Theorem isercoll2 13491

Description: Generalize isercoll 13490 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isercoll2.z
isercoll2.w
isercoll2.m
isercoll2.n
isercoll2.g
isercoll2.i
isercoll2.0
isercoll2.f
isercoll2.h

Assertion

Ref	Expression
isercoll2

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,N   ,M,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem isercoll2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isercoll2.z	. . 3
2		isercoll2.m	. . 3
3		1z 10919	. . . 4
4		zsubcl 10931	. . . 4
5	3, 2, 4	sylancr 663	. . 3
6		seqex 12109	. . . 4
7	6	a1i 11	. . 3
8		seqex 12109	. . . 4
9	8	a1i 11	. . 3
10		simpr 461	. . . . . 6
11	10, 1	syl6eleq 2555	. . . . 5
12	5	adantr 465	. . . . 5
13		simpl 457	. . . . . 6
14		elfzuz 11713	. . . . . . 7
15	14, 1	syl6eleqr 2556	. . . . . 6
16		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
17	16, 1	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . 12
18		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . 12
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . 11
20	19	zcnd 10995	. . . . . . . . . 10
21	2	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
22	21	adantr 465	. . . . . . . . . 10
23		1cnd 9633	. . . . . . . . . 10
24	20, 22, 23	subadd23d 9976	. . . . . . . . 9
25		uznn0sub 11141	. . . . . . . . . . 11
26	17, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10
27		nn0p1nn 10860	. . . . . . . . . 10
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . 9
29	24, 28	eqeltrrd 2546	. . . . . . . 8
30		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11
31	30	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
32	31	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
33		eqid 2457	. . . . . . . . 9
34		fvex 5881	. . . . . . . . 9
35	32, 33, 34	fvmpt 5956	. . . . . . . 8
36	29, 35	syl 16	. . . . . . 7
37	24	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11
38	26	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . . 12
39		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . 12
40		pncan 9849	. . . . . . . . . . . 12
41	38, 39, 40	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
42	37, 41	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
44	22, 20	pncan3d 9957	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
46	45	fveq2d 5875	. . . . . . 7
47	36, 46	eqtr2d 2499	. . . . . 6
48	13, 15, 47	syl2an 477	. . . . 5
49	11, 12, 48	seqshft2 12133	. . . 4
50	21	adantr 465	. . . . . . 7
51		pncan3 9851	. . . . . . 7
52	50, 39, 51	sylancl 662	. . . . . 6
53	52	seqeq1d 12113	. . . . 5
54	53	fveq1d 5873	. . . 4
55	49, 54	eqtr2d 2499	. . 3
56	1, 2, 5, 7, 9, 55	climshft2 13405	. 2
57		isercoll2.w	. . 3
58		isercoll2.n	. . 3
59		isercoll2.g	. . . . . 6
60	59	adantr 465	. . . . 5
61		uzid 11124	. . . . . . . 8
62	2, 61	syl 16	. . . . . . 7
63		nnm1nn0 10862	. . . . . . 7
64		uzaddcl 11166	. . . . . . 7
65	62, 63, 64	syl2an 477	. . . . . 6
66	65, 1	syl6eleqr 2556	. . . . 5
67	60, 66	ffvelrnd 6032	. . . 4
68		eqid 2457	. . . 4
69	67, 68	fmptd 6055	. . 3
70		nnm1nn0 10862	. . . . . . . 8
71		uzaddcl 11166	. . . . . . . 8
72	62, 70, 71	syl2an 477	. . . . . . 7
73	72, 1	syl6eleqr 2556	. . . . . 6
74		isercoll2.i	. . . . . . . 8
75	74	ralrimiva 2871	. . . . . . 7
76	75	adantr 465	. . . . . 6
77		fveq2 5871	. . . . . . . 8
78		oveq1 6303	. . . . . . . . 9
79	78	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
80	77, 79	breq12d 4465	. . . . . . 7
81	80	rspcv 3206	. . . . . 6
82	73, 76, 81	sylc 60	. . . . 5
83		nncn 10569	. . . . . . . . . 10
