Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ovex |
|- ( J |`t A ) e. _V |
2 |
|
elfi2 |
|- ( ( J |`t A ) e. _V -> ( x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) <-> E. y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) ) |
3 |
1 2
|
ax-mp |
|- ( x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) <-> E. y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) |
4 |
|
eldifi |
|- ( y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) ) |
6 |
5
|
elin2d |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. Fin ) |
7 |
|
elfpw |
|- ( y e. ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) <-> ( y C_ ( J |`t A ) /\ y e. Fin ) ) |
8 |
7
|
simplbi |
|- ( y e. ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) -> y C_ ( J |`t A ) ) |
9 |
5 8
|
syl |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y C_ ( J |`t A ) ) |
10 |
9
|
sseld |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. y -> z e. ( J |`t A ) ) ) |
11 |
|
elrest |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J |`t A ) <-> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. ( J |`t A ) <-> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) ) |
13 |
10 12
|
sylibd |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. y -> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) ) |
14 |
13
|
ralrimiv |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. y E. y e. J z = ( y i^i A ) ) |
15 |
|
ineq1 |
|- ( y = ( f ` z ) -> ( y i^i A ) = ( ( f ` z ) i^i A ) ) |
16 |
15
|
eqeq2d |
|- ( y = ( f ` z ) -> ( z = ( y i^i A ) <-> z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) ) |
17 |
16
|
ac6sfi |
|- ( ( y e. Fin /\ A. z e. y E. y e. J z = ( y i^i A ) ) -> E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) ) |
18 |
6 14 17
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) ) |
19 |
|
eldifsni |
|- ( y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) ) |
20 |
19
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> y =/= (/) ) |
21 |
|
iinin1 |
|- ( y =/= (/) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) = ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) = ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) ) |
23 |
|
fvex |
|- ( fi ` J ) e. _V |
24 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> A e. _V ) |
25 |
|
ffn |
|- ( f : y --> J -> f Fn y ) |
26 |
25
|
adantl |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> f Fn y ) |
27 |
|
fniinfv |
|- ( f Fn y -> |^|_ z e. y ( f ` z ) = |^| ran f ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( f ` z ) = |^| ran f ) |
29 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> J e. _V ) |
30 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> f : y --> J ) |
31 |
6
|
adantr |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> y e. Fin ) |
32 |
|
intrnfi |
|- ( ( J e. _V /\ ( f : y --> J /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^| ran f e. ( fi ` J ) ) |
33 |
29 30 20 31 32
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^| ran f e. ( fi ` J ) ) |
34 |
28 33
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( f ` z ) e. ( fi ` J ) ) |
35 |
|
elrestr |
|- ( ( ( fi ` J ) e. _V /\ A e. _V /\ |^|_ z e. y ( f ` z ) e. ( fi ` J ) ) -> ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) |
36 |
23 24 34 35
|
mp3an2i |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) |
37 |
22 36
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) |
38 |
|
intiin |
|- |^| y = |^|_ z e. y z |
39 |
|
iineq2 |
|- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^|_ z e. y z = |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) ) |
40 |
38 39
|
eqtrid |
|- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^| y = |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) ) |
41 |
40
|
eleq1d |
|- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> ( |^| y e. ( ( fi ` J ) |`t A ) <-> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
42 |
37 41
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
43 |
42
|
expimpd |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
44 |
43
|
exlimdv |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
45 |
18 44
|
mpd |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) |
46 |
|
eleq1 |
|- ( x = |^| y -> ( x e. ( ( fi ` J ) |`t A ) <-> |^| y e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
47 |
45 46
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x = |^| y -> x e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
48 |
47
|
rexlimdva |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. y e. ( ( ~P ( J |`t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y -> x e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
49 |
3 48
|
syl5bi |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) -> x e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
50 |
|
simpr |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> A e. _V ) |
51 |
|
elrest |
|- ( ( ( fi ` J ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) |`t A ) <-> E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) ) ) |
52 |
23 50 51
|
sylancr |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) |`t A ) <-> E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) ) ) |
