Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
supxrge.xph |
|- F/ x ph |
2 |
|
supxrge.a |
|- ( ph -> A C_ RR* ) |
3 |
|
supxrge.b |
|- ( ph -> B e. RR* ) |
4 |
|
supxrge.y |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e x ) ) |
5 |
|
pnfge |
|- ( B e. RR* -> B <_ +oo ) |
6 |
3 5
|
syl |
|- ( ph -> B <_ +oo ) |
7 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> B <_ +oo ) |
8 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> A C_ RR* ) |
9 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> +oo e. A ) |
10 |
|
supxrpnf |
|- ( ( A C_ RR* /\ +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) |
11 |
8 9 10
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) |
12 |
11
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> +oo = sup ( A , RR* , < ) ) |
13 |
7 12
|
breqtrd |
|- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
14 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ B = -oo ) -> B = -oo ) |
15 |
|
supxrcl |
|- ( A C_ RR* -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* ) |
16 |
2 15
|
syl |
|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* ) |
17 |
|
mnfle |
|- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ph -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B = -oo ) -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
20 |
14 19
|
eqbrtrd |
|- ( ( ph /\ B = -oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
21 |
20
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B = -oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
22 |
|
simpl |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ -. B = -oo ) -> ( ph /\ -. +oo e. A ) ) |
23 |
|
neqne |
|- ( -. B = -oo -> B =/= -oo ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ -. B = -oo ) -> B =/= -oo ) |
25 |
|
nfv |
|- F/ w ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) |
26 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> A C_ RR* ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) -> A C_ RR* ) |
28 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> B e. RR* ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) -> B e. RR* ) |
30 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ph ) |
31 |
|
rphalfcl |
|- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) e. RR+ ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( w / 2 ) e. RR+ ) |
33 |
|
ovex |
|- ( w / 2 ) e. _V |
34 |
|
nfcv |
|- F/_ x ( w / 2 ) |
35 |
|
nfv |
|- F/ x ( w / 2 ) e. RR+ |
36 |
1 35
|
nfan |
|- F/ x ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) |
37 |
|
nfv |
|- F/ x E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) |
38 |
36 37
|
nfim |
|- F/ x ( ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) |
39 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( w / 2 ) -> ( x e. RR+ <-> ( w / 2 ) e. RR+ ) ) |
40 |
39
|
anbi2d |
|- ( x = ( w / 2 ) -> ( ( ph /\ x e. RR+ ) <-> ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) ) ) |
41 |
|
oveq2 |
|- ( x = ( w / 2 ) -> ( y +e x ) = ( y +e ( w / 2 ) ) ) |
42 |
41
|
breq2d |
|- ( x = ( w / 2 ) -> ( B <_ ( y +e x ) <-> B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) ) |
43 |
42
|
rexbidv |
|- ( x = ( w / 2 ) -> ( E. y e. A B <_ ( y +e x ) <-> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) ) |
44 |
40 43
|
imbi12d |
|- ( x = ( w / 2 ) -> ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e x ) ) <-> ( ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) ) ) |
45 |
34 38 44 4
|
vtoclgf |
|- ( ( w / 2 ) e. _V -> ( ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) ) |
46 |
33 45
|
ax-mp |
|- ( ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) |
47 |
30 32 46
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) |
48 |
47
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ w e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) |
49 |
48
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) |
50 |
|
nfv |
|- F/ y ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) |
51 |
|
neneq |
|- ( B =/= -oo -> -. B = -oo ) |
52 |
51
|
adantl |
|- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> -. B = -oo ) |
53 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> B e. RR* ) |
54 |
|
ngtmnft |
|- ( B e. RR* -> ( B = -oo <-> -. -oo < B ) ) |
55 |
53 54
|
syl |
|- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> ( B = -oo <-> -. -oo < B ) ) |
56 |
52 55
|
mtbid |
|- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> -. -. -oo < B ) |
57 |
56
|
notnotrd |
|- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> -oo < B ) |
58 |
57
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> -oo < B ) |
59 |
58
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> -oo < B ) |
60 |
29
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> B e. RR* ) |
61 |
60
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B e. RR* ) |
62 |
61
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B e. RR* ) |
63 |
|
mnfxr |
|- -oo e. RR* |
64 |
63
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> -oo e. RR* ) |
65 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) |
66 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> -. -oo < y ) |
67 |
2
|
sselda |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR* ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> y e. RR* ) |
69 |
|
ngtmnft |
|- ( y e. RR* -> ( y = -oo <-> -. -oo < y ) ) |
70 |
68 69
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y = -oo <-> -. -oo < y ) ) |
71 |
66 70
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> y = -oo ) |
72 |
71
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = ( -oo +e ( w / 2 ) ) ) |
73 |
72
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = ( -oo +e ( w / 2 ) ) ) |
74 |
31
|
rpxrd |
|- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) e. RR* ) |
75 |
31
|
rpred |
|- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) e. RR ) |
76 |
|
renepnf |
|- ( ( w / 2 ) e. RR -> ( w / 2 ) =/= +oo ) |
77 |
75 76
|
syl |
|- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) =/= +oo ) |
78 |
|
xaddmnf2 |
|- ( ( ( w / 2 ) e. RR* /\ ( w / 2 ) =/= +oo ) -> ( -oo +e ( w / 2 ) ) = -oo ) |
79 |
74 77 78
|
syl2anc |
|- ( w e. RR+ -> ( -oo +e ( w / 2 ) ) = -oo ) |
80 |
79
|
adantl |
|- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( -oo +e ( w / 2 ) ) = -oo ) |
81 |
80
