Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
supxrge.xph |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝜑 |
2 |
|
supxrge.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ* ) |
3 |
|
supxrge.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
4 |
|
supxrge.y |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ) |
5 |
|
pnfge |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞ ) |
6 |
3 5
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≤ +∞ ) |
7 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ +∞ ) |
8 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ⊆ ℝ* ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴 ) → +∞ ∈ 𝐴 ) |
10 |
|
supxrpnf |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) |
11 |
8 9 10
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴 ) → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) = +∞ ) |
12 |
11
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴 ) → +∞ = sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
13 |
7 12
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
14 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 = -∞ ) → 𝐵 = -∞ ) |
15 |
|
supxrcl |
⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ* → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
16 |
2 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
17 |
|
mnfle |
⊢ ( sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 = -∞ ) → -∞ ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
20 |
14 19
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 = -∞ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
21 |
20
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
22 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 = -∞ ) → ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ) |
23 |
|
neqne |
⊢ ( ¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞ ) |
24 |
23
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 = -∞ ) → 𝐵 ≠ -∞ ) |
25 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑤 ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) |
26 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ⊆ ℝ* ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → 𝐴 ⊆ ℝ* ) |
28 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
30 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → 𝜑 ) |
31 |
|
rphalfcl |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
32 |
31
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
33 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑤 / 2 ) ∈ V |
34 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑤 / 2 ) |
35 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ |
36 |
1 35
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
37 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) |
38 |
36 37
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
39 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 / 2 ) → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↔ ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) ) |
40 |
39
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 / 2 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) ) ) |
41 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 / 2 ) → ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) = ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
42 |
41
|
breq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 / 2 ) → ( 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ) |
43 |
42
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 / 2 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ) |
44 |
40 43
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 / 2 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ) ) |
45 |
34 38 44 4
|
vtoclgf |
⊢ ( ( 𝑤 / 2 ) ∈ V → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ) |
46 |
33 45
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
47 |
30 32 46
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
48 |
47
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
49 |
48
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
50 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) |
51 |
|
neneq |
⊢ ( 𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞ ) |
52 |
51
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ¬ 𝐵 = -∞ ) |
53 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
54 |
|
ngtmnft |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → ( 𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵 ) ) |
55 |
53 54
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( 𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵 ) ) |
56 |
52 55
|
mtbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵 ) |
57 |
56
|
notnotrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → -∞ < 𝐵 ) |
58 |
57
|
ad4ant13 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → -∞ < 𝐵 ) |
59 |
58
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → -∞ < 𝐵 ) |
60 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
61 |
60
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
63 |
|
mnfxr |
⊢ -∞ ∈ ℝ* |
64 |
63
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → -∞ ∈ ℝ* ) |
65 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
66 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ -∞ < 𝑦 ) |
67 |
2
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
68 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
69 |
|
ngtmnft |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦 ) ) |
70 |
68 69
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦 ) ) |
71 |
66 70
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝑦 = -∞ ) |
72 |
71
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = ( -∞ +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
73 |
72
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = ( -∞ +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
74 |
31
|
rpxrd |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ* ) |
75 |
31
|
rpred |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ ) |
76 |
|
renepnf |
⊢ ( ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ → ( 𝑤 / 2 ) ≠ +∞ ) |
77 |
75 76
|
syl |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → ( 𝑤 / 2 ) ≠ +∞ ) |
78 |
|
xaddmnf2 |
⊢ ( ( ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑤 / 2 ) ≠ +∞ ) → ( -∞ +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = -∞ ) |
79 |
74 77 78
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → ( -∞ +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = -∞ ) |
