Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mreexexlem2d.1 |
|- ( ph -> A e. ( Moore ` X ) ) |
2 |
|
mreexexlem2d.2 |
|- N = ( mrCls ` A ) |
3 |
|
mreexexlem2d.3 |
|- I = ( mrInd ` A ) |
4 |
|
mreexexlem2d.4 |
|- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) ) |
5 |
|
mreexexlem2d.5 |
|- ( ph -> F C_ ( X \ H ) ) |
6 |
|
mreexexlem2d.6 |
|- ( ph -> G C_ ( X \ H ) ) |
7 |
|
mreexexlem2d.7 |
|- ( ph -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) ) |
8 |
|
mreexexlem2d.8 |
|- ( ph -> ( F u. H ) e. I ) |
9 |
|
mreexexd.9 |
|- ( ph -> ( F e. Fin \/ G e. Fin ) ) |
10 |
1
|
elfvexd |
|- ( ph -> X e. _V ) |
11 |
|
exmid |
|- ( F e. Fin \/ -. F e. Fin ) |
12 |
|
ficardid |
|- ( F e. Fin -> ( card ` F ) ~~ F ) |
13 |
12
|
ensymd |
|- ( F e. Fin -> F ~~ ( card ` F ) ) |
14 |
|
iftrue |
|- ( F e. Fin -> if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) = ( card ` F ) ) |
15 |
13 14
|
breqtrrd |
|- ( F e. Fin -> F ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) |
16 |
15
|
a1i |
|- ( ph -> ( F e. Fin -> F ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) ) |
17 |
9
|
orcanai |
|- ( ( ph /\ -. F e. Fin ) -> G e. Fin ) |
18 |
|
ficardid |
|- ( G e. Fin -> ( card ` G ) ~~ G ) |
19 |
18
|
ensymd |
|- ( G e. Fin -> G ~~ ( card ` G ) ) |
20 |
17 19
|
syl |
|- ( ( ph /\ -. F e. Fin ) -> G ~~ ( card ` G ) ) |
21 |
|
iffalse |
|- ( -. F e. Fin -> if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) = ( card ` G ) ) |
22 |
21
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. F e. Fin ) -> if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) = ( card ` G ) ) |
23 |
20 22
|
breqtrrd |
|- ( ( ph /\ -. F e. Fin ) -> G ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) |
24 |
23
|
ex |
|- ( ph -> ( -. F e. Fin -> G ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) ) |
25 |
16 24
|
orim12d |
|- ( ph -> ( ( F e. Fin \/ -. F e. Fin ) -> ( F ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ G ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) ) ) |
26 |
11 25
|
mpi |
|- ( ph -> ( F ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ G ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) ) |
27 |
|
ficardom |
|- ( F e. Fin -> ( card ` F ) e. _om ) |
28 |
27
|
adantl |
|- ( ( ph /\ F e. Fin ) -> ( card ` F ) e. _om ) |
29 |
|
ficardom |
|- ( G e. Fin -> ( card ` G ) e. _om ) |
30 |
17 29
|
syl |
|- ( ( ph /\ -. F e. Fin ) -> ( card ` G ) e. _om ) |
31 |
28 30
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) e. _om ) |
32 |
|
breq2 |
|- ( l = (/) -> ( f ~~ l <-> f ~~ (/) ) ) |
33 |
|
breq2 |
|- ( l = (/) -> ( g ~~ l <-> g ~~ (/) ) ) |
34 |
32 33
|
orbi12d |
|- ( l = (/) -> ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) <-> ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) ) ) |
35 |
34
|
3anbi1d |
|- ( l = (/) -> ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) <-> ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) ) |
36 |
35
|
imbi1d |
|- ( l = (/) -> ( ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> ( ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
37 |
36
|
2ralbidv |
|- ( l = (/) -> ( A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
38 |
37
|
albidv |
|- ( l = (/) -> ( A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
39 |
38
|
imbi2d |
|- ( l = (/) -> ( ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) <-> ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) ) |
40 |
|
breq2 |
|- ( l = k -> ( f ~~ l <-> f ~~ k ) ) |
41 |
|
breq2 |
|- ( l = k -> ( g ~~ l <-> g ~~ k ) ) |
42 |
40 41
|
orbi12d |
|- ( l = k -> ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) <-> ( f ~~ k \/ g ~~ k ) ) ) |
43 |
42
|
3anbi1d |
|- ( l = k -> ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) <-> ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) ) |
44 |
43
|
imbi1d |
|- ( l = k -> ( ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
45 |
44
|
2ralbidv |
|- ( l = k -> ( A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
46 |
45
|
albidv |
|- ( l = k -> ( A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
47 |
46
|
imbi2d |
|- ( l = k -> ( ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) <-> ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) ) |
48 |
|
breq2 |
|- ( l = suc k -> ( f ~~ l <-> f ~~ suc k ) ) |
49 |
|
breq2 |
|- ( l = suc k -> ( g ~~ l <-> g ~~ suc k ) ) |
50 |
48 49
|
orbi12d |
|- ( l = suc k -> ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) <-> ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) ) ) |
51 |
50
|
3anbi1d |
|- ( l = suc k -> ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) <-> ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) ) |
52 |
51
|
imbi1d |
|- ( l = suc k -> ( ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
53 |
52
|
2ralbidv |
|- ( l = suc k -> ( A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
54 |
53
|
albidv |
|- ( l = suc k -> ( A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
55 |
54
|
imbi2d |
|- ( l = suc k -> ( ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) <-> ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) ) |
56 |
|
breq2 |
|- ( l = if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) -> ( f ~~ l <-> f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) ) |
57 |
|
breq2 |
|- ( l = if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) -> ( g ~~ l <-> g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) ) |
58 |
56 57
|
orbi12d |
|- ( l = if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) -> ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) <-> ( f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) ) ) |
59 |
58
|
3anbi1d |
|- ( l = if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) -> ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) <-> ( ( f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) ) |
60 |
59
|
imbi1d |
|- ( l = if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) -> ( ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> ( ( ( f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
61 |
60
|
2ralbidv |
