Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mreexexlem2d.1 |
|- ( ph -> A e. ( Moore ` X ) ) |
2 |
|
mreexexlem2d.2 |
|- N = ( mrCls ` A ) |
3 |
|
mreexexlem2d.3 |
|- I = ( mrInd ` A ) |
4 |
|
mreexexlem2d.4 |
|- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) ) |
5 |
|
mreexexlem2d.5 |
|- ( ph -> F C_ ( X \ H ) ) |
6 |
|
mreexexlem2d.6 |
|- ( ph -> G C_ ( X \ H ) ) |
7 |
|
mreexexlem2d.7 |
|- ( ph -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) ) |
8 |
|
mreexexlem2d.8 |
|- ( ph -> ( F u. H ) e. I ) |
9 |
|
mreexexlem4d.9 |
|- ( ph -> L e. _om ) |
10 |
|
mreexexlem4d.A |
|- ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ L \/ g ~~ L ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. j e. ~P g ( f ~~ j /\ ( j u. h ) e. I ) ) ) |
11 |
|
mreexexlem4d.B |
|- ( ph -> ( F ~~ suc L \/ G ~~ suc L ) ) |
12 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ F = (/) ) -> A e. ( Moore ` X ) ) |
13 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ F = (/) ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) ) |
14 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ F = (/) ) -> F C_ ( X \ H ) ) |
15 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ F = (/) ) -> G C_ ( X \ H ) ) |
16 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ F = (/) ) -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) ) |
17 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ F = (/) ) -> ( F u. H ) e. I ) |
18 |
|
animorrl |
|- ( ( ph /\ F = (/) ) -> ( F = (/) \/ G = (/) ) ) |
19 |
12 2 3 13 14 15 16 17 18
|
mreexexlem3d |
|- ( ( ph /\ F = (/) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |
20 |
|
n0 |
|- ( F =/= (/) <-> E. r r e. F ) |
21 |
20
|
biimpi |
|- ( F =/= (/) -> E. r r e. F ) |
22 |
21
|
adantl |
|- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> E. r r e. F ) |
23 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> A e. ( Moore ` X ) ) |
24 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) ) |
25 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> F C_ ( X \ H ) ) |
26 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> G C_ ( X \ H ) ) |
27 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) ) |
28 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> ( F u. H ) e. I ) |
29 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> r e. F ) |
30 |
23 2 3 24 25 26 27 28 29
|
mreexexlem2d |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> E. q e. G ( -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) |
31 |
|
3anass |
|- ( ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) <-> ( q e. G /\ ( -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) |
32 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> A e. ( Moore ` X ) ) |
33 |
32
|
elfvexd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> X e. _V ) |
34 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> -. q e. ( F \ { r } ) ) |
35 |
|
difsnb |
|- ( -. q e. ( F \ { r } ) <-> ( ( F \ { r } ) \ { q } ) = ( F \ { r } ) ) |
36 |
34 35
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F \ { r } ) \ { q } ) = ( F \ { r } ) ) |
37 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> F C_ ( X \ H ) ) |
38 |
37
|
ssdifssd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F \ { r } ) C_ ( X \ H ) ) |
39 |
38
|
ssdifd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F \ { r } ) \ { q } ) C_ ( ( X \ H ) \ { q } ) ) |
40 |
36 39
|
eqsstrrd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F \ { r } ) C_ ( ( X \ H ) \ { q } ) ) |
41 |
|
difun1 |
|- ( X \ ( H u. { q } ) ) = ( ( X \ H ) \ { q } ) |
42 |
40 41
|
sseqtrrdi |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F \ { r } ) C_ ( X \ ( H u. { q } ) ) ) |
