Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvmptfprodlem.xph |
|- F/ x ph |
2 |
|
dvmptfprodlem.iph |
|- F/ i ph |
3 |
|
dvmptfprodlem.jph |
|- F/ j ph |
4 |
|
dvmptfprodlem.if |
|- F/_ i F |
5 |
|
dvmptfprodlem.jg |
|- F/_ j G |
6 |
|
dvmptfprodlem.a |
|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) |
7 |
|
dvmptfprodlem.d |
|- ( ph -> D e. Fin ) |
8 |
|
dvmptfprodlem.e |
|- ( ph -> E e. _V ) |
9 |
|
dvmptfprodlem.db |
|- ( ph -> -. E e. D ) |
10 |
|
dvmptfprodlem.ss |
|- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I ) |
11 |
|
dvmptfprodlem.s |
|- ( ph -> S e. { RR , CC } ) |
12 |
|
dvmptfprodlem.c |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC ) |
13 |
|
dvmptfprodlem.dvp |
|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) ) |
14 |
|
dvmptfprodlem.14 |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC ) |
15 |
|
dvmptfprodlem.dvf |
|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) ) |
16 |
|
dvmptfprodlem.f |
|- ( i = E -> A = F ) |
17 |
|
dvmptfprodlem.cg |
|- ( j = E -> C = G ) |
18 |
|
nfcv |
|- F/_ i x |
19 |
|
nfcv |
|- F/_ i X |
20 |
18 19
|
nfel |
|- F/ i x e. X |
21 |
2 20
|
nfan |
|- F/ i ( ph /\ x e. X ) |
22 |
4
|
a1i |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> F/_ i F ) |
23 |
|
snfi |
|- { E } e. Fin |
24 |
23
|
a1i |
|- ( ph -> { E } e. Fin ) |
25 |
|
unfi |
|- ( ( D e. Fin /\ { E } e. Fin ) -> ( D u. { E } ) e. Fin ) |
26 |
7 24 25
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( D u. { E } ) e. Fin ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D u. { E } ) e. Fin ) |
28 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> ph ) |
29 |
10
|
sselda |
|- ( ( ph /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I ) |
30 |
29
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I ) |
31 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> x e. X ) |
32 |
28 30 31 6
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> A e. CC ) |
33 |
|
snidg |
|- ( E e. _V -> E e. { E } ) |
34 |
8 33
|
syl |
|- ( ph -> E e. { E } ) |
35 |
|
elun2 |
|- ( E e. { E } -> E e. ( D u. { E } ) ) |
36 |
34 35
|
syl |
|- ( ph -> E e. ( D u. { E } ) ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. ( D u. { E } ) ) |
38 |
16
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) |
39 |
21 22 27 32 37 38
|
fprodsplit1f |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) |
40 |
|
difundir |
|- ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) |
41 |
40
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) ) |
42 |
|
difsn |
|- ( -. E e. D -> ( D \ { E } ) = D ) |
43 |
9 42
|
syl |
|- ( ph -> ( D \ { E } ) = D ) |
44 |
|
difid |
|- ( { E } \ { E } ) = (/) |
45 |
44
|
a1i |
|- ( ph -> ( { E } \ { E } ) = (/) ) |
46 |
43 45
|
uneq12d |
|- ( ph -> ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) = ( D u. (/) ) ) |
47 |
|
un0 |
|- ( D u. (/) ) = D |
48 |
47
|
a1i |
|- ( ph -> ( D u. (/) ) = D ) |
49 |
41 46 48
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = D ) |
50 |
49
|
prodeq1d |
|- ( ph -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A = prod_ i e. D A ) |
51 |
50
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) ) |
53 |
39 52
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. D A ) ) |
54 |
1 53
|
mpteq2da |
|- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) = ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) |
55 |
54
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) ) |
56 |
10 36
|
sseldd |
|- ( ph -> E e. I ) |
57 |
56
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. I ) |
58 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph ) |
59 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X ) |
60 |
58 57 59
|
3jca |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) |
61 |
|
nfcv |
|- F/_ i E |
62 |
|
nfv |
|- F/ i E e. I |
63 |
2 62 20
|
nf3an |
|- F/ i ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) |
64 |
|
nfcv |
|- F/_ i CC |
65 |
4 64
|
nfel |
|- F/ i F e. CC |
66 |
63 65
|
nfim |
|- F/ i ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) |
67 |
|
ancom |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) <-> ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) ) |
68 |
67
|
imbi1i |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) ) |
69 |
|
eqcom |
|- ( A = F <-> F = A ) |
70 |
69
|
imbi2i |
|- ( ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) ) |
71 |
68 70
|
bitri |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) ) |
72 |
38 71
|
mpbi |
|- ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) |
73 |
72
|
3adantr2 |
|- ( ( i = E /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A ) |
74 |
73
|
3adant2 |
|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A ) |
75 |
|
simp3 |
|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) |
76 |
|
eleq1 |
|- ( i = E -> ( i e. I <-> E e. I ) ) |
77 |
76
|
3anbi2d |
|- ( i = E -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) ) |
78 |
77
|
