Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
supxrgelem.xph |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝜑 |
2 |
|
supxrgelem.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ* ) |
3 |
|
supxrgelem.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
4 |
|
supxrgelem.y |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ) |
5 |
|
pnfge |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞ ) |
6 |
3 5
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≤ +∞ ) |
7 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → 𝐵 ≤ +∞ ) |
8 |
|
id |
⊢ ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) |
9 |
8
|
eqcomd |
⊢ ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ → +∞ = sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
10 |
9
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → +∞ = sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
11 |
7 10
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
12 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → 𝜑 ) |
13 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
14 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 1 |
15 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 1 ∈ ℝ+ |
16 |
1 15
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) |
17 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) |
18 |
16 17
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
19 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+ ) ) |
20 |
19
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) ) ) |
21 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) = ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
22 |
21
|
breq2d |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ) |
23 |
22
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ) |
24 |
20 23
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ) ) |
25 |
14 18 24 4
|
vtoclgf |
⊢ ( 1 ∈ ℝ+ → ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ) |
26 |
13 25
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
27 |
13 26
|
mpan2 |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
29 |
|
mnfxr |
⊢ -∞ ∈ ℝ* |
30 |
29
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → -∞ ∈ ℝ* ) |
31 |
2
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
32 |
31
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
33 |
|
supxrcl |
⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ* → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
34 |
2 33
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
35 |
34
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
36 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
37 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ -∞ < 𝑦 ) |
38 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
39 |
|
ngtmnft |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦 ) ) |
40 |
38 39
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦 ) ) |
41 |
37 40
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 = -∞ ) |
42 |
41
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) = ( -∞ +𝑒 1 ) ) |
43 |
|
1xr |
⊢ 1 ∈ ℝ* |
44 |
43
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 1 ∈ ℝ* ) |
45 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
46 |
|
renepnf |
⊢ ( 1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞ ) |
47 |
45 46
|
ax-mp |
⊢ 1 ≠ +∞ |
48 |
47
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 1 ≠ +∞ ) |
49 |
|
xaddmnf2 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞ ) → ( -∞ +𝑒 1 ) = -∞ ) |
50 |
44 48 49
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( -∞ +𝑒 1 ) = -∞ ) |
51 |
42 50
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) = -∞ ) |
52 |
51
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) = -∞ ) |
53 |
36 52
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 < -∞ ) |
54 |
|
nltmnf |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞ ) |
55 |
3 54
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 < -∞ ) |
56 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ 𝐵 < -∞ ) |
57 |
56
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ 𝐵 < -∞ ) |
58 |
53 57
|
condan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → -∞ < 𝑦 ) |
59 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ⊆ ℝ* ) |
60 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
61 |
|
supxrub |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
62 |
59 60 61
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
63 |
62
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝑦 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
64 |
30 32 35 58 63
|
xrltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
65 |
64
|
3exp |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
66 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
67 |
66
|
rexlimdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
68 |
28 67
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
69 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) |
70 |
|
nltpnft |
⊢ ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ↔ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) ) |
71 |
34 70
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ↔ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) ) |
72 |
71
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ↔ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) ) |
73 |
69 72
|
mtbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ¬ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) |
74 |
73
|
notnotrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) |
75 |
68 74
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) ) |
76 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
77 |
|
xrrebnd |
⊢ ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ↔ ( -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) ) ) |
78 |
76 77
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ↔ ( -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) ) ) |
79 |
75 78
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) |
80 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ) |
81 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
82 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
83 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
84 |
|
xrltnle |
⊢ ( ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
85 |
82 83 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
86 |
85
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
87 |
81 86
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) |
88 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝜑 ) |
89 |
29
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → -∞ ∈ ℝ* ) |
90 |
88 34
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
91 |
88 3
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
92 |
|
mnfle |
⊢ ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
93 |
34 92
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
94 |
93
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
95 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) |
96 |
89 90 91 94 95
|
xrlelttrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → -∞ < 𝐵 ) |
97 |
|
id |
⊢ ( 𝜑 → 𝜑 ) |
98 |
13
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ+ ) |
99 |
97 98 26
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
100 |
99
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
101 |
3
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
102 |
43
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 1 ∈ ℝ* ) |
103 |
32 102
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ) ) |
104 |
|
xaddcl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ∈ ℝ* ) |
105 |
103 104
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ∈ ℝ* ) |
106 |
|
pnfxr |
⊢ +∞ ∈ ℝ* |
107 |
106
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → +∞ ∈ ℝ* ) |
108 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) |
109 |
31 43 104
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ∈ ℝ* ) |
110 |
|
pnfge |
⊢ ( ( 𝑦 +𝑒 1 ) ∈ ℝ* → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ≤ +∞ ) |
111 |
109 110
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ≤ +∞ ) |
112 |
111
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ≤ +∞ ) |
113 |
101 105 107 108 112
|
xrltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝐵 < +∞ ) |
114 |
113
|
3exp |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → 𝐵 < +∞ ) ) ) |
115 |
114
|
rexlimdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → 𝐵 < +∞ ) ) |
116 |
88 115
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → 𝐵 < +∞ ) ) |
117 |
100 116
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 < +∞ ) |
118 |
96 117
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) |
119 |
|
xrrebnd |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) ) |
120 |
91 119
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) ) |
121 |
118 120
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
122 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) |
123 |
122
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) |
124 |
121 123
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ ) |
125 |
27 115
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < +∞ ) |
126 |
125
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 < +∞ ) |
127 |
96 126
