Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
funfn |
|- ( Fun F <-> F Fn dom F ) |
2 |
|
hashfn |
|- ( F Fn dom F -> ( # ` F ) = ( # ` dom F ) ) |
3 |
1 2
|
sylbi |
|- ( Fun F -> ( # ` F ) = ( # ` dom F ) ) |
4 |
|
dmfi |
|- ( F e. Fin -> dom F e. Fin ) |
5 |
|
hashcl |
|- ( dom F e. Fin -> ( # ` dom F ) e. NN0 ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom F ) e. NN0 ) |
7 |
6
|
nn0red |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom F ) e. RR ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ -. Rel F ) -> ( # ` dom F ) e. RR ) |
9 |
|
df-rel |
|- ( Rel F <-> F C_ ( _V X. _V ) ) |
10 |
|
dfss3 |
|- ( F C_ ( _V X. _V ) <-> A. x e. F x e. ( _V X. _V ) ) |
11 |
9 10
|
bitri |
|- ( Rel F <-> A. x e. F x e. ( _V X. _V ) ) |
12 |
11
|
notbii |
|- ( -. Rel F <-> -. A. x e. F x e. ( _V X. _V ) ) |
13 |
|
rexnal |
|- ( E. x e. F -. x e. ( _V X. _V ) <-> -. A. x e. F x e. ( _V X. _V ) ) |
14 |
12 13
|
bitr4i |
|- ( -. Rel F <-> E. x e. F -. x e. ( _V X. _V ) ) |
15 |
|
dmun |
|- dom ( ( F \ { x } ) u. { x } ) = ( dom ( F \ { x } ) u. dom { x } ) |
16 |
15
|
fveq2i |
|- ( # ` dom ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( # ` ( dom ( F \ { x } ) u. dom { x } ) ) |
17 |
|
dmsnn0 |
|- ( x e. ( _V X. _V ) <-> dom { x } =/= (/) ) |
18 |
17
|
biimpri |
|- ( dom { x } =/= (/) -> x e. ( _V X. _V ) ) |
19 |
18
|
necon1bi |
|- ( -. x e. ( _V X. _V ) -> dom { x } = (/) ) |
20 |
19
|
3ad2ant3 |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> dom { x } = (/) ) |
21 |
20
|
uneq2d |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( dom ( F \ { x } ) u. dom { x } ) = ( dom ( F \ { x } ) u. (/) ) ) |
22 |
|
un0 |
|- ( dom ( F \ { x } ) u. (/) ) = dom ( F \ { x } ) |
23 |
21 22
|
eqtrdi |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( dom ( F \ { x } ) u. dom { x } ) = dom ( F \ { x } ) ) |
24 |
23
|
fveq2d |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( # ` ( dom ( F \ { x } ) u. dom { x } ) ) = ( # ` dom ( F \ { x } ) ) ) |
25 |
16 24
|
eqtrid |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( # ` dom ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( # ` dom ( F \ { x } ) ) ) |
26 |
|
diffi |
|- ( F e. Fin -> ( F \ { x } ) e. Fin ) |
27 |
|
dmfi |
|- ( ( F \ { x } ) e. Fin -> dom ( F \ { x } ) e. Fin ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( F e. Fin -> dom ( F \ { x } ) e. Fin ) |
29 |
|
hashcl |
|- ( dom ( F \ { x } ) e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { x } ) ) e. NN0 ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { x } ) ) e. NN0 ) |
31 |
30
|
nn0red |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { x } ) ) e. RR ) |
32 |
|
hashcl |
|- ( ( F \ { x } ) e. Fin -> ( # ` ( F \ { x } ) ) e. NN0 ) |
33 |
26 32
|
syl |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( F \ { x } ) ) e. NN0 ) |
34 |
33
|
nn0red |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( F \ { x } ) ) e. RR ) |
35 |
|
peano2re |
|- ( ( # ` ( F \ { x } ) ) e. RR -> ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) e. RR ) |
36 |
34 35
|
syl |
|- ( F e. Fin -> ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) e. RR ) |
37 |
|
fidomdm |
|- ( ( F \ { x } ) e. Fin -> dom ( F \ { x } ) ~<_ ( F \ { x } ) ) |
38 |
26 37
|
syl |
|- ( F e. Fin -> dom ( F \ { x } ) ~<_ ( F \ { x } ) ) |
39 |
|
hashdom |
|- ( ( dom ( F \ { x } ) e. Fin /\ ( F \ { x } ) e. Fin ) -> ( ( # ` dom ( F \ { x } ) ) <_ ( # ` ( F \ { x } ) ) <-> dom ( F \ { x } ) ~<_ ( F \ { x } ) ) ) |
40 |
28 26 39
|
syl2anc |
|- ( F e. Fin -> ( ( # ` dom ( F \ { x } ) ) <_ ( # ` ( F \ { x } ) ) <-> dom ( F \ { x } ) ~<_ ( F \ { x } ) ) ) |
41 |
38 40
|
mpbird |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { x } ) ) <_ ( # ` ( F \ { x } ) ) ) |
42 |
34
|
ltp1d |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( F \ { x } ) ) < ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) ) |
43 |
31 34 36 41 42
|
lelttrd |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { x } ) ) < ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) ) |
44 |
43
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( # ` dom ( F \ { x } ) ) < ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) ) |
45 |
25 44
|
eqbrtrd |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( # ` dom ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) < ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) ) |
46 |
|
snfi |
|- { x } e. Fin |
47 |
|
disjdifr |
|- ( ( F \ { x } ) i^i { x } ) = (/) |
48 |
|
hashun |
|- ( ( ( F \ { x } ) e. Fin /\ { x } e. Fin /\ ( ( F \ { x } ) i^i { x } ) = (/) ) -> ( # ` ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + ( # ` { x } ) ) ) |
49 |
46 47 48
|
mp3an23 |
|- ( ( F \ { x } ) e. Fin -> ( # ` ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + ( # ` { x } ) ) ) |
50 |
26 49
|
syl |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + ( # ` { x } ) ) ) |
51 |
|
hashsng |
|- ( x e. _V -> ( # ` { x } ) = 1 ) |
52 |
51
|
elv |
|- ( # ` { x } ) = 1 |
53 |
52
|
oveq2i |
|- ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + ( # ` { x } ) ) = ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) |