84	83	adantl 466	. . . . . . . . 9
85		1cnd 9633	. . . . . . . . 9
86	84, 85, 85	addsubd 9975	. . . . . . . 8
87	86	oveq2d 6312	. . . . . . 7
88	21	adantr 465	. . . . . . . 8
89	70	adantl 466	. . . . . . . . 9
90	89	nn0cnd 10879	. . . . . . . 8
91	88, 90, 85	addassd 9639	. . . . . . 7
92	87, 91	eqtr4d 2501	. . . . . 6
93	92	fveq2d 5875	. . . . 5
94	82, 93	breqtrrd 4478	. . . 4
95		oveq1 6303	. . . . . . . 8
96	95	oveq2d 6312	. . . . . . 7
97	96	fveq2d 5875	. . . . . 6
98		fvex 5881	. . . . . 6
99	97, 68, 98	fvmpt 5956	. . . . 5
100	99	adantl 466	. . . 4
101		peano2nn 10573	. . . . . 6
102	101	adantl 466	. . . . 5
103		oveq1 6303	. . . . . . . 8
104	103	oveq2d 6312	. . . . . . 7
105	104	fveq2d 5875	. . . . . 6
106		fvex 5881	. . . . . 6
107	105, 68, 106	fvmpt 5956	. . . . 5
108	102, 107	syl 16	. . . 4
109	94, 100, 108	3brtr4d 4482	. . 3
110		ffn 5736	. . . . . . . . 9
111	59, 110	syl 16	. . . . . . . 8
112		uznn0sub 11141	. . . . . . . . . . . . 13
113	11, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
114		nn0p1nn 10860	. . . . . . . . . . . 12
115	113, 114	syl 16	. . . . . . . . . . 11
116	113	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . . . . . 15
117		pncan 9849	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 39, 117	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14
119	118	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13
120		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121	120, 1	eleq2s 2565	. . . . . . . . . . . . . . 15
122	121	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . . 14
123		pncan3 9851	. . . . . . . . . . . . . 14
124	21, 122, 123	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
125	119, 124	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . 12
126	125	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
127		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	127	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14
129	128	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . 13
130	129	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12
131	130	rspcev 3210	. . . . . . . . . . 11
132	115, 126, 131	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
133		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
134	68	elrnmpt 5254	. . . . . . . . . . 11
135	133, 134	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
136	132, 135	sylibr 212	. . . . . . . . 9
137	136	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8
138		ffnfv 6057	. . . . . . . 8
139	111, 137, 138	sylanbrc 664	. . . . . . 7
140		frn 5742	. . . . . . 7
141	139, 140	syl 16	. . . . . 6
142	141	sscond 3640	. . . . 5
143	142	sselda 3503	. . . 4
144		isercoll2.0	. . . 4
145	143, 144	syldan 470	. . 3
146		isercoll2.f	. . 3
147		isercoll2.h	. . . . . . 7
148	147	ralrimiva 2871	. . . . . 6
149	148	adantr 465	. . . . 5
150		fveq2 5871	. . . . . . 7
151	77	fveq2d 5875	. . . . . . 7
152	150, 151	eqeq12d 2479	. . . . . 6
153	152	rspcv 3206	. . . . 5
154	73, 149, 153	sylc 60	. . . 4
155	96	fveq2d 5875	. . . . . 6
156		fvex 5881	. . . . . 6
157	155, 33, 156	fvmpt 5956	. . . . 5
158	157	adantl 466	. . . 4
159	100	fveq2d 5875	. . . 4
160	154, 158, 159	3eqtr4d 2508	. . 3
161	57, 58, 69, 109, 145, 146, 160	isercoll 13490	. 2
162	56, 161	bitrd 253	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cmin 9828  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307

This theorem is referenced by:  iserodd  14359  stirlinglem5  31860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-hash 12406  df-shft 12900  df-clim 13311