imbi1d |
|- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) ) |
79 |
78
|
biimpa |
|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) |
80 |
79
|
3adant3 |
|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) |
81 |
75 80
|
mpd |
|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC ) |
82 |
74 81
|
eqeltrd |
|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F e. CC ) |
83 |
82
|
3exp |
|- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) ) |
84 |
6
|
2a1i |
|- ( i = E -> ( ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) ) |
85 |
83 84
|
impbid |
|- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) ) |
86 |
61 66 85 6
|
vtoclgf |
|- ( E e. I -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) |
87 |
57 60 86
|
sylc |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> F e. CC ) |
88 |
58 7
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. Fin ) |
89 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> ph ) |
90 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( D u. { E } ) C_ I ) |
91 |
|
elun1 |
|- ( i e. D -> i e. ( D u. { E } ) ) |
92 |
91
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. ( D u. { E } ) ) |
93 |
90 92
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. I ) |
94 |
93
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> i e. I ) |
95 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> x e. X ) |
96 |
89 94 95 6
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> A e. CC ) |
97 |
21 88 96
|
fprodclf |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. D A e. CC ) |
98 |
|
nfv |
|- F/ j x e. X |
99 |
3 98
|
nfan |
|- F/ j ( ph /\ x e. X ) |
100 |
|
diffi |
|- ( D e. Fin -> ( D \ { j } ) e. Fin ) |
101 |
7 100
|
syl |
|- ( ph -> ( D \ { j } ) e. Fin ) |
102 |
101
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D \ { j } ) e. Fin ) |
103 |
|
eldifi |
|- ( i e. ( D \ { j } ) -> i e. D ) |
104 |
103
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> i e. D ) |
105 |
104 96
|
syldan |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC ) |
106 |
21 102 105
|
fprodclf |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC ) |
107 |
106
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC ) |
108 |
12 107
|
mulcld |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC ) |
109 |
99 88 108
|
fsumclf |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC ) |
110 |
1 11 87 14 15 97 109 13
|
dvmptmulf |
|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) ) |
111 |
|
nfcv |
|- F/_ j x. |
112 |
|
nfcv |
|- F/_ j prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A |
113 |
5 111 112
|
nfov |
|- F/_ j ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) |
114 |
58 8
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. _V ) |
115 |
58 9
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. E e. D ) |
116 |
|
diffi |
|- ( ( D u. { E } ) e. Fin -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin ) |
117 |
26 116
|
syl |
|- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin ) |
118 |
117
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin ) |
119 |
|
eldifi |
|- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) -> i e. ( D u. { E } ) ) |
120 |
119
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) ) |
121 |
120 32
|
syldan |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> A e. CC ) |
122 |
21 118 121
|
fprodclf |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC ) |
123 |
122
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC ) |
124 |
12 123
|
mulcld |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC ) |
125 |
|
sneq |
|- ( j = E -> { j } = { E } ) |
126 |
125
|
difeq2d |
|- ( j = E -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) |
127 |
126
|
prodeq1d |
|- ( j = E -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) |
128 |
17 127
|
oveq12d |
|- ( j = E -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) |
129 |
49 7
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin ) |
130 |
129
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin ) |
131 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ph ) |
132 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ( D u. { E } ) C_ I ) |
133 |
|
eldifi |
|- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) -> i e. ( D u. { E } ) ) |
134 |
133
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) ) |
135 |
132 134
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I ) |
136 |
135
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I ) |
137 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> x e. X ) |
138 |
131 136 137 6
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> A e. CC ) |
139 |
21 130 138
|
fprodclf |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A e. CC ) |
140 |
14 139
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) e. CC ) |
141 |
99 113 88 114 115 124 128 140
|
fsumsplitsn |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) ) |
142 |
|