54 |
50 53
|
eqtr2di |
|- ( F e. Fin -> ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) = ( # ` ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) ) |
55 |
54
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( ( # ` ( F \ { x } ) ) + 1 ) = ( # ` ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) ) |
56 |
45 55
|
breqtrd |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( # ` dom ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) < ( # ` ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) ) |
57 |
|
difsnid |
|- ( x e. F -> ( ( F \ { x } ) u. { x } ) = F ) |
58 |
57
|
dmeqd |
|- ( x e. F -> dom ( ( F \ { x } ) u. { x } ) = dom F ) |
59 |
58
|
fveq2d |
|- ( x e. F -> ( # ` dom ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( # ` dom F ) ) |
60 |
59
|
3ad2ant2 |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( # ` dom ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( # ` dom F ) ) |
61 |
57
|
fveq2d |
|- ( x e. F -> ( # ` ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( # ` F ) ) |
62 |
61
|
3ad2ant2 |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( # ` ( ( F \ { x } ) u. { x } ) ) = ( # ` F ) ) |
63 |
56 60 62
|
3brtr3d |
|- ( ( F e. Fin /\ x e. F /\ -. x e. ( _V X. _V ) ) -> ( # ` dom F ) < ( # ` F ) ) |
64 |
63
|
rexlimdv3a |
|- ( F e. Fin -> ( E. x e. F -. x e. ( _V X. _V ) -> ( # ` dom F ) < ( # ` F ) ) ) |
65 |
14 64
|
syl5bi |
|- ( F e. Fin -> ( -. Rel F -> ( # ` dom F ) < ( # ` F ) ) ) |
66 |
65
|
imp |
|- ( ( F e. Fin /\ -. Rel F ) -> ( # ` dom F ) < ( # ` F ) ) |
67 |
8 66
|
gtned |
|- ( ( F e. Fin /\ -. Rel F ) -> ( # ` F ) =/= ( # ` dom F ) ) |
68 |
67
|
ex |
|- ( F e. Fin -> ( -. Rel F -> ( # ` F ) =/= ( # ` dom F ) ) ) |
69 |
68
|
necon4bd |
|- ( F e. Fin -> ( ( # ` F ) = ( # ` dom F ) -> Rel F ) ) |
70 |
69
|
imp |
|- ( ( F e. Fin /\ ( # ` F ) = ( # ` dom F ) ) -> Rel F ) |
71 |
|
2nalexn |
|- ( -. A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> E. x E. y -. A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
72 |
|
df-ne |
|- ( y =/= z <-> -. y = z ) |
73 |
72
|
anbi2i |
|- ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) <-> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ -. y = z ) ) |
74 |
|
annim |
|- ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ -. y = z ) <-> -. ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
75 |
73 74
|
bitri |
|- ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) <-> -. ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
76 |
75
|
exbii |
|- ( E. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) <-> E. z -. ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
77 |
|
exnal |
|- ( E. z -. ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> -. A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
78 |
76 77
|
bitr2i |
|- ( -. A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> E. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) |
79 |
78
|
2exbii |
|- ( E. x E. y -. A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> E. x E. y E. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) |
80 |
71 79
|
bitri |
|- ( -. A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> E. x E. y E. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) |
81 |
7
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` dom F ) e. RR ) |
82 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
83 |
|
diffi |
|- ( F e. Fin -> ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin ) |
84 |
|
dmfi |
|- ( ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin -> dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin ) |
85 |
83 84
|
syl |
|- ( F e. Fin -> dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin ) |
86 |
|
hashcl |
|- ( dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. NN0 ) |
87 |
85 86
|
syl |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. NN0 ) |
88 |
87
|
nn0red |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR ) |
89 |
88
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR ) |
90 |
|
readdcl |
|- ( ( 2 e. RR /\ ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR ) -> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) e. RR ) |
91 |
82 89 90
|
sylancr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) e. RR ) |
92 |
|
hashcl |
|- ( F e. Fin -> ( # ` F ) e. NN0 ) |
93 |
92
|
nn0red |
|- ( F e. Fin -> ( # ` F ) e. RR ) |
94 |
93
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` F ) e. RR ) |
95 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
96 |
|
readdcl |
|- ( ( 1 e. RR /\ ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR ) -> ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) e. RR ) |
97 |
95 88 96
|
sylancr |
|- ( F e. Fin -> ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) e. RR ) |
98 |
97
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) e. RR ) |
99 |
82 88 90
|
sylancr |
|- ( F e. Fin -> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) e. RR ) |
100 |
99
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) e. RR ) |
101 |
|
opex |
