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Theorem supxrgelem

Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020)

Ref Expression
Hypotheses supxrgelem.xph 𝑥 𝜑
supxrgelem.a ( 𝜑𝐴 ⊆ ℝ* )
supxrgelem.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ* )
supxrgelem.y ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) )
Assertion supxrgelem ( 𝜑𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 supxrgelem.xph 𝑥 𝜑
2 supxrgelem.a ( 𝜑𝐴 ⊆ ℝ* )
3 supxrgelem.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ* )
4 supxrgelem.y ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) )
5 pnfge ( 𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞ )
6 3 5 syl ( 𝜑𝐵 ≤ +∞ )
7 6 adantr ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → 𝐵 ≤ +∞ )
8 id ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ )
9 8 eqcomd ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ → +∞ = sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
10 9 adantl ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → +∞ = sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
11 7 10 breqtrd ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
12 simpl ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → 𝜑 )
13 1rp 1 ∈ ℝ+
14 nfcv 𝑥 1
15 nfv 𝑥 1 ∈ ℝ+
16 1 15 nfan 𝑥 ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ )
17 nfv 𝑥𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 )
18 16 17 nfim 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
19 eleq1 ( 𝑥 = 1 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+ ) )
20 19 anbi2d ( 𝑥 = 1 → ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) ) )
21 oveq2 ( 𝑥 = 1 → ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) = ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
22 21 breq2d ( 𝑥 = 1 → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) )
23 22 rexbidv ( 𝑥 = 1 → ( ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) )
24 20 23 imbi12d ( 𝑥 = 1 → ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ) )
25 14 18 24 4 vtoclgf ( 1 ∈ ℝ+ → ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) )
26 13 25 ax-mp ( ( 𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
27 13 26 mpan2 ( 𝜑 → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
28 27 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
29 mnfxr -∞ ∈ ℝ*
30 29 a1i ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
31 2 sselda ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℝ* )
32 31 3adant3 ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ* )
33 supxrcl ( 𝐴 ⊆ ℝ* → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
34 2 33 syl ( 𝜑 → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
35 34 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
36 simpl3 ( ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
37 simpr ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ -∞ < 𝑦 )
38 31 adantr ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ* )
39 ngtmnft ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦 ) )
40 38 39 syl ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦 ) )
41 37 40 mpbird ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 = -∞ )
42 41 oveq1d ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) = ( -∞ +𝑒 1 ) )
43 1xr 1 ∈ ℝ*
44 43 a1i ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 1 ∈ ℝ* )
45 1re 1 ∈ ℝ
46 renepnf ( 1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞ )
47 45 46 ax-mp 1 ≠ +∞
48 47 a1i ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 1 ≠ +∞ )
49 xaddmnf2 ( ( 1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞ ) → ( -∞ +𝑒 1 ) = -∞ )
50 44 48 49 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( -∞ +𝑒 1 ) = -∞ )
51 42 50 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) = -∞ )
52 51 3adantl3 ( ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) = -∞ )
53 36 52 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 < -∞ )
54 nltmnf ( 𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞ )
55 3 54 syl ( 𝜑 → ¬ 𝐵 < -∞ )
56 55 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ 𝐵 < -∞ )
57 56 3ad2antl1 ( ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ 𝐵 < -∞ )
58 53 57 condan ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → -∞ < 𝑦 )
59 2 adantr ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → 𝐴 ⊆ ℝ* )
60 simpr ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → 𝑦𝐴 )
61 supxrub ( ( 𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴 ) → 𝑦 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
62 59 60 61 syl2anc ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → 𝑦 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
63 62 3adant3 ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝑦 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
64 30 32 35 58 63 xrltletrd ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
65 64 3exp ( 𝜑 → ( 𝑦𝐴 → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
66 65 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( 𝑦𝐴 → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
67 66 rexlimdv ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
68 28 67 mpd ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
69 simpr ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ )
70 nltpnft ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ↔ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) )
71 34 70 syl ( 𝜑 → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ↔ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) )
72 71 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ↔ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) )
73 69 72 mtbid ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ¬ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ )
74 73 notnotrd ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ )
75 68 74 jca ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) )
76 34 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
77 xrrebnd ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ↔ ( -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) ) )
78 76 77 syl ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ↔ ( -∞ < sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ ) ) )
79 75 78 mpbird ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ )
80 simpl ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) )
81 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
82 34 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
83 3 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
84 xrltnle ( ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