80 |
79
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( -∞ +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = -∞ ) |
81 |
80
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( -∞ +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = -∞ ) |
82 |
73 81
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = -∞ ) |
83 |
82
|
adantl3r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = -∞ ) |
84 |
83
|
adantl3r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = -∞ ) |
85 |
84
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = -∞ ) |
86 |
65 85
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 ≤ -∞ ) |
87 |
|
mnfle |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵 ) |
88 |
3 87
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → -∞ ≤ 𝐵 ) |
89 |
88
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) → -∞ ≤ 𝐵 ) |
90 |
89
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → -∞ ≤ 𝐵 ) |
91 |
90
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → -∞ ≤ 𝐵 ) |
92 |
62 64 86 91
|
xrletrid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 = -∞ ) |
93 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 ≠ -∞ ) |
94 |
93
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → 𝐵 ≠ -∞ ) |
95 |
94
|
neneqd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) ∧ ¬ -∞ < 𝑦 ) → ¬ 𝐵 = -∞ ) |
96 |
92 95
|
condan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → -∞ < 𝑦 ) |
97 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → ¬ 𝑦 < +∞ ) |
98 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
99 |
|
nltpnft |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞ ) ) |
100 |
98 99
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → ( 𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞ ) ) |
101 |
97 100
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → 𝑦 = +∞ ) |
102 |
101
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → +∞ = 𝑦 ) |
103 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
104 |
103
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
105 |
102 104
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → +∞ ∈ 𝐴 ) |
106 |
105
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → +∞ ∈ 𝐴 ) |
107 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 < +∞ ) → ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) |
108 |
106 107
|
condan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 < +∞ ) |
109 |
108
|
ad5ant125 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 < +∞ ) |
110 |
109
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝑦 < +∞ ) |
111 |
96 110
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞ ) ) |
112 |
67
|
ad5ant15 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
113 |
112
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ* ) |
114 |
|
xrrebnd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ* → ( 𝑦 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞ ) ) ) |
115 |
113 114
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞ ) ) ) |
116 |
111 115
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
117 |
75
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ ) |
118 |
117
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ ) |
119 |
|
rexadd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( 𝑤 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
120 |
116 118 119
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
121 |
116 118
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑤 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
122 |
120 121
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
123 |
122
|
rexrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ∈ ℝ* ) |
124 |
|
pnfxr |
⊢ +∞ ∈ ℝ* |
125 |
124
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* ) |
126 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) |
127 |
122
|
ltpnfd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) < +∞ ) |
128 |
61 123 125 126 127
|
xrlelttrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝐵 < +∞ ) |
129 |
59 128
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) |
130 |
|
xrrebnd |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) ) |
131 |
61 130
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝐵 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) ) |
132 |
129 131
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
133 |
|
rpre |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ ) |
134 |
133
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
135 |
134
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
136 |
|
rexadd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) = ( 𝑦 + 𝑤 ) ) |
137 |
116 135 136
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) = ( 𝑦 + 𝑤 ) ) |
138 |
116 135
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 + 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
139 |
137 138
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
140 |
|
rphalflt |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℝ+ → ( 𝑤 / 2 ) < 𝑤 ) |
141 |
140
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑤 / 2 ) < 𝑤 ) |
142 |
141
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑤 / 2 ) < 𝑤 ) |
143 |
118 135 116 142
|
ltadd2dd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑤 / 2 ) ) < ( 𝑦 + 𝑤 ) ) |
144 |
120 137
|
breq12d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) < ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) ↔ ( 𝑦 + ( 𝑤 / 2 ) ) < ( 𝑦 + 𝑤 ) ) ) |
145 |
143 144
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) < ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) ) |
146 |
132 122 139 126 145
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) ) |
147 |
146
|
3exp |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) → 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) ) ) ) |
148 |
50 147
|
reximdai |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ( 𝑦 +𝑒 ( 𝑤 / 2 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) ) ) |
149 |
49 148
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < ( 𝑦 +𝑒 𝑤 ) ) |
150 |
25 27 29 149
|
supxrgelem |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
151 |
22 24 150
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 = -∞ ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
152 |
21 151
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |
153 |
13 152
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≤ sup ( 𝐴 , ℝ* , < ) ) |