43 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> G C_ ( X \ H ) ) |
44 |
43
|
ssdifd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( G \ { q } ) C_ ( ( X \ H ) \ { q } ) ) |
45 |
44 41
|
sseqtrrdi |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( G \ { q } ) C_ ( X \ ( H u. { q } ) ) ) |
46 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) ) |
47 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> q e. G ) |
48 |
|
uncom |
|- ( H u. { q } ) = ( { q } u. H ) |
49 |
48
|
uneq2i |
|- ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) = ( ( G \ { q } ) u. ( { q } u. H ) ) |
50 |
|
unass |
|- ( ( ( G \ { q } ) u. { q } ) u. H ) = ( ( G \ { q } ) u. ( { q } u. H ) ) |
51 |
|
difsnid |
|- ( q e. G -> ( ( G \ { q } ) u. { q } ) = G ) |
52 |
51
|
uneq1d |
|- ( q e. G -> ( ( ( G \ { q } ) u. { q } ) u. H ) = ( G u. H ) ) |
53 |
50 52
|
eqtr3id |
|- ( q e. G -> ( ( G \ { q } ) u. ( { q } u. H ) ) = ( G u. H ) ) |
54 |
49 53
|
eqtrid |
|- ( q e. G -> ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) = ( G u. H ) ) |
55 |
47 54
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) = ( G u. H ) ) |
56 |
55
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( N ` ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) ) = ( N ` ( G u. H ) ) ) |
57 |
46 56
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> F C_ ( N ` ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) ) ) |
58 |
57
|
ssdifssd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F \ { r } ) C_ ( N ` ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) ) ) |
59 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) |
60 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F ~~ suc L \/ G ~~ suc L ) ) |
61 |
9
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> L e. _om ) |
62 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> r e. F ) |
63 |
|
3anan12 |
|- ( ( L e. _om /\ F ~~ suc L /\ r e. F ) <-> ( F ~~ suc L /\ ( L e. _om /\ r e. F ) ) ) |
64 |
|
dif1en |
|- ( ( L e. _om /\ F ~~ suc L /\ r e. F ) -> ( F \ { r } ) ~~ L ) |
65 |
63 64
|
sylbir |
|- ( ( F ~~ suc L /\ ( L e. _om /\ r e. F ) ) -> ( F \ { r } ) ~~ L ) |
66 |
65
|
expcom |
|- ( ( L e. _om /\ r e. F ) -> ( F ~~ suc L -> ( F \ { r } ) ~~ L ) ) |
67 |
61 62 66
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F ~~ suc L -> ( F \ { r } ) ~~ L ) ) |
68 |
|
3anan12 |
|- ( ( L e. _om /\ G ~~ suc L /\ q e. G ) <-> ( G ~~ suc L /\ ( L e. _om /\ q e. G ) ) ) |
69 |
|
dif1en |
|- ( ( L e. _om /\ G ~~ suc L /\ q e. G ) -> ( G \ { q } ) ~~ L ) |
70 |
68 69
|
sylbir |
|- ( ( G ~~ suc L /\ ( L e. _om /\ q e. G ) ) -> ( G \ { q } ) ~~ L ) |
71 |
70
|
expcom |
|- ( ( L e. _om /\ q e. G ) -> ( G ~~ suc L -> ( G \ { q } ) ~~ L ) ) |
72 |
61 47 71
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( G ~~ suc L -> ( G \ { q } ) ~~ L ) ) |
73 |
67 72
|
orim12d |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F ~~ suc L \/ G ~~ suc L ) -> ( ( F \ { r } ) ~~ L \/ ( G \ { q } ) ~~ L ) ) ) |
74 |
60 73
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F \ { r } ) ~~ L \/ ( G \ { q } ) ~~ L ) ) |
75 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ L \/ g ~~ L ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. j e. ~P g ( f ~~ j /\ ( j u. h ) e. I ) ) ) |
76 |
33 42 45 58 59 74 75
|
mreexexlemd |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> E. i e. ~P ( G \ { q } ) ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) |
77 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> X e. _V ) |
78 |
6
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> G C_ ( X \ H ) ) |
79 |
78
|
difss2d |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> G C_ X ) |
