Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> M e. ( measures ` S ) ) |
2 |
|
rabid |
|- ( x e. { x e. A | B e. { (/) } } <-> ( x e. A /\ B e. { (/) } ) ) |
3 |
2
|
simprbi |
|- ( x e. { x e. A | B e. { (/) } } -> B e. { (/) } ) |
4 |
3
|
adantl |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> B e. { (/) } ) |
5 |
4
|
ralrimiva |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. { (/) } ) |
6 |
5
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. { (/) } ) |
7 |
|
ssrab2 |
|- { x e. A | B e. { (/) } } C_ A |
8 |
|
ssct |
|- ( ( { x e. A | B e. { (/) } } C_ A /\ A ~<_ _om ) -> { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ _om ) |
9 |
7 8
|
mpan |
|- ( A ~<_ _om -> { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ _om ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) -> { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ _om ) |
11 |
10
|
3ad2ant3 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ _om ) |
12 |
|
simp3r |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> Disj_ x e. A B ) |
13 |
|
nfrab1 |
|- F/_ x { x e. A | B e. { (/) } } |
14 |
|
nfcv |
|- F/_ x A |
15 |
13 14
|
disjss1f |
|- ( { x e. A | B e. { (/) } } C_ A -> ( Disj_ x e. A B -> Disj_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) ) |
16 |
7 12 15
|
mpsyl |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> Disj_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) |
17 |
13
|
measvunilem0 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. { (/) } /\ ( { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ _om /\ Disj_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) ) -> ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) = sum* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) ) |
18 |
1 6 11 16 17
|
syl112anc |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) = sum* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) ) |
19 |
|
rabid |
|- ( x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } <-> ( x e. A /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) ) |
20 |
19
|
simprbi |
|- ( x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } -> B e. ( S \ { (/) } ) ) |
21 |
20
|
adantl |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> B e. ( S \ { (/) } ) ) |
22 |
21
|
ralrimiva |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. ( S \ { (/) } ) ) |
23 |
22
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. ( S \ { (/) } ) ) |
24 |
|
ssrab2 |
|- { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } C_ A |
25 |
|
ssct |
|- ( ( { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } C_ A /\ A ~<_ _om ) -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ _om ) |
26 |
24 25
|
mpan |
|- ( A ~<_ _om -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ _om ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ _om ) |
28 |
27
|
3ad2ant3 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ _om ) |
29 |
|
nfrab1 |
|- F/_ x { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } |
30 |
29 14
|
disjss1f |
|- ( { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } C_ A -> ( Disj_ x e. A B -> Disj_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) |
31 |
24 12 30
|
mpsyl |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> Disj_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) |
32 |
29
|
measvunilem |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ _om /\ Disj_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) -> ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = sum* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) ) |
33 |
1 23 28 31 32
|
syl112anc |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = sum* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) ) |
34 |
18 33
|
oveq12d |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) +e ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) = ( sum* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) +e sum* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) ) ) |
35 |
|
nfv |
|- F/ x M e. ( measures ` S ) |
36 |
|
nfra1 |
|- F/ x A. x e. A B e. S |
37 |
|
nfv |
|- F/ x A ~<_ _om |
38 |
|
nfdisj1 |
|- F/ x Disj_ x e. A B |
39 |
37 38
|
nfan |
|- F/ x ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) |
40 |
35 36 39
|
nf3an |
|- F/ x ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) |
41 |
13 29
|
nfun |
|- F/_ x ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) |
42 |
|
simp2 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> A. x e. A B e. S ) |
43 |
|
rabid2 |
|- ( A = { x e. A | B e. S } <-> A. x e. A B e. S ) |
44 |
42 43
|
sylibr |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> A = { x e. A | B e. S } ) |
45 |
|
elun |
|- ( B e. ( { (/) } u. ( S \ { (/) } ) ) <-> ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) ) |
46 |
|
measbase |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> S e. U. ran sigAlgebra ) |
47 |
|
0elsiga |
|- ( S e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. S ) |
48 |
|
snssi |
|- ( (/) e. S -> { (/) } C_ S ) |
49 |
46 47 48
|
3syl |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> { (/) } C_ S ) |
50 |
|
undif |
|- ( { (/) } C_ S <-> ( { (/) } u. ( S \ { (/) } ) ) = S ) |
51 |
49 50
|
sylib |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> ( { (/) } u. ( S \ { (/) } ) ) = S ) |
52 |
51
|
eleq2d |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> ( B e. ( { (/) } u. ( S \ { (/) } ) ) <-> B e. S ) ) |
53 |
45 52
|
bitr3id |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> ( ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) <-> B e. S ) ) |
54 |
53
|
rabbidv |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> { x e. A | ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) } = { x e. A | B e. S } ) |
55 |
54
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> { x e. A | ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) } = { x e. A | B e. S } ) |
56 |
44 55
|
eqtr4d |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> A = { x e. A | ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) } ) |
57 |
|
unrab |
|- ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) = { x e. A | ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) } |
58 |
56 57
|
eqtr4di |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> A = ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) ) |
59 |
|
eqidd |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> B = B ) |
60 |
40 14 41 58 59
|
iuneq12df |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> U_ x e. A B = U_ x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) B ) |
61 |
60
|
fveq2d |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = ( M ` U_ x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) B ) ) |
62 |
|
iunxun |
|- U_ x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) B = ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) |
63 |
62
|
fveq2i |