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) |
128 |
127 120
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
129 |
123 128
|
posdifd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
130 |
95 129
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 0 < ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
131 |
124 130
|
elrpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) |
132 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ V |
133 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
134 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ |
135 |
1 134
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) |
136 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
137 |
135 136
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
138 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↔ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) ) |
139 |
138
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) ) ) |
140 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) = ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
141 |
140
|
breq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ) |
142 |
141
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ) |
143 |
139 142
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ) ) |
144 |
133 137 143 4
|
vtoclgf |
⊢ ( ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ V → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ) |
145 |
132 144
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
146 |
88 131 145
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
147 |
|
ltpnf |
⊢ ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) |
148 |
147
|
adantr |
⊢ ( ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) |
149 |
|
id |
⊢ ( 𝑦 = +∞ → 𝑦 = +∞ ) |
150 |
149
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑦 = +∞ → +∞ = 𝑦 ) |
151 |
150
|
adantl |
⊢ ( ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞ ) → +∞ = 𝑦 ) |
152 |
148 151
|
breqtrd |
⊢ ( ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
153 |
152
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
154 |
153
|
ad5ant15 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
155 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ) |
156 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ) |
157 |
88 41
|
sylanl1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 = -∞ ) |
158 |
157
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 = -∞ ) |
159 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
160 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = -∞ → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( -∞ +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
161 |
160
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( -∞ +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
162 |
128 123
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ ) |
163 |
162
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ* ) |
164 |
163
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ* ) |
165 |
|
renepnf |
⊢ ( ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ≠ +∞ ) |
166 |
124 165
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ≠ +∞ ) |
167 |
166
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ≠ +∞ ) |
168 |
|
xaddmnf2 |
⊢ ( ( ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ≠ +∞ ) → ( -∞ +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = -∞ ) |
169 |
164 167 168
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( -∞ +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = -∞ ) |
170 |
161 169
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = -∞ ) |
171 |
159 170
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → 𝐵 < -∞ ) |
172 |
156 158 171
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 < -∞ ) |
173 |
55
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ 𝐵 < -∞ ) |
174 |
172 173
|
condan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → -∞ < 𝑦 ) |
175 |
174
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → -∞ < 𝑦 ) |
176 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ¬ 𝑦 = +∞ ) |
177 |
31
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
178 |
|
nltpnft |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞ ) ) |
179 |
177 178
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ( 𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞ ) ) |
180 |
176 179
|
mtbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ¬ ¬ 𝑦 < +∞ ) |
181 |
180
|
notnotrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 < +∞ ) |
182 |
181
|
3adant1r |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 < +∞ ) |
183 |
182
|
ad5ant135 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 < +∞ ) |
184 |
175 183
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ( -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞ ) ) |
185 |
31
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
186 |
185
|
ad5ant13 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
187 |
|
xrrebnd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞ ) ) ) |
188 |
186 187
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞ ) ) ) |
189 |
184 188
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
190 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
191 |
121
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
192 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
193 |
124
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ ) |
194 |
|
rexadd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( 𝑦 + ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
195 |
192 193 194
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( 𝑦 + ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
196 |
192 193
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 + ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ∈ ℝ ) |
197 |
195 196
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ∈ ℝ ) |
198 |
197
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ∈ ℝ ) |
199 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
200 |
191 198 191 199
|
ltsub1dd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( 𝐵 − 𝐵 ) < ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) − 𝐵 ) ) |
201 |
121
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
202 |
201
|
subidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − 𝐵 ) = 0 ) |
203 |
202
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( 𝐵 − 𝐵 ) = 0 ) |
204 |
201
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
205 |
192
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
206 |
122
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℂ ) |
207 |
206
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℂ ) |
208 |
205 207
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℂ ) |
209 |
205 204 207
|
addsub12d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 + ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( 𝐵 + ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
210 |
195 209
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( 𝐵 + ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
211 |
204 208 210
|
mvrladdd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) − 𝐵 ) = ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
212 |
211
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) − 𝐵 ) = ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
213 |
203 212
|
breq12d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( ( 𝐵 − 𝐵 ) < ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) − 𝐵 ) ↔ 0 < ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
214 |
200 213
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → 0 < ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) |
215 |
123
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) |
216 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
217 |
215 216
|
posdifd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ↔ 0 < ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) |
218 |
214 217
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
219 |
155 189 190 218
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
220 |
154 219
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
221 |
220
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) ) |
222 |
221
|
reximdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) ) |
223 |
146 222
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
224 |
80 87 223
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
225 |
59 33
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
226 |
31 225
|
xrlenltd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ↔ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) ) |
227 |
62 226
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
228 |
227
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
229 |
|
ralnex |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ↔ ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
230 |
228 229
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
231 |
230
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) |
232 |
224 231
|
condan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
233 |
12 79 232
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
234 |
11 233
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |