Theorem iserodd 14359

Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserodd.f
iserodd.h

Assertion

Ref	Expression
iserodd

Distinct variable groups:   ,   ,   ,,

Proof of Theorem iserodd

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11144	. 2
2		nnuz 11145	. 2
3		0zd 10901	. 2
4		1zzd 10920	. 2
5		2nn0 10837	. . . . . 6
6	5	a1i 11	. . . . 5
7		nn0mulcl 10857	. . . . 5
8	6, 7	sylan 471	. . . 4
9		nn0p1nn 10860	. . . 4
10	8, 9	syl 16	. . 3
11		eqid 2457	. . 3
12	10, 11	fmptd 6055	. 2
13		nn0mulcl 10857	. . . . . 6
14	6, 13	sylan 471	. . . . 5
15	14	nn0red 10878	. . . 4
16		peano2nn0 10861	. . . . . 6
17		nn0mulcl 10857	. . . . . 6
18	6, 16, 17	syl2an 477	. . . . 5
19	18	nn0red 10878	. . . 4
20		1red 9632	. . . 4
21		nn0re 10829	. . . . . . 7
22	21	adantl 466	. . . . . 6
23	22	ltp1d 10501	. . . . 5
24	16	adantl 466	. . . . . . 7
25	24	nn0red 10878	. . . . . 6
26		2re 10630	. . . . . . 7
27	26	a1i 11	. . . . . 6
28		2pos 10652	. . . . . . 7
29	28	a1i 11	. . . . . 6
30		ltmul2 10418	. . . . . 6
31	22, 25, 27, 29, 30	syl112anc 1232	. . . . 5
32	23, 31	mpbid 210	. . . 4
33	15, 19, 20, 32	ltadd1dd 10188	. . 3
34		oveq2 6304	. . . . . 6
35	34	oveq1d 6311	. . . . 5
36		ovex 6324	. . . . 5
37	35, 11, 36	fvmpt 5956	. . . 4
38	37	adantl 466	. . 3
39		oveq2 6304	. . . . . 6
40	39	oveq1d 6311	. . . . 5
41		ovex 6324	. . . . 5
42	40, 11, 41	fvmpt 5956	. . . 4
43	24, 42	syl 16	. . 3
44	33, 38, 43	3brtr4d 4482	. 2
45		eldifi 3625	. . . . . . 7
46		simpr 461	. . . . . . . 8
47		0cnd 9610	. . . . . . . . 9
48		nnz 10911	. . . . . . . . . . . . . 14
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
50		odd2np1 14046	. . . . . . . . . . . . 13
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
52		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54	53	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55	54	nn0red 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56	54	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59		divge0 10436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	55, 56, 57, 58, 59	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62	61	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63		2cn 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
64		zcn 10894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65	64	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66		mulcl 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
67	63, 65, 66	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
69		pncan 9849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70	67, 68, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71	62, 70	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72	71	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73		2cnd 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74		2ne0 10653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76	65, 73, 75	divcan3d 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	72, 76	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	60, 77	breqtrd 4476	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79		elnn0z 10902	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80	52, 78, 79	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15
81	80	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
82		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83	82	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
85	81, 84	jcad 533	. . . . . . . . . . . . 13
86	85	reximdv2 2928	. . . . . . . . . . . 12
87	51, 86	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11
88		iserodd.f	. . . . . . . . . . . . . 14
89		iserodd.h	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	89	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . 14
91	88, 90	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13
92	91	rexlimdva 2949	. . . . . . . . . . . 12
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
94	87, 93	syld 44	. . . . . . . . . 10
95	94	imp 429	. . . . . . . . 9
96	47, 95	ifclda 3973	. . . . . . . 8
97		eqid 2457	. . . . . . . . 9
98	97	fvmpt2 5963	. . . . . . . 8
99	46, 96, 98	syl2anc 661	. . . . . . 7
100	45, 99	sylan2 474	. . . . . 6
101		eldif 3485	. . . . . . . 8
102		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
103		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15
104	103	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14
105	104	cbvmptv 4543	. . . . . . . . . . . . 13
106	105	elrnmpt 5254	. . . . . . . . . . . 12
107	102, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
108	87, 107	syl6ibr 227	. . . . . . . . . 10
109	108	con1d 124	. . . . . . . . 9
110	109	impr 619	. . . . . . . 8
111	101, 110	sylan2b 475	. . . . . . 7
112	111	iftrued 3949	. . . . . 6
113	100, 112	eqtrd 2498	. . . . 5
114	113	ralrimiva 2871	. . . 4
115		nfv 1707	. . . . 5
116		nffvmpt1 5879	. . . . . 6
117	116	nfeq1 2634	. . . . 5
118		fveq2 5871	. . . . . 6
119	118	eqeq1d 2459	. . . . 5
120	115, 117, 119	cbvral 3080	. . . 4
121	114, 120	sylib 196	. . 3
122	121	r19.21bi 2826	. 2
123	96, 97	fmptd 6055	. . 3
124	123	ffvelrnda 6031	. 2
125		simpr 461	. . . . . . 7
126		eqid 2457	. . . . . . . 8
127	126	fvmpt2 5963	. . . . . . 7
128	125, 88, 127	syl2anc 661	. . . . . 6
129		ovex 6324	. . . . . . . . . 10
130	104, 11, 129	fvmpt 5956	. . . . . . . . 9
131	130	adantl 466	. . . . . . . 8
132	131	fveq2d 5875	. . . . . . 7
133		nn0mulcl 10857	. . . . . . . . . 10
134	6, 133	sylan 471	. . . . . . . . 9
135		nn0p1nn 10860	. . . . . . . . 9
136	134, 135	syl 16	. . . . . . . 8
137		2z 10921	. . . . . . . . . . . 12
138		nn0z 10912	. . . . . . . . . . . . 13
139	138	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
140		dvdsmul1 14005	. . . . . . . . . . . 12
141	137, 139, 140	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11
142	134	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
143		2nn 10718	. . . . . . . . . . . . 13
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
145		1lt2 10727	. . . . . . . . . . . . 13
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
147		ndvdsp1 14067	. . . . . . . . . . . 12
148	142, 144, 146, 147	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11
149	141, 148	mpd 15	. . . . . . . . . 10
150	149	iffalsed 3952	. . . . . . . . 9
151	150, 88	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
152		breq2 4456	. . . . . . . . . 10
153	152, 89	ifbieq2d 3966	. . . . . . . . 9
154	153, 97	fvmptg 5954	. . . . . . . 8
155	136, 151, 154	syl2anc 661	. . . . . . 7
156	132, 155, 150	3eqtrd 2502	. . . . . 6
157	128, 156	eqtr4d 2501	. . . . 5
158	157	ralrimiva 2871	. . . 4
159		nfv 1707	. . . . 5
160		nffvmpt1 5879	. . . . . 6
161	160	nfeq1 2634	. . . . 5
162		fveq2 5871	. . . . . 6
163		fveq2 5871	. . . . . . 7
164	163	fveq2d 5875	. . . . . 6
165	162, 164	eqeq12d 2479	. . . . 5
166	159, 161, 165	cbvral 3080	. . . 4
167	158, 166	sylib 196	. . 3
168	167	r19.21bi 2826	. 2
169	1, 2, 3, 4, 12, 44, 122, 124, 168	isercoll2 13491	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  \cdif 3472  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  rancrn 5005  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  seqcseq 12107  cli 13307  cdvds 13986

This theorem is referenced by:  atantayl3  23270  leibpilem2  23272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-dvds 13987