Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
1stctop |
|- ( J e. 1stc -> J e. Top ) |
2 |
|
resttop |
|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J |`t A ) e. Top ) |
3 |
1 2
|
sylan |
|- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( J |`t A ) e. Top ) |
4 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
5 |
4
|
restuni2 |
|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J |`t A ) ) |
6 |
1 5
|
sylan |
|- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J |`t A ) ) |
7 |
6
|
eleq2d |
|- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( x e. ( A i^i U. J ) <-> x e. U. ( J |`t A ) ) ) |
8 |
7
|
biimpar |
|- ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. U. ( J |`t A ) ) -> x e. ( A i^i U. J ) ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> J e. 1stc ) |
10 |
|
elinel2 |
|- ( x e. ( A i^i U. J ) -> x e. U. J ) |
11 |
4
|
1stcclb |
|- ( ( J e. 1stc /\ x e. U. J ) -> E. t e. ~P J ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) |
12 |
9 10 11
|
syl2an |
|- ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) -> E. t e. ~P J ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) |
13 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> J e. 1stc ) |
14 |
|
elpwi |
|- ( t e. ~P J -> t C_ J ) |
15 |
14
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> t C_ J ) |
16 |
|
ssrest |
|- ( ( J e. 1stc /\ t C_ J ) -> ( t |`t A ) C_ ( J |`t A ) ) |
17 |
13 15 16
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( t |`t A ) C_ ( J |`t A ) ) |
18 |
|
ovex |
|- ( J |`t A ) e. _V |
19 |
18
|
elpw2 |
|- ( ( t |`t A ) e. ~P ( J |`t A ) <-> ( t |`t A ) C_ ( J |`t A ) ) |
20 |
17 19
|
sylibr |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( t |`t A ) e. ~P ( J |`t A ) ) |
21 |
|
vex |
|- t e. _V |
22 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> A e. V ) |
23 |
|
restval |
|- ( ( t e. _V /\ A e. V ) -> ( t |`t A ) = ran ( v e. t |-> ( v i^i A ) ) ) |
24 |
21 22 23
|
sylancr |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( t |`t A ) = ran ( v e. t |-> ( v i^i A ) ) ) |
25 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> t ~<_ _om ) |
26 |
|
1stcrestlem |
|- ( t ~<_ _om -> ran ( v e. t |-> ( v i^i A ) ) ~<_ _om ) |
27 |
25 26
|
syl |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ran ( v e. t |-> ( v i^i A ) ) ~<_ _om ) |
28 |
24 27
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( t |`t A ) ~<_ _om ) |
29 |
1
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> J e. Top ) |
30 |
|
elrest |
|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( z e. ( J |`t A ) <-> E. a e. J z = ( a i^i A ) ) ) |
31 |
29 22 30
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( z e. ( J |`t A ) <-> E. a e. J z = ( a i^i A ) ) ) |
32 |
|
r19.29 |
|- ( ( A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ E. a e. J z = ( a i^i A ) ) -> E. a e. J ( ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ z = ( a i^i A ) ) ) |
33 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> x e. A ) |
34 |
33
|
a1d |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( x e. y -> x e. A ) ) |
35 |
34
|
ancld |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( x e. y -> ( x e. y /\ x e. A ) ) ) |
36 |
|
elin |
|- ( x e. ( y i^i A ) <-> ( x e. y /\ x e. A ) ) |
37 |
35 36
|
syl6ibr |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( x e. y -> x e. ( y i^i A ) ) ) |
38 |
|
ssrin |
|- ( y C_ a -> ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) |
39 |
37 38
|
anim12d1 |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( ( x e. y /\ y C_ a ) -> ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
40 |
39
|
reximdv |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) -> E. y e. t ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
41 |
|
vex |
|- y e. _V |
42 |
41
|
inex1 |
|- ( y i^i A ) e. _V |
43 |
42
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) /\ y e. t ) -> ( y i^i A ) e. _V ) |
44 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> A e. V ) |
45 |
|
elrest |
|- ( ( t e. _V /\ A e. V ) -> ( w e. ( t |`t A ) <-> E. y e. t w = ( y i^i A ) ) ) |
46 |
21 44 45
|
sylancr |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( w e. ( t |`t A ) <-> E. y e. t w = ( y i^i A ) ) ) |
47 |
|
eleq2 |
|- ( w = ( y i^i A ) -> ( x e. w <-> x e. ( y i^i A ) ) ) |
48 |
|
sseq1 |
|- ( w = ( y i^i A ) -> ( w C_ ( a i^i A ) <-> ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) |
49 |
47 48
|
anbi12d |
|- ( w = ( y i^i A ) -> ( ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) <-> ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
50 |
49
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) /\ w = ( y i^i A ) ) -> ( ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) <-> ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
51 |
43 46 50
|
rexxfr2d |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) <-> E. y e. t ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
52 |
40 51
|
sylibrd |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