difundir |
|- ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) |
143 |
142
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) ) |
144 |
|
nfv |
|- F/ x j e. D |
145 |
1 144
|
nfan |
|- F/ x ( ph /\ j e. D ) |
146 |
|
elsni |
|- ( x e. { E } -> x = E ) |
147 |
146
|
eqcomd |
|- ( x e. { E } -> E = x ) |
148 |
147
|
adantr |
|- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = x ) |
149 |
|
simpr |
|- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> x = j ) |
150 |
|
eqidd |
|- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> j = j ) |
151 |
148 149 150
|
3eqtrd |
|- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = j ) |
152 |
151
|
adantll |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E = j ) |
153 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> j e. D ) |
154 |
152 153
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E e. D ) |
155 |
9
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> -. E e. D ) |
156 |
154 155
|
pm2.65da |
|- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x = j ) |
157 |
|
velsn |
|- ( x e. { j } <-> x = j ) |
158 |
156 157
|
sylnibr |
|- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x e. { j } ) |
159 |
158
|
ex |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( x e. { E } -> -. x e. { j } ) ) |
160 |
145 159
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> A. x e. { E } -. x e. { j } ) |
161 |
|
disj |
|- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) <-> A. x e. { E } -. x e. { j } ) |
162 |
160 161
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } i^i { j } ) = (/) ) |
163 |
|
disjdif2 |
|- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) -> ( { E } \ { j } ) = { E } ) |
164 |
162 163
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } \ { j } ) = { E } ) |
165 |
164
|
uneq2d |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) ) |
166 |
143 165
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) ) |
167 |
166
|
prodeq1d |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A ) |
168 |
167
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A ) |
169 |
|
nfv |
|- F/ i j e. D |
170 |
21 169
|
nfan |
|- F/ i ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) |
171 |
102
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( D \ { j } ) e. Fin ) |
172 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ph ) |
173 |
172 8
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> E e. _V ) |
174 |
|
id |
|- ( -. E e. D -> -. E e. D ) |
175 |
174
|
intnanrd |
|- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) ) |
176 |
174 175
|
syl |
|- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) ) |
177 |
|
eldif |
|- ( E e. ( D \ { j } ) <-> ( E e. D /\ -. E e. { j } ) ) |
178 |
176 177
|
sylnibr |
|- ( -. E e. D -> -. E e. ( D \ { j } ) ) |
179 |
9 178
|
syl |
|- ( ph -> -. E e. ( D \ { j } ) ) |
180 |
172 179
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> -. E e. ( D \ { j } ) ) |
181 |
105
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC ) |
182 |
87
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> F e. CC ) |
183 |
170 4 171 173 180 181 16 182
|
fprodsplitsn |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) |
184 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) |
185 |
168 183 184
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) |
186 |
185
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) ) |
187 |
12 107 182
|
mulassd |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) ) |
188 |
187
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) |
189 |
186 188
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) |
190 |
189
|
ex |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( j e. D -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) |
191 |
99 190
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) |
192 |
191
|
sumeq2d |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) |
193 |
99 88 87 108
|
fsummulc1f |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) |
194 |
193
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) |
195 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) |
196 |
192 194 195
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) |
197 |
109 87
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) e. CC ) |
198 |
196 197
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC ) |
199 |
198 140
|
addcomd |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) ) |
200 |
50
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) ) |
201 |
200
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) ) |
202 |
201 196
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) |
203 |
141 199 202
|
3eqtrrd |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) = sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) |
204 |
1 203
|
mpteq2da |
|- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) ) |
205 |
55 110 204
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) ) |