 𝑎 ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) ) |
83 |
82
|
ralrimivva |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ∀ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ∀ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( 𝑎 ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) ) |
84 |
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eqid |
⊢ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) |
85 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) |
86 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) = ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) |
87 |
20 84 85 86
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isorng |
⊢ ( ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ oRing ↔ ( ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ oGrp ∧ ∀ 𝑎 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ∀ 𝑏 ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( ( ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑎 ∧ ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( le ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) ( 𝑎 ( .r ‘ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ) 𝑏 ) ) ) ) |
88 |
1 12 83 87
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syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ oRing ∧ ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ Ring ) → ( 𝑅 ↾s 𝐴 ) ∈ oRing ) |