85 82 83 84 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
86 85 adantlr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
87 81 86 mpbird ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 )
88 simpll ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝜑 )
89 29 a1i ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → -∞ ∈ ℝ* )
90 88 34 syl ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
91 88 3 syl ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
92 mnfle ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
93 34 92 syl ( 𝜑 → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
94 93 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
95 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 )
96 89 90 91 94 95 xrlelttrd ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → -∞ < 𝐵 )
97 id ( 𝜑𝜑 )
98 13 a1i ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ+ )
99 97 98 26 syl2anc ( 𝜑 → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
100 99 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
101 3 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
102 43 a1i ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 1 ∈ ℝ* )
103 32 102 jca ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ) )
104 xaddcl ( ( 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ∈ ℝ* )
105 103 104 syl ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ∈ ℝ* )
106 pnfxr +∞ ∈ ℝ*
107 106 a1i ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
108 simp3 ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) )
109 31 43 104 sylancl ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ∈ ℝ* )
110 pnfge ( ( 𝑦 +𝑒 1 ) ∈ ℝ* → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ≤ +∞ )
111 109 110 syl ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ≤ +∞ )
112 111 3adant3 ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → ( 𝑦 +𝑒 1 ) ≤ +∞ )
113 101 105 107 108 112 xrltletrd ( ( 𝜑𝑦𝐴𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) ) → 𝐵 < +∞ )
114 113 3exp ( 𝜑 → ( 𝑦𝐴 → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → 𝐵 < +∞ ) ) )
115 114 rexlimdv ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → 𝐵 < +∞ ) )
116 88 115 syl ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 1 ) → 𝐵 < +∞ ) )
117 100 116 mpd ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 < +∞ )
118 96 117 jca ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( -∞ < 𝐵𝐵 < +∞ ) )
119 xrrebnd ( 𝐵 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐵𝐵 < +∞ ) ) )
120 91 119 syl ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐵𝐵 < +∞ ) ) )
121 118 120 mpbird ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
122 simpr ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ )
123 122 adantr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ )
124 121 123 resubcld ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ )
125 27 115 mpd ( 𝜑𝐵 < +∞ )
126 125 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 < +∞ )
127 96 126 jca ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( -∞ < 𝐵𝐵 < +∞ ) )
128 127 120 mpbird ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
129 123 128 posdifd ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
130 95 129 mpbid ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 0 < ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
131 124 130 elrpd ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ )
132 ovex ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ V
133 nfcv 𝑥 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
134 nfv 𝑥 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+
135 1 134 nfan 𝑥 ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ )
136 nfv 𝑥𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
137 135 136 nfim 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
138 eleq1 ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↔ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) )
139 138 anbi2d ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) ) )
140 oveq2 ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) = ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
141 140 breq2d ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) )
142 141 rexbidv ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) )
143 139 142 imbi12d ( 𝑥 = ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ) )
144 133 137 143 4 vtoclgf ( ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ V → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) )
145 132 144 ax-mp ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
146 88 131 145 syl2anc ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
147 ltpnf ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ )
148 147 adantr ( ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < +∞ )
149 id ( 𝑦 = +∞ → 𝑦 = +∞ )
150 149 eqcomd ( 𝑦 = +∞ → +∞ = 𝑦 )
151 150 adantl ( ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞ ) → +∞ = 𝑦 )
152 148 151 breqtrd ( ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
153 152 adantll ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
154 153 ad5ant15 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
155 simplll ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) )
156 simpl ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) )
157 88 41 sylanl1 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 = -∞ )
158 157 adantlr ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 = -∞ )
159 simplr ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
160 oveq1 ( 𝑦 = -∞ → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( -∞ +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
161 160 adantl ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( -∞ +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
162 128 123 resubcld ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ )
163 162 rexrd ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ* )
164 163 ad3antrrr ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ* )
165 renepnf ( ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ≠ +∞ )
166 124 165 syl ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ≠ +∞ )
167 166 ad3antrrr ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ≠ +∞ )
168 xaddmnf2 ( ( ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ≠ +∞ ) → ( -∞ +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = -∞ )
169 164 167 168 syl2anc ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( -∞ +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = -∞ )
170 161 169 eqtrd ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = -∞ )