|- <. x , y >. e. _V |
102 |
|
opex |
|- <. x , z >. e. _V |
103 |
101 102
|
prss |
|- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) <-> { <. x , y >. , <. x , z >. } C_ F ) |
104 |
|
undif |
|- ( { <. x , y >. , <. x , z >. } C_ F <-> ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) = F ) |
105 |
103 104
|
sylbb |
|- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) = F ) |
106 |
105
|
dmeqd |
|- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> dom ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) = dom F ) |
107 |
|
dmun |
|- dom ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) = ( dom { <. x , y >. , <. x , z >. } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) |
108 |
106 107
|
eqtr3di |
|- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> dom F = ( dom { <. x , y >. , <. x , z >. } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) |
109 |
|
vex |
|- y e. _V |
110 |
|
vex |
|- z e. _V |
111 |
109 110
|
dmprop |
|- dom { <. x , y >. , <. x , z >. } = { x , x } |
112 |
|
dfsn2 |
|- { x } = { x , x } |
113 |
111 112
|
eqtr4i |
|- dom { <. x , y >. , <. x , z >. } = { x } |
114 |
113
|
uneq1i |
|- ( dom { <. x , y >. , <. x , z >. } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) = ( { x } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) |
115 |
108 114
|
eqtrdi |
|- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> dom F = ( { x } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) |
116 |
115
|
fveq2d |
|- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> ( # ` dom F ) = ( # ` ( { x } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
117 |
116
|
ad2antrl |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` dom F ) = ( # ` ( { x } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
118 |
|
hashun2 |
|- ( ( { x } e. Fin /\ dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin ) -> ( # ` ( { x } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( ( # ` { x } ) + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
119 |
46 85 118
|
sylancr |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( { x } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( ( # ` { x } ) + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
120 |
52
|
oveq1i |
|- ( ( # ` { x } ) + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) |
121 |
119 120
|
breqtrdi |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( { x } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
122 |
121
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` ( { x } u. dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
123 |
117 122
|
eqbrtrd |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` dom F ) <_ ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
124 |
|
1lt2 |
|- 1 < 2 |
125 |
|
ltadd1 |
|- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR ) -> ( 1 < 2 <-> ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) < ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) ) |
126 |
95 82 88 125
|
mp3an12i |
|- ( F e. Fin -> ( 1 < 2 <-> ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) < ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) ) |
127 |
124 126
|
mpbii |
|- ( F e. Fin -> ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) < ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
128 |
127
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( 1 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) < ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
129 |
81 98 100 123 128
|
lelttrd |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` dom F ) < ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
130 |
|
fidomdm |
|- ( ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin -> dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ~<_ ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) |
131 |
83 130
|
syl |
|- ( F e. Fin -> dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ~<_ ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) |
132 |
|
hashdom |
|- ( ( dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin /\ ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin ) -> ( ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <_ ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <-> dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ~<_ ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) |
133 |
85 83 132
|
syl2anc |
|- ( F e. Fin -> ( ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <_ ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <-> dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ~<_ ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) |
134 |
131 133
|
mpbird |
|- ( F e. Fin -> ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <_ ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) |
135 |
|
hashcl |
|- ( ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin -> ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. NN0 ) |
136 |
83 135
|
syl |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. NN0 ) |
137 |
136
|
nn0red |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR ) |