53 |
52
|
expr |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) -> ( x e. A -> ( E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) ) |
54 |
53
|
com23 |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) -> ( E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) -> ( x e. A -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) ) |
55 |
54
|
imim2d |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) -> ( ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) -> ( x e. a -> ( x e. A -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) ) ) |
56 |
55
|
imp4b |
|- ( ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) /\ ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) -> ( ( x e. a /\ x e. A ) -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
57 |
|
eleq2 |
|- ( z = ( a i^i A ) -> ( x e. z <-> x e. ( a i^i A ) ) ) |
58 |
|
elin |
|- ( x e. ( a i^i A ) <-> ( x e. a /\ x e. A ) ) |
59 |
57 58
|
bitrdi |
|- ( z = ( a i^i A ) -> ( x e. z <-> ( x e. a /\ x e. A ) ) ) |
60 |
|
sseq2 |
|- ( z = ( a i^i A ) -> ( w C_ z <-> w C_ ( a i^i A ) ) ) |
61 |
60
|
anbi2d |
|- ( z = ( a i^i A ) -> ( ( x e. w /\ w C_ z ) <-> ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
62 |
61
|
rexbidv |
|- ( z = ( a i^i A ) -> ( E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) |
63 |
59 62
|
imbi12d |
|- ( z = ( a i^i A ) -> ( ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> ( ( x e. a /\ x e. A ) -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) ) |
64 |
56 63
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) /\ ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) -> ( z = ( a i^i A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
65 |
64
|
expimpd |
|- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) -> ( ( ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ z = ( a i^i A ) ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
66 |
65
|
rexlimdva |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) -> ( E. a e. J ( ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ z = ( a i^i A ) ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
67 |
32 66
|
syl5 |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) -> ( ( A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ E. a e. J z = ( a i^i A ) ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
68 |
67
|
expd |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) -> ( A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) -> ( E. a e. J z = ( a i^i A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) ) |
69 |
68
|
impr |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) -> ( E. a e. J z = ( a i^i A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
70 |
69
|
adantrrl |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( E. a e. J z = ( a i^i A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
71 |
31 70
|
sylbid |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( z e. ( J |`t A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
72 |
71
|
ralrimiv |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) |
73 |
|
breq1 |
|- ( y = ( t |`t A ) -> ( y ~<_ _om <-> ( t |`t A ) ~<_ _om ) ) |
74 |
|
rexeq |
|- ( y = ( t |`t A ) -> ( E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) |
75 |
74
|
imbi2d |
|- ( y = ( t |`t A ) -> ( ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
76 |
75
|
ralbidv |
|- ( y = ( t |`t A ) -> ( A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
77 |
73 76
|
anbi12d |
|- ( y = ( t |`t A ) -> ( ( y ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> ( ( t |`t A ) ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) ) |
78 |
77
|
rspcev |
|- ( ( ( t |`t A ) e. ~P ( J |`t A ) /\ ( ( t |`t A ) ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. ( t |`t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( J |`t A ) ( y ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
79 |
20 28 72 78
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ _om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( J |`t A ) ( y ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
80 |
12 79
|
rexlimddv |
|- ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) -> E. y e. ~P ( J |`t A ) ( y ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
81 |
8 80
|
syldan |
|- ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. U. ( J |`t A ) ) -> E. y e. ~P ( J |`t A ) ( y ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
82 |
81
|
ralrimiva |
|- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> A. x e. U. ( J |`t A ) E. y e. ~P ( J |`t A ) ( y ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
83 |
|
eqid |
|- U. ( J |`t A ) = U. ( J |`t A ) |
84 |
83
|
is1stc2 |
|- ( ( J |`t A ) e. 1stc <-> ( ( J |`t A ) e. Top /\ A. x e. U. ( J |`t A ) E. y e. ~P ( J |`t A ) ( y ~<_ _om /\ A. z e. ( J |`t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) ) |
85 |
3 82 84
|
sylanbrc |
|- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( J |`t A ) e. 1stc ) |