171 159 170 breqtrd ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ 𝑦 = -∞ ) → 𝐵 < -∞ )
172 156 158 171 syl2anc ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 < -∞ )
173 55 ad5antr ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ 𝐵 < -∞ )
174 172 173 condan ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → -∞ < 𝑦 )
175 174 adantr ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → -∞ < 𝑦 )
176 simp3 ( ( 𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ¬ 𝑦 = +∞ )
177 31 3adant3 ( ( 𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 ∈ ℝ* )
178 nltpnft ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞ ) )
179 177 178 syl ( ( 𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ( 𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞ ) )
180 176 179 mtbid ( ( 𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ¬ ¬ 𝑦 < +∞ )
181 180 notnotrd ( ( 𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 < +∞ )
182 181 3adant1r ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 < +∞ )
183 182 ad5ant135 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 < +∞ )
184 175 183 jca ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ( -∞ < 𝑦𝑦 < +∞ ) )
185 31 adantlr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑦𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℝ* )
186 185 ad5ant13 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 ∈ ℝ* )
187 xrrebnd ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝑦𝑦 < +∞ ) ) )
188 186 187 syl ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝑦𝑦 < +∞ ) ) )
189 184 188 mpbird ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝑦 ∈ ℝ )
190 simplr ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
191 121 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
192 simpr ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℝ )
193 124 adantr ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ )
194 rexadd ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( 𝑦 + ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
195 192 193 194 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( 𝑦 + ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
196 192 193 readdcld ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 + ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ∈ ℝ )
197 195 196 eqeltrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ∈ ℝ )
198 197 adantr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ∈ ℝ )
199 simpr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
200 191 198 191 199 ltsub1dd ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( 𝐵𝐵 ) < ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) − 𝐵 ) )
201 121 recnd ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
202 201 subidd ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( 𝐵𝐵 ) = 0 )
203 202 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( 𝐵𝐵 ) = 0 )
204 201 adantr ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
205 192 recnd ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ )
206 122 recnd ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℂ )
207 206 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℂ )
208 205 207 subcld ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ∈ ℂ )
209 205 204 207 addsub12d ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 + ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( 𝐵 + ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
210 195 209 eqtrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) = ( 𝐵 + ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
211 204 208 210 mvrladdd ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) − 𝐵 ) = ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
212 211 adantr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) − 𝐵 ) = ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
213 203 212 breq12d ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( ( 𝐵𝐵 ) < ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) − 𝐵 ) ↔ 0 < ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
214 200 213 mpbid ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → 0 < ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) )
215 123 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ )
216 simplr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
217 215 216 posdifd ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ↔ 0 < ( 𝑦 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) )
218 214 217 mpbird ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
219 155 189 190 218 syl21anc ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 = +∞ ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
220 154 219 pm2.61dan ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
221 220 ex ( ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) ∧ 𝑦𝐴 ) → ( 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) )
222 221 reximdva ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ( ∃ 𝑦𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 ( 𝐵 − sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) ) → ∃ 𝑦𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) )
223 146 222 mpd ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝐵 ) → ∃ 𝑦𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
224 80 87 223 syl2anc ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ∃ 𝑦𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
225 59 33 syl ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
226 31 225 xrlenltd ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → ( 𝑦 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ↔ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ) )
227 62 226 mpbid ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
228 227 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑦𝐴 ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
229 ralnex ( ∀ 𝑦𝐴 ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 ↔ ¬ ∃ 𝑦𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
230 228 229 sylib ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑦𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
231 230 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) → ¬ ∃ 𝑦𝐴 sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) < 𝑦 )
232 224 231 condan ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
233 12 79 232 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ¬ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )
234 11 233 pm2.61dan ( 𝜑𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) )