Theorem isercolllem1 13487

Description: Lemma for isercoll 13490. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isercoll.z
isercoll.m
isercoll.g
isercoll.i

Assertion

Ref	Expression
isercolllem1

Distinct variable groups:   ,   ,   ,M

Proof of Theorem isercolllem1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isercoll.z	. . . . . . . . . . 11
2		uzssz 11129	. . . . . . . . . . 11
3	1, 2	eqsstri 3533	. . . . . . . . . 10
4		zssre 10896	. . . . . . . . . 10
5	3, 4	sstri 3512	. . . . . . . . 9
6		isercoll.g	. . . . . . . . . . 11
7	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10
8		simplrl 761	. . . . . . . . . 10
9	7, 8	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . 9
10	5, 9	sseldi 3501	. . . . . . . 8
11		simplrr 762	. . . . . . . . 9
12	11	nnred 10576	. . . . . . . 8
13	10, 12	resubcld 10012	. . . . . . 7
14	8	nnred 10576	. . . . . . . 8
15	10, 14	resubcld 10012	. . . . . . 7
16	7, 11	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . 9
17	5, 16	sseldi 3501	. . . . . . . 8
18	17, 12	resubcld 10012	. . . . . . 7
19		simpr 461	. . . . . . . 8
20	14, 12, 10, 19	ltsub2dd 10190	. . . . . . 7
21	8	nnzd 10993	. . . . . . . . . 10
22	11	nnzd 10993	. . . . . . . . . 10
23	14, 12, 19	ltled 9754	. . . . . . . . . 10
24		eluz2 11116	. . . . . . . . . 10
25	21, 22, 23, 24	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . 9
26		elfzuz 11713	. . . . . . . . . 10
27		eluznn 11181	. . . . . . . . . . . 12
28	8, 27	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
29		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	29, 30	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . 14
32		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
33		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . 14
34	31, 32, 33	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
36	7	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . . . 14
37	5, 36	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . 13
38		nnre 10568	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
40	37, 39	resubcld 10012	. . . . . . . . . . . 12
41	35, 40	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . 11
42	28, 41	syldan 470	. . . . . . . . . 10
43	26, 42	sylan2 474	. . . . . . . . 9
44		elfzuz 11713	. . . . . . . . . 10
45		peano2nn 10573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47	7, 45, 46	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	5, 47	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . . 15
49		peano2rem 9909	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
51		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52		isercoll.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	51, 52	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	3, 36	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	3, 47	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56		zltlem1 10941	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	54, 55, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	53, 57	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14
59	37, 50, 39, 58	lesub1dd 10193	. . . . . . . . . . . . 13
60	48	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . . . 15
61		1cnd 9633	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	39	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . . . 15
63	60, 61, 62	sub32d 9986	. . . . . . . . . . . . . 14
64	60, 62, 61	subsub4d 9985	. . . . . . . . . . . . . 14
65	63, 64	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13
66	59, 65	breqtrd 4476	. . . . . . . . . . . 12
67	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
68		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15
70	68, 69	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . 14
71		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . 14
72	70, 32, 71	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . 13
73	67, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
74	66, 35, 73	3brtr4d 4482	. . . . . . . . . . 11
75	28, 74	syldan 470	. . . . . . . . . 10
76	44, 75	sylan2 474	. . . . . . . . 9
77	25, 43, 76	monoord 12137	. . . . . . . 8
78		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
79		id 22	. . . . . . . . . . 11
80	78, 79	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10
81		ovex 6324	. . . . . . . . . 10
82	80, 32, 81	fvmpt 5956	. . . . . . . . 9
83	8, 82	syl 16	. . . . . . . 8
84		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
85		id 22	. . . . . . . . . . 11
86	84, 85	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10
87		ovex 6324	. . . . . . . . . 10
88	86, 32, 87	fvmpt 5956	. . . . . . . . 9
89	11, 88	syl 16	. . . . . . . 8
90	77, 83, 89	3brtr3d 4481	. . . . . . 7
91	13, 15, 18, 20, 90	ltletrd 9763	. . . . . 6
92	10, 17, 12	ltsub1d 10186	. . . . . 6
93	91, 92	mpbird 232	. . . . 5
94	93	ex 434	. . . 4
95	94	ralrimivva 2878	. . 3
96		ssralv 3563	. . . . 5
97	96	ralimdv 2867	. . . 4
98		ssralv 3563	. . . 4
99	97, 98	syld 44	. . 3
100	95, 99	mpan9 469	. 2
101		nnssre 10565	. . . . 5
102		ltso 9686	. . . . 5
103		soss 4823	. . . . 5
104	101, 102, 103	mp2 9	. . . 4
105	104	a1i 11	. . 3
106		soss 4823	. . . . 5
107	5, 102, 106	mp2 9	. . . 4
108	107	a1i 11	. . 3
109	6	adantr 465	. . 3
110		simpr 461	. . 3
111		soisores 6223	. . 3
112	105, 108, 109, 110, 111	syl22anc 1229	. 2
113	100, 112	mpbird 232	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  |`cres 5006  "cima 5007  -->wf 5589  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  cr 9512  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cn 10561  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701

This theorem is referenced by:  isercolllem2  13488  isercolllem3  13489  isercoll  13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702