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( -oo +e ( w / 2 ) ) = -oo ) |
82 |
73 81
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = -oo ) |
83 |
82
|
adantl3r |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = -oo ) |
84 |
83
|
adantl3r |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = -oo ) |
85 |
84
|
3adantl3 |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = -oo ) |
86 |
65 85
|
breqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B <_ -oo ) |
87 |
|
mnfle |
|- ( B e. RR* -> -oo <_ B ) |
88 |
3 87
|
syl |
|- ( ph -> -oo <_ B ) |
89 |
88
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> -oo <_ B ) |
90 |
89
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ -. -oo < y ) -> -oo <_ B ) |
91 |
90
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> -oo <_ B ) |
92 |
62 64 86 91
|
xrletrid |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B = -oo ) |
93 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ -. -oo < y ) -> B =/= -oo ) |
94 |
93
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B =/= -oo ) |
95 |
94
|
neneqd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> -. B = -oo ) |
96 |
92 95
|
condan |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> -oo < y ) |
97 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> -. y < +oo ) |
98 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> y e. RR* ) |
99 |
|
nltpnft |
|- ( y e. RR* -> ( y = +oo <-> -. y < +oo ) ) |
100 |
98 99
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> ( y = +oo <-> -. y < +oo ) ) |
101 |
97 100
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> y = +oo ) |
102 |
101
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> +oo = y ) |
103 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. A ) |
104 |
103
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> y e. A ) |
105 |
102 104
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> +oo e. A ) |
106 |
105
|
3adantl2 |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> +oo e. A ) |
107 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> -. +oo e. A ) |
108 |
106 107
|
condan |
|- ( ( ph /\ -. +oo e. A /\ y e. A ) -> y < +oo ) |
109 |
108
|
ad5ant125 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) -> y < +oo ) |
110 |
109
|
3adant3 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> y < +oo ) |
111 |
96 110
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( -oo < y /\ y < +oo ) ) |
112 |
67
|
ad5ant15 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) -> y e. RR* ) |
113 |
112
|
3adant3 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> y e. RR* ) |
114 |
|
xrrebnd |
|- ( y e. RR* -> ( y e. RR <-> ( -oo < y /\ y < +oo ) ) ) |
115 |
113 114
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y e. RR <-> ( -oo < y /\ y < +oo ) ) ) |
116 |
111 115
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> y e. RR ) |
117 |
75
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> ( w / 2 ) e. RR ) |
118 |
117
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( w / 2 ) e. RR ) |
119 |
|
rexadd |
|- ( ( y e. RR /\ ( w / 2 ) e. RR ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = ( y + ( w / 2 ) ) ) |
120 |
116 118 119
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = ( y + ( w / 2 ) ) ) |
121 |
116 118
|
readdcld |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y + ( w / 2 ) ) e. RR ) |
122 |
120 121
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) e. RR ) |
123 |
122
|
rexrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) e. RR* ) |
124 |
|
pnfxr |
|- +oo e. RR* |
125 |
124
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> +oo e. RR* ) |
126 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) |
127 |
122
|
ltpnfd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) < +oo ) |
128 |
61 123 125 126 127
|
xrlelttrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B < +oo ) |
129 |
59 128
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( -oo < B /\ B < +oo ) ) |
130 |
|
xrrebnd |
|- ( B e. RR* -> ( B e. RR <-> ( -oo < B /\ B < +oo ) ) ) |
131 |
61 130
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( B e. RR <-> ( -oo < B /\ B < +oo ) ) ) |
132 |
129 131
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B e. RR ) |
133 |
|
rpre |
|- ( w e. RR+ -> w e. RR ) |
134 |
133
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> w e. RR ) |
135 |
134
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> w e. RR ) |
136 |
|
rexadd |
|- ( ( y e. RR /\ w e. RR ) -> ( y +e w ) = ( y + w ) ) |
137 |
116 135 136
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e w ) = ( y + w ) ) |
138 |
116 135
|
readdcld |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y + w ) e. RR ) |
139 |
137 138
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e w ) e. RR ) |
140 |
|
rphalflt |
|- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) < w ) |
141 |
140
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> ( w / 2 ) < w ) |
142 |
141
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( w / 2 ) < w ) |
143 |
118 135 116 142
|
ltadd2dd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y + ( w / 2 ) ) < ( y + w ) ) |
144 |
120 137
|
breq12d |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( ( y +e ( w / 2 ) ) < ( y +e w ) <-> ( y + ( w / 2 ) ) < ( y + w ) ) ) |
145 |
143 144
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) < ( y +e w ) ) |
146 |
132 122 139 126 145
|
lelttrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B < ( y +e w ) ) |
147 |
146
|
3exp |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> ( y e. A -> ( B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) -> B < ( y +e w ) ) ) ) |
148 |
50 147
|
reximdai |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> ( E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) -> E. y e. A B < ( y +e w ) ) ) |
149 |
49 148
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e w ) ) |
150 |
25 27 29 149
|
supxrgelem |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
151 |
22 24 150
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ -. B = -oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
152 |
21 151
|
pm2.61dan |
|- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
153 |
13 152
|
pm2.61dan |
|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR* , < ) ) |