|- ( l = if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) -> ( A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
62 |
61
|
albidv |
|- ( l = if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) -> ( A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) <-> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
63 |
62
|
imbi2d |
|- ( l = if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) -> ( ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ l \/ g ~~ l ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) <-> ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) ) |
64 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> A e. ( Moore ` X ) ) |
65 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) ) |
66 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> f e. ~P ( X \ h ) ) |
67 |
66
|
elpwid |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> f C_ ( X \ h ) ) |
68 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> g e. ~P ( X \ h ) ) |
69 |
68
|
elpwid |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> g C_ ( X \ h ) ) |
70 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> f C_ ( N ` ( g u. h ) ) ) |
71 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> ( f u. h ) e. I ) |
72 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) ) |
73 |
|
en0 |
|- ( f ~~ (/) <-> f = (/) ) |
74 |
|
en0 |
|- ( g ~~ (/) <-> g = (/) ) |
75 |
73 74
|
orbi12i |
|- ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) <-> ( f = (/) \/ g = (/) ) ) |
76 |
72 75
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> ( f = (/) \/ g = (/) ) ) |
77 |
64 2 3 65 67 69 70 71 76
|
mreexexlem3d |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) |
78 |
77
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) -> ( ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
79 |
78
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
80 |
79
|
alrimiv |
|- ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ (/) \/ g ~~ (/) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
81 |
|
nfv |
|- F/ h ph |
82 |
|
nfv |
|- F/ h k e. _om |
83 |
|
nfa1 |
|- F/ h A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) |
84 |
81 82 83
|
nf3an |
|- F/ h ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
85 |
|
nfv |
|- F/ f ph |
86 |
|
nfv |
|- F/ f k e. _om |
87 |
|
nfra1 |
|- F/ f A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) |
88 |
87
|
nfal |
|- F/ f A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) |
89 |
85 86 88
|
nf3an |
|- F/ f ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
90 |
|
nfv |
|- F/ g ph |
91 |
|
nfv |
|- F/ g k e. _om |
92 |
|
nfra2w |
|- F/ g A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) |
93 |
92
|
nfal |
|- F/ g A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) |
94 |
90 91 93
|
nf3an |
|- F/ g ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
95 |
|
nfv |
|- F/ g f e. ~P ( X \ h ) |
96 |
94 95
|
nfan |
|- F/ g ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ f e. ~P ( X \ h ) ) |
97 |
1
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) -> A e. ( Moore ` X ) ) |
98 |
97
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> A e. ( Moore ` X ) ) |
99 |
4
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) ) |
100 |
99
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) ) |
101 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> f e. ~P ( X \ h ) ) |
102 |
101
|
elpwid |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> f C_ ( X \ h ) ) |
103 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> g e. ~P ( X \ h ) ) |
104 |
103
|
elpwid |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> g C_ ( X \ h ) ) |
105 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> f C_ ( N ` ( g u. h ) ) ) |
106 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> ( f u. h ) e. I ) |
107 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> k e. _om ) |
108 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
109 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) ) |
110 |
98 2 3 100 102 104 105 106 107 108 109
|
mreexexlem4d |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) /\ ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) |
111 |
110
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ ( f e. ~P ( X \ h ) /\ g e. ~P ( X \ h ) ) ) -> ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
112 |
111
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ f e. ~P ( X \ h ) ) -> ( g e. ~P ( X \ h ) -> ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
113 |
96 112
|
ralrimi |
|- ( ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) /\ f e. ~P ( X \ h ) ) -> A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
114 |
113
|
ex |
|- ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) -> ( f e. ~P ( X \ h ) -> A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
115 |
89 114
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) -> A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
116 |
84 115
|
alrimi |
|- ( ( ph /\ k e. _om /\ A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
117 |
116
|
3exp |
|- ( ph -> ( k e. _om -> ( A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) ) |
118 |
117
|
com12 |
|- ( k e. _om -> ( ph -> ( A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) ) |
119 |
118
|
a2d |
|- ( k e. _om -> ( ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ k \/ g ~~ k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) -> ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ suc k \/ g ~~ suc k ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) ) |
120 |
39 47 55 63 80 119
|
finds |
|- ( if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) e. _om -> ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) ) |
121 |
31 120
|
mpcom |
|- ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) \/ g ~~ if ( F e. Fin , ( card ` F ) , ( card ` G ) ) ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. i e. ~P g ( f ~~ i /\ ( i u. h ) e. I ) ) ) |
122 |
10 5 6 7 8 26 121
|
mreexexlemd |
|- ( ph -> E. q e. ~P G ( F ~~ q /\ ( q u. H ) e. I ) ) |