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Theorem tsmsf1o

Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses tsmsf1o.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
tsmsf1o.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd )
tsmsf1o.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp )
tsmsf1o.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 )
tsmsf1o.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 )
tsmsf1o.s ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : 𝐶 –1-1-onto→ 𝐴 )
Assertion tsmsf1o ( 𝜑 → ( 𝐺 tsums 𝐹 ) = ( 𝐺 tsums ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tsmsf1o.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 tsmsf1o.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd )
3 tsmsf1o.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp )
4 tsmsf1o.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 )
5 tsmsf1o.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 )
6 tsmsf1o.s ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : 𝐶 –1-1-onto→ 𝐴 )
7 f1opwfi ⊢ ( 𝐻 : 𝐶 –1-1-onto→ 𝐴 → ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) –1-1-onto→ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
8 6 7 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) –1-1-onto→ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
9 f1of ⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) –1-1-onto→ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ⟶ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
10 8 9 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ⟶ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
11 eqid ⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) = ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) )
12 11 fmpt ⊢ ( ∀ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝐻 “ 𝑎 ) ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ⟶ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
13 10 12 sylibr ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝐻 “ 𝑎 ) ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
14 sseq1 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝐻 “ 𝑎 ) → ( 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 ) )
15 14 imbi1d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝐻 “ 𝑎 ) → ( ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
16 15 ralbidv ⊢ ( 𝑦 = ( 𝐻 “ 𝑎 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
17 11 16 rexrnmptw ⊢ ( ∀ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝐻 “ 𝑎 ) ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ran ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
18 13 17 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ ran ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
19 f1ofo ⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) –1-1-onto→ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) –onto→ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
20 forn ⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) –onto→ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ran ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) = ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
21 8 19 20 3syl ⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) = ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
22 21 rexeqdv ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ ran ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
23 imaeq2 ⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( 𝐻 “ 𝑎 ) = ( 𝐻 “ 𝑏 ) )
24 23 cbvmptv ⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) = ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑏 ) )
25 24 fmpt ⊢ ( ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝐻 “ 𝑏 ) ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) : ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ⟶ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
26 10 25 sylibr ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝐻 “ 𝑏 ) ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
27 sseq2 ⊢ ( 𝑧 = ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 ↔ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) )
28 reseq2 ⊢ ( 𝑧 = ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) )
29 28 oveq2d ⊢ ( 𝑧 = ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) )
30 29 eleq1d ⊢ ( 𝑧 = ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ↔ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ) )
31 27 30 imbi12d ⊢ ( 𝑧 = ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
32 24 31 ralrnmptw ⊢ ( ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝐻 “ 𝑏 ) ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ran ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
33 26 32 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑧 ∈ ran ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
34 21 raleqdv ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑧 ∈ ran ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐻 “ 𝑎 ) ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
35 33 34 bitr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
36 35 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
37 f1of1 ⊢ ( 𝐻 : 𝐶 –1-1-onto→ 𝐴 → 𝐻 : 𝐶 –1-1→ 𝐴 )
38 6 37 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : 𝐶 –1-1→ 𝐴 )
39 38 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → 𝐻 : 𝐶 –1-1→ 𝐴 )
40 elfpw ⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑎 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ Fin ) )
41 40 simplbi ⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) → 𝑎 ⊆ 𝐶 )