80 |
77 79
|
ssexd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> G e. _V ) |
81 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> i e. ~P ( G \ { q } ) ) |
82 |
81
|
elpwid |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> i C_ ( G \ { q } ) ) |
83 |
82
|
difss2d |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> i C_ G ) |
84 |
|
simplr1 |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> q e. G ) |
85 |
84
|
snssd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> { q } C_ G ) |
86 |
83 85
|
unssd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( i u. { q } ) C_ G ) |
87 |
80 86
|
sselpwd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( i u. { q } ) e. ~P G ) |
88 |
|
difsnid |
|- ( r e. F -> ( ( F \ { r } ) u. { r } ) = F ) |
89 |
88
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( F \ { r } ) u. { r } ) = F ) |
90 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( F \ { r } ) ~~ i ) |
91 |
|
en2sn |
|- ( ( r e. _V /\ q e. _V ) -> { r } ~~ { q } ) |
92 |
91
|
el2v |
|- { r } ~~ { q } |
93 |
92
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> { r } ~~ { q } ) |
94 |
|
disjdifr |
|- ( ( F \ { r } ) i^i { r } ) = (/) |
95 |
94
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( F \ { r } ) i^i { r } ) = (/) ) |
96 |
|
ssdifin0 |
|- ( i C_ ( G \ { q } ) -> ( i i^i { q } ) = (/) ) |
97 |
82 96
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( i i^i { q } ) = (/) ) |
98 |
|
unen |
|- ( ( ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ { r } ~~ { q } ) /\ ( ( ( F \ { r } ) i^i { r } ) = (/) /\ ( i i^i { q } ) = (/) ) ) -> ( ( F \ { r } ) u. { r } ) ~~ ( i u. { q } ) ) |
99 |
90 93 95 97 98
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( F \ { r } ) u. { r } ) ~~ ( i u. { q } ) ) |
100 |
89 99
|
eqbrtrrd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> F ~~ ( i u. { q } ) ) |
101 |
|
unass |
|- ( ( i u. { q } ) u. H ) = ( i u. ( { q } u. H ) ) |
102 |
|
uncom |
|- ( { q } u. H ) = ( H u. { q } ) |
103 |
102
|
uneq2i |
|- ( i u. ( { q } u. H ) ) = ( i u. ( H u. { q } ) ) |
104 |
101 103
|
eqtr2i |
|- ( i u. ( H u. { q } ) ) = ( ( i u. { q } ) u. H ) |
105 |
|
simprrr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) |
106 |
104 105
|
eqeltrrid |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( i u. { q } ) u. H ) e. I ) |
107 |
|
breq2 |
|- ( j = ( i u. { q } ) -> ( F ~~ j <-> F ~~ ( i u. { q } ) ) ) |
108 |
|
uneq1 |
|- ( j = ( i u. { q } ) -> ( j u. H ) = ( ( i u. { q } ) u. H ) ) |
109 |
108
|
eleq1d |
|- ( j = ( i u. { q } ) -> ( ( j u. H ) e. I <-> ( ( i u. { q } ) u. H ) e. I ) ) |
110 |
107 109
|
anbi12d |
|- ( j = ( i u. { q } ) -> ( ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) <-> ( F ~~ ( i u. { q } ) /\ ( ( i u. { q } ) u. H ) e. I ) ) ) |
111 |
110
|
rspcev |
|- ( ( ( i u. { q } ) e. ~P G /\ ( F ~~ ( i u. { q } ) /\ ( ( i u. { q } ) u. H ) e. I ) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |
112 |
87 100 106 111
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |
113 |
76 112
|
rexlimddv |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |
114 |
31 113
|
sylan2br |
|- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ ( -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |
115 |
30 114
|
rexlimddv |
|- ( ( ph /\ r e. F ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |
116 |
115
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ r e. F ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |
117 |
22 116
|
exlimddv |
|- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |
118 |
19 117
|
pm2.61dane |
|- ( ph -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) ) |