MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercolllem1 Unicode version

Theorem isercolllem1 12509
Description: Lemma for isercoll 12512. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z
isercoll.m
isercoll.g
isercoll.i
Assertion
Ref Expression
isercolllem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M
Allowed substitution hints:   S( )   ( )

Proof of Theorem isercolllem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . . 11
2 uzssz 10556 . . . . . . . . . . 11
31, 2eqsstri 3367 . . . . . . . . . 10
4 zssre 10340 . . . . . . . . . 10
53, 4sstri 3346 . . . . . . . . 9
6 isercoll.g . . . . . . . . . . 11
76ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
8 simplrl 738 . . . . . . . . . 10
97, 8ffvelrnd 5919 . . . . . . . . 9
105, 9sseldi 3335 . . . . . . . 8
11 simplrr 739 . . . . . . . . 9
1211nnred 10066 . . . . . . . 8
1310, 12resubcld 9516 . . . . . . 7
148nnred 10066 . . . . . . . 8
1510, 14resubcld 9516 . . . . . . 7
167, 11ffvelrnd 5919 . . . . . . . . 9
175, 16sseldi 3335 . . . . . . . 8
1817, 12resubcld 9516 . . . . . . 7
19 simpr 449 . . . . . . . 8
2014, 12, 10, 19ltsub2dd 9690 . . . . . . 7
218nnzd 10425 . . . . . . . . . 10
2211nnzd 10425 . . . . . . . . . 10
2314, 12, 19ltled 9272 . . . . . . . . . 10
24 eluz2 10545 . . . . . . . . . 10
2521, 22, 23, 24syl3anbrc 1139 . . . . . . . . 9
26 elfzuz 11106 . . . . . . . . . 10
27 nnuz 10572 . . . . . . . . . . . . 13
2827uztrn2 10554 . . . . . . . . . . . 12
298, 28sylan 459 . . . . . . . . . . 11
30 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15
3230, 31oveq12d 6147 . . . . . . . . . . . . . 14
33 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14
34 ovex 6154 . . . . . . . . . . . . . 14
3532, 33, 34fvmpt 5854 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
377ffvelrnda 5918 . . . . . . . . . . . . . 14
385, 37sseldi 3335 . . . . . . . . . . . . 13
39 nnre 10058 . . . . . . . . . . . . . 14
4039adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
4138, 40resubcld 9516 . . . . . . . . . . . 12
4236, 41eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11
4329, 42syldan 458 . . . . . . . . . 10
4426, 43sylan2 462 . . . . . . . . 9
45 elfzuz 11106 . . . . . . . . . 10
46 peano2nn 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 ffvelrn 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
487, 46, 47syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
495, 48sseldi 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 peano2rem 9418 . . . . . . . . . . . . . . 15
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
52 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . 16
5452, 53sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
553, 37sseldi 3335 . . . . . . . . . . . . . . . 16
563, 48sseldi 3335 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 zltlem1 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5855, 56, 57syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
5954, 58mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14
6038, 51, 40, 59lesub1dd 9693 . . . . . . . . . . . . 13
6149recnd 9165 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 ax-1cn 9099 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
6440recnd 9165 . . . . . . . . . . . . . . 15
6561, 63, 64sub32d 9494 . . . . . . . . . . . . . 14
6661, 64, 63subsub4d 9493 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13
6860, 67breqtrd 4267 . . . . . . . . . . . 12
6946adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
70 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15
7270, 71oveq12d 6147 . . . . . . . . . . . . . 14
73 ovex 6154 . . . . . . . . . . . . . 14
7472, 33, 73fvmpt 5854 . . . . . . . . . . . . 13
7569, 74syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7668, 36, 753brtr4d 4273 . . . . . . . . . . 11
7729, 76syldan 458 . . . . . . . . . 10
7845, 77sylan2 462 . . . . . . . . 9
7925, 44, 78monoord 11404 . . . . . . . 8
80 fveq2 5775 . . . . . . . . . . 11
81 id 21 . . . . . . . . . . 11
8280, 81oveq12d 6147 . . . . . . . . . 10
83 ovex 6154 . . . . . . . . . 10
8482, 33, 83fvmpt 5854 . . . . . . . . 9
858, 84syl 16 . . . . . . . 8
86 fveq2 5775 . . . . . . . . . . 11
87 id 21 . . . . . . . . . . 11
8886, 87oveq12d 6147 . . . . . . . . . 10
89 ovex 6154 . . . . . . . . . 10
9088, 33, 89fvmpt 5854 . . . . . . . . 9
9111, 90syl 16 . . . . . . . 8
9279, 85, 913brtr3d 4272 . . . . . . 7
9313, 15, 18, 20, 92ltletrd 9281 . . . . . 6
9410, 17, 12ltsub1d 9686 . . . . . 6
9593, 94mpbird 225 . . . . 5
9695ex 425 . . . 4
9796ralrimivva 2805 . . 3
98 ssralv 3396 . . . . 5
9998ralimdv 2792 . . . 4
100 ssralv 3396 . . . 4
10199, 100syld 43 . . 3
10297, 101mpan9 457 . 2
103 nnssre 10055 . . . . 5
104 ltso 9207 . . . . 5
105 soss 4562 . . . . 5
106103, 104, 105mp2 9 . . . 4
107106a1i 11 . . 3
108 soss 4562 . . . . 5
1095, 104, 108mp2 9 . . . 4
110109a1i 11 . . 3
1116adantr 453 . . 3
112 simpr 449 . . 3
113 soisores 6095 . . 3
114107, 110, 111, 112, 113syl22anc 1186 . 2
115102, 114mpbird 225 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712  C_wss 3309   class class class wbr 4243  e.cmpt 4301  Orwor 4543  |`cres 4921  "cima 4922  -->wf 5497  `cfv 5501  Isomwiso 5502  (class class class)co 6129   cc 9039   cr 9040  1c1 9042   caddc 9044   clt 9171   cle 9172   cmin 9342   cn 10051   cz 10333   cuz 10539   cfz 11094
This theorem is referenced by:  isercolllem2  12510  isercolllem3  12511  isercoll  12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-isom 5510  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-fz 11095
  Copyright terms: Public domain W3C validator