Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercoll2 Unicode version

Theorem isercoll2 13491
 Description: Generalize isercoll 13490 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z
isercoll2.w
isercoll2.m
isercoll2.n
isercoll2.g
isercoll2.i
isercoll2.0
isercoll2.f
isercoll2.h
Assertion
Ref Expression
isercoll2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,N   ,M,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3
2 isercoll2.m . . 3
3 1z 10919 . . . 4
4 zsubcl 10931 . . . 4
53, 2, 4sylancr 663 . . 3
6 seqex 12109 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 seqex 12109 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 simpr 461 . . . . . 6
1110, 1syl6eleq 2555 . . . . 5
125adantr 465 . . . . 5
13 simpl 457 . . . . . 6
14 elfzuz 11713 . . . . . . 7
1514, 1syl6eleqr 2556 . . . . . 6
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
1716, 1syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12
18 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11
2019zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
212zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
2221adantr 465 . . . . . . . . . 10
23 1cnd 9633 . . . . . . . . . 10
2420, 22, 23subadd23d 9976 . . . . . . . . 9
25 uznn0sub 11141 . . . . . . . . . . 11
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . 10
27 nn0p1nn 10860 . . . . . . . . . 10
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9
2924, 28eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8
30 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
3130oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
3231fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
33 eqid 2457 . . . . . . . . 9
34 fvex 5881 . . . . . . . . 9
3532, 33, 34fvmpt 5956 . . . . . . . 8
3629, 35syl 16 . . . . . . 7
3724oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
3826nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . 12
39 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . 12
40 pncan 9849 . . . . . . . . . . . 12
4138, 39, 40sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
4237, 41eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10
4342oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
4422, 20pncan3d 9957 . . . . . . . . 9
4543, 44eqtrd 2498 . . . . . . . 8
4645fveq2d 5875 . . . . . . 7
4736, 46eqtr2d 2499 . . . . . 6
4813, 15, 47syl2an 477 . . . . 5
4911, 12, 48seqshft2 12133 . . . 4
5021adantr 465 . . . . . . 7
51 pncan3 9851 . . . . . . 7
5250, 39, 51sylancl 662 . . . . . 6
5352seqeq1d 12113 . . . . 5
5453fveq1d 5873 . . . 4
5549, 54eqtr2d 2499 . . 3
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 13405 . 2
57 isercoll2.w . . 3
58 isercoll2.n . . 3
59 isercoll2.g . . . . . 6
6059adantr 465 . . . . 5
61 uzid 11124 . . . . . . . 8
622, 61syl 16 . . . . . . 7
63 nnm1nn0 10862 . . . . . . 7
64 uzaddcl 11166 . . . . . . 7
6562, 63, 64syl2an 477 . . . . . 6
6665, 1syl6eleqr 2556 . . . . 5
6760, 66ffvelrnd 6032 . . . 4
68 eqid 2457 . . . 4
6967, 68fmptd 6055 . . 3
70 nnm1nn0 10862 . . . . . . . 8
71 uzaddcl 11166 . . . . . . . 8
7262, 70, 71syl2an 477 . . . . . . 7
7372, 1syl6eleqr 2556 . . . . . 6
74 isercoll2.i . . . . . . . 8
7574ralrimiva 2871 . . . . . . 7
7675adantr 465 . . . . . 6
77 fveq2 5871 . . . . . . . 8
78 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
7978fveq2d 5875 . . . . . . . 8
8077, 79breq12d 4465 . . . . . . 7
8180rspcv 3206 . . . . . 6
8273, 76, 81sylc 60 . . . . 5
83 nncn 10569 . . . . . . . . . 10
8483adantl 466 . . . . . . . . 9
85 1cnd 9633 . . . . . . . . 9
8684, 85, 85addsubd 9975 . . . . . . . 8
8786oveq2d 6312 . . . . . . 7
8821adantr 465 . . . . . . . 8
8970adantl 466 . . . . . . . . 9
9089nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
9188, 90, 85addassd 9639 . . . . . . 7
9287, 91eqtr4d 2501 . . . . . 6
9392fveq2d 5875 . . . . 5
9482, 93breqtrrd 4478 . . . 4
95 oveq1 6303 . . . . . . . 8
9695oveq2d 6312 . . . . . . 7
9796fveq2d 5875 . . . . . 6
98 fvex 5881 . . . . . 6
9997, 68, 98fvmpt 5956 . . . . 5
10099adantl 466 . . . 4
101 peano2nn 10573 . . . . . 6
102101adantl 466 . . . . 5
103 oveq1 6303 . . . . . . . 8
104103oveq2d 6312 . . . . . . 7
105104fveq2d 5875 . . . . . 6
106 fvex 5881 . . . . . 6
107105, 68, 106fvmpt 5956 . . . . 5
108102, 107syl 16 . . . 4
10994, 100, 1083brtr4d 4482 . . 3
110 ffn 5736 . . . . . . . . 9
11159, 110syl 16 . . . . . . . 8
112 uznn0sub 11141 . . . . . . . . . . . . 13
11311, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12
114 nn0p1nn 10860 . . . . . . . . . . . 12
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . 11
116113nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 pncan 9849 . . . . . . . . . . . . . . 15
118116, 39, 117sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
119118oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
120 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120, 1eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . 14
123 pncan3 9851 . . . . . . . . . . . . . 14
12421, 122, 123syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
125119, 124eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . 12
126125fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
127 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
129128fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
130129eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
131130rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
132115, 126, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
133 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
13468elrnmpt 5254 . . . . . . . . . . 11
135133, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
136132, 135sylibr 212 . . . . . . . . 9
137136ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
138 ffnfv 6057 . . . . . . . 8
139111, 137, 138sylanbrc 664 . . . . . . 7
140 frn 5742 . . . . . . 7
141139, 140syl 16 . . . . . 6
142141sscond 3640 . . . . 5
143142sselda 3503 . . . 4
144 isercoll2.0 . . . 4
145143, 144syldan 470 . . 3
146 isercoll2.f . . 3
147 isercoll2.h . . . . . . 7
148147ralrimiva 2871 . . . . . 6
149148adantr 465 . . . . 5
150 fveq2 5871 . . . . . . 7
15177fveq2d 5875 . . . . . . 7
152150, 151eqeq12d 2479 . . . . . 6
153152rspcv 3206 . . . . 5
15473, 149, 153sylc 60 . . . 4
15596fveq2d 5875 . . . . . 6
156 fvex 5881 . . . . . 6
157155, 33, 156fvmpt 5956 . . . . 5
158157adantl 466 . . . 4
159100fveq2d 5875 . . . 4
160154, 158, 1593eqtr4d 2508 . . 3
16157, 58, 69, 109, 145, 146, 160isercoll 13490 . 2
16256, 161bitrd 253 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seq`cseq 12107   cli 13307 This theorem is referenced by:  iserodd  14359  stirlinglem5  31860 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-hash 12406  df-shft 12900  df-clim 13311
 Copyright terms: Public domain W3C validator