Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme19.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme19.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme19.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme19.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme19.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme19.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme19.f |
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
8 |
|
cdleme19.g |
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdleme19.d |
|- D = ( ( R .\/ S ) ./\ W ) |
10 |
|
cdleme19.y |
|- Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W ) |
11 |
|
cdleme20.v |
|- V = ( ( S .\/ T ) ./\ W ) |
12 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. R .<_ ( S .\/ T ) ) |
13 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. HL ) |
14 |
|
simp22l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S e. A ) |
15 |
|
simp21l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> R e. A ) |
16 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
17 |
16 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ R e. A /\ S e. A ) -> ( R .\/ S ) e. ( Base ` K ) ) |
18 |
13 15 14 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( R .\/ S ) e. ( Base ` K ) ) |
19 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> W e. H ) |
20 |
16 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
21 |
19 20
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
22 |
1 2 4
|
hlatlej2 |
|- ( ( K e. HL /\ R e. A /\ S e. A ) -> S .<_ ( R .\/ S ) ) |
23 |
13 15 14 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S .<_ ( R .\/ S ) ) |
24 |
16 1 2 3 4
|
atmod2i1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( S e. A /\ ( R .\/ S ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) /\ S .<_ ( R .\/ S ) ) -> ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .\/ S ) = ( ( R .\/ S ) ./\ ( W .\/ S ) ) ) |
25 |
13 14 18 21 23 24
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .\/ S ) = ( ( R .\/ S ) ./\ ( W .\/ S ) ) ) |
26 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) |
27 |
|
eqid |
|- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K ) |
28 |
1 2 27 4 5
|
lhpjat1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( W .\/ S ) = ( 1. ` K ) ) |
29 |
13 19 26 28
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( W .\/ S ) = ( 1. ` K ) ) |
30 |
29
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ ( W .\/ S ) ) = ( ( R .\/ S ) ./\ ( 1. ` K ) ) ) |
31 |
|
hlol |
|- ( K e. HL -> K e. OL ) |
32 |
13 31
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. OL ) |
33 |
16 3 27
|
olm11 |
|- ( ( K e. OL /\ ( R .\/ S ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( R .\/ S ) ) |
34 |
32 18 33
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( R .\/ S ) ) |
35 |
25 30 34
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .\/ S ) = ( R .\/ S ) ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .\/ S ) = ( R .\/ S ) ) |
37 |
|
simp1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) |
38 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) |
39 |
|
simp21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) |
40 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) |
41 |
|
simp321 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
42 |
|
simp322 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) |
43 |
41 42
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
44 |
|
simp323 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) ) |
45 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdleme20d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) = V ) |
46 |
37 26 38 39 40 43 44 45
|
syl133anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) = V ) |
47 |
13
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. Lat ) |
48 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> P e. A ) |
49 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> Q e. A ) |
50 |
1 2 3 4 5 6 7 16
|
cdleme1b |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ S e. A ) ) -> F e. ( Base ` K ) ) |
51 |
13 19 48 49 14 50
|
syl23anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> F e. ( Base ` K ) ) |
52 |
|
simp23l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> T e. A ) |
53 |
1 2 3 4 5 6 8 16
|
cdleme1b |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ T e. A ) ) -> G e. ( Base ` K ) ) |
54 |
13 19 48 49 52 53
|
syl23anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> G e. ( Base ` K ) ) |
55 |
16 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ F e. ( Base ` K ) /\ G e. ( Base ` K ) ) -> ( F .\/ G ) e. ( Base ` K ) ) |
56 |
47 51 54 55
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( F .\/ G ) e. ( Base ` K ) ) |
57 |
|
simp22r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. S .<_ W ) |
58 |
1 2 3 4 5 9
|
cdlemeda |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> D e. A ) |
59 |
13 19 14 57 15 44 41 58
|
syl223anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> D e. A ) |
60 |
|
simp23r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. T .<_ W ) |
61 |
1 2 3 4 5 10
|
cdlemeda |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Y e. A ) |
62 |
13 19 52 60 15 44 42 61
|
syl223anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> Y e. A ) |
63 |
16 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ D e. A /\ Y e. A ) -> ( D .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) |
64 |
13 59 62 63