138 |
|
leadd2 |
|- ( ( ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR /\ ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <_ ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <-> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( 2 + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) ) |
139 |
82 138
|
mp3an3 |
|- ( ( ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR /\ ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) e. RR ) -> ( ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <_ ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <-> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( 2 + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) ) |
140 |
88 137 139
|
syl2anc |
|- ( F e. Fin -> ( ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <_ ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) <-> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( 2 + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) ) |
141 |
134 140
|
mpbid |
|- ( F e. Fin -> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( 2 + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
142 |
141
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( 2 + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
143 |
|
prfi |
|- { <. x , y >. , <. x , z >. } e. Fin |
144 |
|
disjdif |
|- ( { <. x , y >. , <. x , z >. } i^i ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) = (/) |
145 |
|
hashun |
|- ( ( { <. x , y >. , <. x , z >. } e. Fin /\ ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin /\ ( { <. x , y >. , <. x , z >. } i^i ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) = (/) ) -> ( # ` ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
146 |
143 144 145
|
mp3an13 |
|- ( ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) e. Fin -> ( # ` ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
147 |
83 146
|
syl |
|- ( F e. Fin -> ( # ` ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
148 |
147
|
adantr |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
149 |
105
|
fveq2d |
|- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> ( # ` ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( # ` F ) ) |
150 |
149
|
ad2antrl |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` ( { <. x , y >. , <. x , z >. } u. ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( # ` F ) ) |
151 |
|
vex |
|- x e. _V |
152 |
151 109
|
opth |
|- ( <. x , y >. = <. x , z >. <-> ( x = x /\ y = z ) ) |
153 |
152
|
simprbi |
|- ( <. x , y >. = <. x , z >. -> y = z ) |
154 |
153
|
necon3i |
|- ( y =/= z -> <. x , y >. =/= <. x , z >. ) |
155 |
|
hashprg |
|- ( ( <. x , y >. e. _V /\ <. x , z >. e. _V ) -> ( <. x , y >. =/= <. x , z >. <-> ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) = 2 ) ) |
156 |
101 102 155
|
mp2an |
|- ( <. x , y >. =/= <. x , z >. <-> ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) = 2 ) |
157 |
154 156
|
sylib |
|- ( y =/= z -> ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) = 2 ) |
158 |
157
|
oveq1d |
|- ( y =/= z -> ( ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( 2 + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
159 |
158
|
ad2antll |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( ( # ` { <. x , y >. , <. x , z >. } ) + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( 2 + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) ) |
160 |
148 150 159
|
3eqtr3rd |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( 2 + ( # ` ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) = ( # ` F ) ) |
161 |
142 160
|
breqtrd |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( 2 + ( # ` dom ( F \ { <. x , y >. , <. x , z >. } ) ) ) <_ ( # ` F ) ) |
162 |
81 91 94 129 161
|
ltletrd |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` dom F ) < ( # ` F ) ) |
163 |
81 162
|
gtned |
|- ( ( F e. Fin /\ ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) ) -> ( # ` F ) =/= ( # ` dom F ) ) |
164 |
163
|
ex |
|- ( F e. Fin -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) -> ( # ` F ) =/= ( # ` dom F ) ) ) |
165 |
164
|
exlimdv |
|- ( F e. Fin -> ( E. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) -> ( # ` F ) =/= ( # ` dom F ) ) ) |
166 |
165
|
exlimdvv |
|- ( F e. Fin -> ( E. x E. y E. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) /\ y =/= z ) -> ( # ` F ) =/= ( # ` dom F ) ) ) |
167 |
80 166
|
syl5bi |
|- ( F e. Fin -> ( -. A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) -> ( # ` F ) =/= ( # ` dom F ) ) ) |
168 |
167
|
necon4bd |
|- ( F e. Fin -> ( ( # ` F ) = ( # ` dom F ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) ) |
169 |
168
|
imp |
|- ( ( F e. Fin /\ ( # ` F ) = ( # ` dom F ) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
170 |
|
dffun4 |
|- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) ) |
171 |
70 169 170
|
sylanbrc |
|- ( ( F e. Fin /\ ( # ` F ) = ( # ` dom F ) ) -> Fun F ) |
172 |
171
|
ex |
|- ( F e. Fin -> ( ( # ` F ) = ( # ` dom F ) -> Fun F ) ) |
173 |
3 172
|
impbid2 |
|- ( F e. Fin -> ( Fun F <-> ( # ` F ) = ( # ` dom F ) ) ) |