|- ( M ` U_ x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) B ) = ( M ` ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) |
64 |
61 63
|
eqtrdi |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = ( M ` ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) ) |
65 |
46
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> S e. U. ran sigAlgebra ) |
66 |
47
|
adantr |
|- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ B e. { (/) } ) -> (/) e. S ) |
67 |
|
elsni |
|- ( B e. { (/) } -> B = (/) ) |
68 |
67
|
eleq1d |
|- ( B e. { (/) } -> ( B e. S <-> (/) e. S ) ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ B e. { (/) } ) -> ( B e. S <-> (/) e. S ) ) |
70 |
66 69
|
mpbird |
|- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ B e. { (/) } ) -> B e. S ) |
71 |
46 3 70
|
syl2an |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> B e. S ) |
72 |
71
|
ralrimiva |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S ) |
73 |
72
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S ) |
74 |
13
|
sigaclcuni |
|- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S /\ { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ _om ) -> U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S ) |
75 |
65 73 11 74
|
syl3anc |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S ) |
76 |
21
|
eldifad |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> B e. S ) |
77 |
76
|
ralrimiva |
|- ( M e. ( measures ` S ) -> A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S ) |
78 |
77
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S ) |
79 |
29
|
sigaclcuni |
|- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S /\ { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ _om ) -> U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S ) |
80 |
65 78 28 79
|
syl3anc |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S ) |
81 |
3 67
|
syl |
|- ( x e. { x e. A | B e. { (/) } } -> B = (/) ) |
82 |
81
|
iuneq2i |
|- U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B = U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } (/) |
83 |
|
iun0 |
|- U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } (/) = (/) |
84 |
82 83
|
eqtri |
|- U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B = (/) |
85 |
|
ineq1 |
|- ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B = (/) -> ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = ( (/) i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) |
86 |
|
0in |
|- ( (/) i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = (/) |
87 |
85 86
|
eqtrdi |
|- ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B = (/) -> ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = (/) ) |
88 |
84 87
|
mp1i |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = (/) ) |
89 |
|
measun |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S /\ U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S ) /\ ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = (/) ) -> ( M ` ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) = ( ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) +e ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) ) |
90 |
1 75 80 88 89
|
syl121anc |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( M ` ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) = ( ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) +e ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) ) |
91 |
64 90
|
eqtrd |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = ( ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) +e ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) ) |
92 |
40 58
|
esumeq1d |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> sum* x e. A ( M ` B ) = sum* x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) ( M ` B ) ) |
93 |
|
ctex |
|- ( { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ _om -> { x e. A | B e. { (/) } } e. _V ) |
94 |
11 93
|
syl |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> { x e. A | B e. { (/) } } e. _V ) |
95 |
|
ctex |
|- ( { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ _om -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } e. _V ) |
96 |
28 95
|
syl |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } e. _V ) |
97 |
|
inrab |
|- ( { x e. A | B e. { (/) } } i^i { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) = { x e. A | ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) } |
98 |
|
noel |
|- -. B e. (/) |
99 |
|
disjdif |
|- ( { (/) } i^i ( S \ { (/) } ) ) = (/) |
100 |
99
|
eleq2i |
|- ( B e. ( { (/) } i^i ( S \ { (/) } ) ) <-> B e. (/) ) |
101 |
98 100
|
mtbir |
|- -. B e. ( { (/) } i^i ( S \ { (/) } ) ) |
102 |
|
elin |
|- ( B e. ( { (/) } i^i ( S \ { (/) } ) ) <-> ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) ) |
103 |
101 102
|
mtbi |
|- -. ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) |
104 |
103
|
rgenw |
|- A. x e. A -. ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) |
105 |
|
rabeq0 |
|- ( { x e. A | ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) } = (/) <-> A. x e. A -. ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) ) |
106 |
104 105
|
mpbir |
|- { x e. A | ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) } = (/) |
107 |
97 106
|
eqtri |
|- ( { x e. A | B e. { (/) } } i^i { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) = (/) |
108 |
107
|
a1i |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( { x e. A | B e. { (/) } } i^i { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) = (/) ) |
109 |
1
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> M e. ( measures ` S ) ) |
110 |
1 71
|
sylan |
|- ( ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> B e. S ) |
111 |
|
measvxrge0 |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ B e. S ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
112 |
109 110 111
|
syl2anc |
|- ( ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
113 |
1
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> M e. ( measures ` S ) ) |
114 |
20
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> B e. ( S \ { (/) } ) ) |
115 |
114
|
eldifad |
|- ( ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> B e. S ) |
116 |
113 115 111
|
syl2anc |
|- ( ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
117 |
40 13 29 94 96 108 112 116
|
esumsplit |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> sum* x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) ( M ` B ) = ( sum* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) +e sum* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) ) ) |
118 |
92 117
|
eqtrd |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> sum* x e. A ( M ` B ) = ( sum* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) +e sum* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) ) ) |
119 |
34 91 118
|
3eqtr4d |
|- ( ( M e. ( measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ _om /\ Disj_ x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = sum* x e. A ( M ` B ) ) |