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( D .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) |
65 |
16 1 3
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( F .\/ G ) e. ( Base ` K ) /\ ( D .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) .<_ ( D .\/ Y ) ) |
66 |
47 56 64 65
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) .<_ ( D .\/ Y ) ) |
67 |
46 66
|
eqbrtrrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> V .<_ ( D .\/ Y ) ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> V .<_ ( D .\/ Y ) ) |
69 |
2 4
|
hlatjidm |
|- ( ( K e. HL /\ D e. A ) -> ( D .\/ D ) = D ) |
70 |
13 59 69
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( D .\/ D ) = D ) |
71 |
|
oveq2 |
|- ( D = Y -> ( D .\/ D ) = ( D .\/ Y ) ) |
72 |
70 71
|
sylan9req |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> D = ( D .\/ Y ) ) |
73 |
68 72
|
breqtrrd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> V .<_ D ) |
74 |
|
hlatl |
|- ( K e. HL -> K e. AtLat ) |
75 |
13 74
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. AtLat ) |
76 |
|
simp31r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S =/= T ) |
77 |
1 2 3 4 5 11
|
lhpat2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ S =/= T ) ) -> V e. A ) |
78 |
13 19 14 57 52 76 77
|
syl222anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> V e. A ) |
79 |
1 4
|
atcmp |
|- ( ( K e. AtLat /\ V e. A /\ D e. A ) -> ( V .<_ D <-> V = D ) ) |
80 |
75 78 59 79
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( V .<_ D <-> V = D ) ) |
81 |
80
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( V .<_ D <-> V = D ) ) |
82 |
73 81
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> V = D ) |
83 |
82 11
|
eqtr3di |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> D = ( ( S .\/ T ) ./\ W ) ) |
84 |
9 83
|
eqtr3id |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) = ( ( S .\/ T ) ./\ W ) ) |
85 |
16 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ S e. A /\ T e. A ) -> ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) ) |
86 |
13 14 52 85
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) ) |
87 |
16 1 3
|
latmle1 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ W ) .<_ ( S .\/ T ) ) |
88 |
47 86 21 87
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ W ) .<_ ( S .\/ T ) ) |
89 |
88
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ W ) .<_ ( S .\/ T ) ) |
90 |
84 89
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .<_ ( S .\/ T ) ) |
91 |
1 2 4
|
hlatlej1 |
|- ( ( K e. HL /\ S e. A /\ T e. A ) -> S .<_ ( S .\/ T ) ) |
92 |
13 14 52 91
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S .<_ ( S .\/ T ) ) |
93 |
92
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> S .<_ ( S .\/ T ) ) |
94 |
16 3
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( R .\/ S ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) |
95 |
47 18 21 94
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) |
96 |
16 4
|
atbase |
|- ( S e. A -> S e. ( Base ` K ) ) |
97 |
14 96
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S e. ( Base ` K ) ) |
98 |
16 1 2
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) /\ S e. ( Base ` K ) /\ ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .<_ ( S .\/ T ) /\ S .<_ ( S .\/ T ) ) <-> ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .\/ S ) .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
99 |
47 95 97 86 98
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .<_ ( S .\/ T ) /\ S .<_ ( S .\/ T ) ) <-> ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .\/ S ) .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
100 |
99
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .<_ ( S .\/ T ) /\ S .<_ ( S .\/ T ) ) <-> ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .\/ S ) .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
101 |
90 93 100
|
mpbi2and |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( ( ( R .\/ S ) ./\ W ) .\/ S ) .<_ ( S .\/ T ) ) |
102 |
36 101
|
eqbrtrrd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( R .\/ S ) .<_ ( S .\/ T ) ) |
103 |
16 4
|
atbase |
|- ( R e. A -> R e. ( Base ` K ) ) |
104 |
15 103
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> R e. ( Base ` K ) ) |
105 |
16 1 2
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( R e. ( Base ` K ) /\ S e. ( Base ` K ) /\ ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( R .<_ ( S .\/ T ) /\ S .<_ ( S .\/ T ) ) <-> ( R .\/ S ) .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
106 |
47 104 97 86 105
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( R .<_ ( S .\/ T ) /\ S .<_ ( S .\/ T ) ) <-> ( R .\/ S ) .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
107 |
106
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( ( R .<_ ( S .\/ T ) /\ S .<_ ( S .\/ T ) ) <-> ( R .\/ S ) .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
108 |
102 107
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> ( R .<_ ( S .\/ T ) /\ S .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
109 |
108
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ D = Y ) -> R .<_ ( S .\/ T ) ) |
110 |
109
|
ex |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( D = Y -> R .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
111 |
110
|
necon3bd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( -. R .<_ ( S .\/ T ) -> D =/= Y ) ) |
112 |
12 111
|
mpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> D =/= Y ) |