42 41 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → 𝑎 ⊆ 𝐶 )
43 elfpw ⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ Fin ) )
44 43 simplbi ⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) → 𝑏 ⊆ 𝐶 )
45 44 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → 𝑏 ⊆ 𝐶 )
46 f1imass ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐶 –1-1→ 𝐴 ∧ ( 𝑎 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏 ) )
47 39 42 45 46 syl12anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏 ) )
48 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 )
49 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → 𝐺 ∈ CMnd )
50 elinel2 ⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) → 𝑏 ∈ Fin )
51 50 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → 𝑏 ∈ Fin )
52 f1ores ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐶 –1-1→ 𝐴 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐶 ) → ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) : 𝑏 –1-1-onto→ ( 𝐻 “ 𝑏 ) )
53 39 45 52 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) : 𝑏 –1-1-onto→ ( 𝐻 “ 𝑏 ) )
54 f1ofo ⊢ ( ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) : 𝑏 –1-1-onto→ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) : 𝑏 –onto→ ( 𝐻 “ 𝑏 ) )
55 53 54 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) : 𝑏 –onto→ ( 𝐻 “ 𝑏 ) )
56 fofi ⊢ ( ( 𝑏 ∈ Fin ∧ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) : 𝑏 –onto→ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) → ( 𝐻 “ 𝑏 ) ∈ Fin )
57 51 55 56 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝐻 “ 𝑏 ) ∈ Fin )
58 5 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 )
59 imassrn ⊢ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ⊆ ran 𝐻
60 6 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → 𝐻 : 𝐶 –1-1-onto→ 𝐴 )
61 f1ofo ⊢ ( 𝐻 : 𝐶 –1-1-onto→ 𝐴 → 𝐻 : 𝐶 –onto→ 𝐴 )
62 forn ⊢ ( 𝐻 : 𝐶 –onto→ 𝐴 → ran 𝐻 = 𝐴 )
63 60 61 62 3syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ran 𝐻 = 𝐴 )
64 59 63 sseqtrid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝐻 “ 𝑏 ) ⊆ 𝐴 )
65 58 64 fssresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) : ( 𝐻 “ 𝑏 ) ⟶ 𝐵 )
66 fvexd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ V )
67 65 57 66 fdmfifsupp ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝐺 ) )
68 1 48 49 57 65 67 53 gsumf1o ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ∘ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ) )
69 df-ima ⊢ ( 𝐻 “ 𝑏 ) = ran ( 𝐻 ↾ 𝑏 )
70 69 eqimss2i ⊢ ran ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 )
71 cores ⊢ ( ran ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ∘ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) = ( 𝐹 ∘ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) )
72 70 71 ax-mp ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ∘ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) = ( 𝐹 ∘ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) )
73 resco ⊢ ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) = ( 𝐹 ∘ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) )
74 72 73 eqtr4i ⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ∘ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) = ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 )
75 74 oveq2i ⊢ ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ∘ ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) )
76 68 75 eqtrdi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) )
77 76 eleq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ↔ ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) )
78 47 77 imbi12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
79 78 ralbidva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ ( 𝐻 “ 𝑏 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐻 “ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
80 36 79 bitr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
81 80 rexbidva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( ( 𝐻 “ 𝑎 ) ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
82 18 22 81 3bitr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
83 82 imbi2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
84 83 ralbidv ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
85 84 anbi2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) )
86 eqid ⊢ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) = ( TopOpen ‘ 𝐺 )
87 eqid ⊢ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) = ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin )
88 1 86 87 2 3 4 5 eltsms ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) )
89 eqid ⊢ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) = ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin )
90 f1dmex ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐶 –1-1→ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → 𝐶 ∈ V )
91 38 4 90 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ V )
92 f1of ⊢ ( 𝐻 : 𝐶 –1-1-onto→ 𝐴 → 𝐻 : 𝐶 ⟶ 𝐴 )
93 6 92 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : 𝐶 ⟶ 𝐴 )
94 fco ⊢ ( ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐻 : 𝐶 ⟶ 𝐴 ) → ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) : 𝐶 ⟶ 𝐵 )
95 5 93 94 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) : 𝐶 ⟶ 𝐵 )
96 1 86 89 2 3 91 95 eltsms ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) )
97 85 88 96 3bitr4d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ) ) )
98 97 eqrdv ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 tsums 𝐹 ) = ( 𝐺 tsums ( 𝐹 ∘ 𝐻 ) ) )