Theorem isercolllem2 13488

Description: Lemma for isercoll 13490. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isercoll.z
isercoll.m
isercoll.g
isercoll.i

Assertion

Ref	Expression
isercolllem2

Distinct variable groups:   ,N   ,   ,   ,M

Proof of Theorem isercolllem2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 11743	. . . . . . . 8
2	1	a1i 11	. . . . . . 7
3		cnvimass 5362	. . . . . . . . 9
4		isercoll.g	. . . . . . . . . . 11
5	4	adantr 465	. . . . . . . . . 10
6		fdm 5740	. . . . . . . . . 10
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . 9
8	3, 7	syl5sseq 3551	. . . . . . . 8
9	8	sseld 3502	. . . . . . 7
10		id 22	. . . . . . . . . . 11
11		nnuz 11145	. . . . . . . . . . 11
12	10, 11	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . 10
13		ltso 9686	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
15		fzfid 12083	. . . . . . . . . . . . . . 15
16		ffun 5738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17		funimacnv 5665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
18	5, 16, 17	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		inss1 3717	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	18, 19	syl6eqss 3553	. . . . . . . . . . . . . . 15
21		ssfi 7760	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	15, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
23		ssid 3522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
24		isercoll.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25		isercoll.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26		isercoll.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
27	24, 25, 4, 26	isercolllem1 13487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
28	23, 27	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30		fnresdm 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31		isoeq1 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32	4, 29, 30, 31	4syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33	28, 32	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34		isof1o 6221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35		f1ocnv 5833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36		f1ofun 5823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	33, 34, 35, 36	4syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		df-f1 5598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39	4, 37, 38	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41		nnex 10567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
42		ssexg 4598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43	8, 41, 42	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44		f1imaeng 7595	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	40, 8, 43, 44	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	45	ensymd 7586	. . . . . . . . . . . . . 14
47		enfii 7757	. . . . . . . . . . . . . 14
48	22, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
49		1nn 10572	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52	4, 49, 51	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	52, 24	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56		elfzuzb 11711	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	54, 55, 56	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	5, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59		elpreima 6007	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
61	50, 57, 60	mpbir2and 922	. . . . . . . . . . . . . 14
62		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . . 14
63	61, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
64		nnssre 10565	. . . . . . . . . . . . . 14
65	8, 64	syl6ss 3515	. . . . . . . . . . . . 13
66		fisupcl 7948	. . . . . . . . . . . . 13
67	14, 48, 63, 65, 66	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . 12
68	8, 67	sseldd 3504	. . . . . . . . . . 11
69	68	nnzd 10993	. . . . . . . . . 10
70		elfz5 11709	. . . . . . . . . 10
71	12, 69, 70	syl2anr 478	. . . . . . . . 9
72		elpreima 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	58, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74	67, 73	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		elfzle2 11719	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
78	77	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
79		uzssz 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80	24, 79	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81		zssre 10896	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82	80, 81	sstri 3512	. . . . . . . . . . . . . . 15
83	5	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . . . . 15
84	82, 83	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . 14
85	5, 68	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86	85	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	82, 86	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . 14
88		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	81, 89	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . 14
91		letr 9699	. . . . . . . . . . . . . 14
92	84, 87, 90, 91	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13
93	78, 92	mpan2d 674	. . . . . . . . . . . 12
94	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
95	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
96		ressxr 9658	. . . . . . . . . . . . . 14
97	95, 96	syl6ss 3515	. . . . . . . . . . . . 13
98		imassrn 5353	. . . . . . . . . . . . . . . 16
99	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
100		frn 5742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	99, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	98, 101	syl5ss 3514	. . . . . . . . . . . . . . 15
103	102, 82	syl6ss 3515	. . . . . . . . . . . . . 14
104	103, 96	syl6ss 3515	. . . . . . . . . . . . 13
105		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
106	68	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
107		leisorel 12509	. . . . . . . . . . . . 13
108	94, 97, 104, 105, 106, 107	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . 12
109	83, 24	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . . 13
110		elfz5 11709	. . . . . . . . . . . . 13
111	109, 89, 110	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
112	93, 108, 111	3imtr4d 268	. . . . . . . . . . 11
113		elpreima 6007	. . . . . . . . . . . . 13
114	113	baibd 909	. . . . . . . . . . . 12
115	58, 114	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
116	112, 115	sylibrd 234	. . . . . . . . . 10
117		fimaxre2 10516	. . . . . . . . . . . . 13
118	65, 48, 117	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
119		suprub 10529	. . . . . . . . . . . . 13
120	119	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
121	65, 63, 118, 120	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11
122	121	adantr 465	. . . . . . . . . 10
123	116, 122	impbid 191	. . . . . . . . 9
124	71, 123	bitrd 253	. . . . . . . 8
125	124	ex 434	. . . . . . 7
126	2, 9, 125	pm5.21ndd 354	. . . . . 6
127	126	eqrdv 2454	. . . . 5
128	127	fveq2d 5875	. . . 4
129	68	nnnn0d 10877	. . . . 5
130		hashfz1 12419	. . . . 5
131	129, 130	syl 16	. . . 4
132		hashen 12420	. . . . . 6
133	48, 22, 132	syl2anc 661	. . . . 5
134	46, 133	mpbird 232	. . . 4
135	128, 131, 134	3eqtr3d 2506	. . 3
136	135	oveq2d 6312	. 2
137	136, 127	eqtr3d 2500	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  Orwor 4804  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  cen 7533  cfn 7536  supcsup 7920  cr 9512  1c1 9514  caddc 9516  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  chash 12405

This theorem is referenced by:  isercolllem3  13489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406