Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
o1of2.1 |
|- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR ) |
2 |
|
o1of2.2 |
|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC ) |
3 |
|
o1of2.3 |
|- ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) ) |
4 |
|
o1f |
|- ( F e. O(1) -> F : dom F --> CC ) |
5 |
|
o1bdd |
|- ( ( F e. O(1) /\ F : dom F --> CC ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) |
6 |
4 5
|
mpdan |
|- ( F e. O(1) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) |
7 |
6
|
adantr |
|- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) |
8 |
|
o1f |
|- ( G e. O(1) -> G : dom G --> CC ) |
9 |
|
o1bdd |
|- ( ( G e. O(1) /\ G : dom G --> CC ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) |
10 |
8 9
|
mpdan |
|- ( G e. O(1) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) |
11 |
10
|
adantl |
|- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) |
12 |
|
reeanv |
|- ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) ) |
13 |
|
reeanv |
|- ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) ) |
14 |
|
inss1 |
|- ( dom F i^i dom G ) C_ dom F |
15 |
|
ssralv |
|- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom F -> ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) ) |
16 |
14 15
|
ax-mp |
|- ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) |
17 |
|
inss2 |
|- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G |
18 |
|
ssralv |
|- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom G -> ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) ) |
19 |
17 18
|
ax-mp |
|- ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) |
20 |
16 19
|
anim12i |
|- ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) ) |
21 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) ) |
22 |
20 21
|
sylibr |
|- ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) ) |
23 |
|
anim12 |
|- ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) ) |
24 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> a e. RR ) |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> a e. RR ) |
26 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> b e. RR ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> b e. RR ) |
28 |
|
o1dm |
|- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR ) |
29 |
28
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F C_ RR ) |
30 |
14 29
|
sstrid |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) |
31 |
30
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> z e. RR ) |
32 |
|
maxle |
|- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ z e. RR ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) ) |
33 |
25 27 31 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) ) |
34 |
33
|
biimpd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) ) |
35 |
4
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F : dom F --> CC ) |
36 |
14
|
sseli |
|- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom F ) |
37 |
|
ffvelrn |
|- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC ) |
38 |
35 36 37
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` z ) e. CC ) |
39 |
8
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G : dom G --> CC ) |
40 |
17
|
sseli |
|- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom G ) |
41 |
|
ffvelrn |
|- ( ( G : dom G --> CC /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC ) |
42 |
39 40 41
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` z ) e. CC ) |
43 |
3
|
ralrimivva |
|- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) ) |
44 |
43
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) ) |
45 |
|
fveq2 |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( F ` z ) ) ) |
46 |
45
|
breq1d |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` x ) <_ m <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) |
47 |
46
|
anbi1d |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) ) ) |
48 |
|
fvoveq1 |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` ( x R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) ) |
49 |
48
|
breq1d |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( x R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) ) |
50 |
47 49
|
imbi12d |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) ) ) |
51 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( G ` z ) ) ) |
52 |
51
|
breq1d |
|- ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` y ) <_ n <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) |
53 |
52
|
anbi2d |
|- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) ) |
54 |
|
oveq2 |
|- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) R y ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) |
55 |
54
|
fveq2d |
|- ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) ) |
56 |
55
|
breq1d |
|- ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) |
57 |
53 56
|
imbi12d |
|- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) ) |
58 |
50 57
|
rspc2va |
|- ( ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) |
59 |
38 42 44 58
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) |
60 |
35
|
ffnd |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F Fn dom F ) |
61 |
39
|
ffnd |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G Fn dom G ) |
62 |
|
reex |
|- RR e. _V |
63 |
|
ssexg |
|- ( ( dom F C_ RR /\ RR e. _V ) -> dom F e. _V ) |
64 |
29 62 63
|
sylancl |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F e. _V ) |
65 |
|
dmexg |
|- ( G e. O(1) -> dom G e. _V ) |
66 |
65
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom G e. _V ) |
67 |
|
eqid |
|- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G ) |
68 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) ) |
69 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) ) |
70 |
60 61 64 66 67 68 69
|
ofval |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F oF R G ) ` z ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) |
71 |
70
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) ) |
72 |
71
|
breq1d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) |
73 |
59 72
|
sylibrd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) |
74 |
34 73
|
imim12d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) ) |
75 |
23 74
|
syl5 |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) ) |
76 |
75
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) ) |
77 |
2
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x R y ) e. CC ) |
78 |
77 35 39 64 66 67
|
off |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC ) |
79 |
26 24
|
ifcld |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR ) |
80 |
1
|
adantl |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> M e. RR ) |
81 |
|
elo12r |
|- ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) |
82 |
81
|
3expia |
|- ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) ) |
83 |
78 30 79 80 82
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) ) |
84 |
76 83
|
syld |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) ) |
85 |
22 84
|
syl5 |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) ) |
86 |
85
|
rexlimdvva |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) ) |
87 |
13 86
|
syl5bir |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) ) |
88 |
87
|
rexlimdvva |
|- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) ) |
89 |
12 88
|
syl5bir |
|- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) ) |
90 |
7 11 89
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mp2and |
|- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) |