53 |
|
elfi2 |
|- ( J e. _V -> ( z e. ( fi ` J ) <-> E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) ) |
54 |
53
|
adantr |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( fi ` J ) <-> E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) ) |
55 |
|
eldifsni |
|- ( y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) ) |
56 |
55
|
adantl |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y =/= (/) ) |
57 |
|
iinin1 |
|- ( y =/= (/) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) ) |
58 |
56 57
|
syl |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) ) |
59 |
38
|
ineq1i |
|- ( |^| y i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) |
60 |
58 59
|
eqtr4di |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^| y i^i A ) ) |
61 |
|
ovexd |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( J |`t A ) e. _V ) |
62 |
|
eldifi |
|- ( y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P J i^i Fin ) ) |
63 |
62
|
adantl |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. ( ~P J i^i Fin ) ) |
64 |
|
elfpw |
|- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( y C_ J /\ y e. Fin ) ) |
65 |
64
|
simplbi |
|- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) -> y C_ J ) |
66 |
63 65
|
syl |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y C_ J ) |
67 |
|
elrestr |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V /\ z e. J ) -> ( z i^i A ) e. ( J |`t A ) ) |
68 |
67
|
3expa |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ z e. J ) -> ( z i^i A ) e. ( J |`t A ) ) |
69 |
68
|
ralrimiva |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J |`t A ) ) |
70 |
69
|
adantr |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J |`t A ) ) |
71 |
|
ssralv |
|- ( y C_ J -> ( A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J |`t A ) -> A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J |`t A ) ) ) |
72 |
66 70 71
|
sylc |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J |`t A ) ) |
73 |
63
|
elin2d |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. Fin ) |
74 |
|
iinfi |
|- ( ( ( J |`t A ) e. _V /\ ( A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J |`t A ) /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) |
75 |
61 72 56 73 74
|
syl13anc |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) |
76 |
60 75
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( |^| y i^i A ) e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) |
77 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( |^| y i^i A ) -> ( x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) <-> ( |^| y i^i A ) e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) ) |
78 |
76 77
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x = ( |^| y i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) ) |
79 |
|
ineq1 |
|- ( z = |^| y -> ( z i^i A ) = ( |^| y i^i A ) ) |
80 |
79
|
eqeq2d |
|- ( z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) <-> x = ( |^| y i^i A ) ) ) |
81 |
80
|
imbi1d |
|- ( z = |^| y -> ( ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) <-> ( x = ( |^| y i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) ) ) |
82 |
78 81
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
rexlimdva |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) ) ) |
84 |
54 83
|
sylbid |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( fi ` J ) -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) ) ) |
85 |
84
|
rexlimdv |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) ) |
86 |
52 85
|
sylbid |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) |`t A ) -> x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) ) ) |
87 |
49 86
|
impbid |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( fi ` ( J |`t A ) ) <-> x e. ( ( fi ` J ) |`t A ) ) ) |
88 |
87
|
eqrdv |
|- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J |`t A ) ) = ( ( fi ` J ) |`t A ) ) |
89 |
|
fi0 |
|- ( fi ` (/) ) = (/) |
90 |
|
relxp |
|- Rel ( _V X. _V ) |
91 |
|
restfn |
|- |`t Fn ( _V X. _V ) |
92 |
91
|
fndmi |
|- dom |`t = ( _V X. _V ) |
93 |
92
|
releqi |
|- ( Rel dom |`t <-> Rel ( _V X. _V ) ) |
94 |
90 93
|
mpbir |
|- Rel dom |`t |
95 |
94
|
ovprc |
|- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( J |`t A ) = (/) ) |
96 |
95
|
fveq2d |
|- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J |`t A ) ) = ( fi ` (/) ) ) |
97 |
|
ianor |
|- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) <-> ( -. J e. _V \/ -. A e. _V ) ) |
98 |
|
fvprc |
|- ( -. J e. _V -> ( fi ` J ) = (/) ) |
99 |
98
|
oveq1d |
|- ( -. J e. _V -> ( ( fi ` J ) |`t A ) = ( (/) |`t A ) ) |
100 |
|
0rest |
|- ( (/) |`t A ) = (/) |
101 |
99 100
|
eqtrdi |
|- ( -. J e. _V -> ( ( fi ` J ) |`t A ) = (/) ) |
102 |
94
|
ovprc2 |
|- ( -. A e. _V -> ( ( fi ` J ) |`t A ) = (/) ) |
103 |
101 102
|
jaoi |
|- ( ( -. J e. _V \/ -. A e. _V ) -> ( ( fi ` J ) |`t A ) = (/) ) |
104 |
97 103
|
sylbi |
|- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( fi ` J ) |`t A ) = (/) ) |
105 |
89 96 104
|
3eqtr4a |
|- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J |`t A ) ) = ( ( fi ` J ) |`t A ) ) |
106 |
88 105
|
pm2.61i |
|- ( fi ` ( J |`t A ) ) = ( ( fi ` J ) |`t A ) |