Theorem iunfictbso 8516

Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunfictbso

Proof of Theorem iunfictbso

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 8081	. . . . 5
2	1	0dom 7667	. . . 4
3		breq1 4455	. . . 4
4	2, 3	mpbiri 233	. . 3
5	4	a1d 25	. 2
6		n0 3794	. . 3
7		ne0i 3790	. . . . . . . . . 10
8		unieq 4257	. . . . . . . . . . . 12
9		uni0 4276	. . . . . . . . . . . 12
10	8, 9	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11
11	10	necon3i 2697	. . . . . . . . . 10
12	7, 11	syl 16	. . . . . . . . 9
13	12	adantl 466	. . . . . . . 8
14		simpl1 999	. . . . . . . . 9
15		reldom 7542	. . . . . . . . . 10
16	15	brrelexi 5045	. . . . . . . . 9
17		0sdomg 7666	. . . . . . . . 9
18	14, 16, 17	3syl 20	. . . . . . . 8
19	13, 18	mpbird 232	. . . . . . 7
20		fodomr 7688	. . . . . . 7
21	19, 14, 20	syl2anc 661	. . . . . 6
22		omelon 8084	. . . . . . . . . . . 12
23		onenon 8351	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
25		xpnum 8353	. . . . . . . . . . 11
26	24, 24, 25	mp2an 672	. . . . . . . . . 10
27		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
28		fof 5800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31	29, 30	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		elssuni 4279	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	31, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36		simpll3 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
37		soss 4823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38	35, 36, 37	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39		simpll2 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40	39, 31	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
41		finnisoeu 8515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42	38, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43		iotacl 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45		iotaex 5573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		isoeq1 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 No typesetting for: |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
47		isoeq1 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48	47	cbvabv 2600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49	45, 46, 48	elab2 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 No typesetting for: |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
50	44, 49	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 No typesetting for: |- ( ( ( ( A ~<_ _om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : _om -onto-> A ) ) /\ ( f e. _om /\ g e. _om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
51		isof1o 6221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 No typesetting for: |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) )
52		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53	50, 51, 52	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	53	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	34, 54	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . 14
56		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14
58	55, 57	ifclda 3973	. . . . . . . . . . . . 13
59	58	ralrimivva 2878	. . . . . . . . . . . 12
60		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13
61	60	fmpt2 6867	. . . . . . . . . . . 12
62	59, 61	sylib 196	. . . . . . . . . . 11
63		eluni 4252	. . . . . . . . . . . . 13
64		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66		foelrn 6050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	64, 65, 66	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69		ordom 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
70		simpll2 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
71		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
72	71, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
73	72, 68	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
74	70, 73	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
75		ficardom 8363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77		ordelss 4899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	69, 76, 77	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79		elssuni 4279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
80	73, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
81		simpll3 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
82		soss 4823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
83	80, 81, 82	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
84		finnisoeu 8515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
85	83, 74, 84	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
86		iotacl 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
88		iotaex 5573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
89		isoeq1 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 No typesetting for: |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
90		isoeq1 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
91	90	cbvabv 2600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
92	88, 89, 91	elab2 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 No typesetting for: |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
93	87, 92	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 No typesetting for: |- ( ( ( ( A ~<_ _om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : _om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. _om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
94		isof1o 6221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 No typesetting for: |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
95	93, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
96		f1ocnv 5833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
97		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
98	95, 96, 97	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
99		simprll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
100		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101	99, 100	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102	98, 101	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103	78, 102	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
105	104	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
106	105	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107		isoeq4 6218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
108	105, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
109		isoeq5 6219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
110	104, 109	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
111	108, 110	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
112	111	iotabidv 5577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
113	112	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
114	106, 113	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
116		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
117	115, 116	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
118		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
119		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
120	118, 119	ifex 4010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121	114, 117, 60, 120	ovmpt2 6438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122	68, 103, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
123	102	iftrued 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
124		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125	95, 101, 124	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	122, 123, 125	3eqtrrd 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127		rspceov 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	68, 103, 126, 127	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	128	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	129	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	130	rexlimdv 2947	. . . . . . . . . . . . . . . 16
132	67, 131	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15
133	132	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
134	133	exlimdv 1724	. . . . . . . . . . . . 13
135	63, 134	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . 12
136	135	ralrimiv 2869	. . . . . . . . . . 11
137		foov 6449	. . . . . . . . . . 11
138	62, 136, 137	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10
139		fodomnum 8459	. . . . . . . . . 10
140	26, 138, 139	mpsyl 63	. . . . . . . . 9
141		xpomen 8414	. . . . . . . . 9
142		domentr 7594	. . . . . . . . 9
143	140, 141, 142	sylancl 662	. . . . . . . 8
144	143	expr 615	. . . . . . 7
145	144	exlimdv 1724	. . . . . 6
146	21, 145	mpd 15	. . . . 5
147	146	expcom 435	. . . 4
148	147	exlimiv 1722	. . 3
149	6, 148	sylbi 195	. 2
150	5, 149	pm2.61ine 2770	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  cep 4794  Orwor 4804  Ordword 4882  con0 4883  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  iotacio 5554  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  aannenlem3  22726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-acn 8344