Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihjat1.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
dihjat1.u |
⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
dihjat1.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 ) |
4 |
|
dihjat1.p |
⊢ ⊕ = ( LSSum ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
dihjat1.n |
⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 ) |
6 |
|
dihjat1.i |
⊢ 𝐼 = ( ( DIsoH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
dihjat1.j |
⊢ ∨ = ( ( joinH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
8 |
|
dihjat1.k |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
9 |
|
dihjat1.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼 ) |
10 |
|
dihjat1.o |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 ) |
11 |
|
dihjat1lem.q |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
12 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 } ) → 𝑋 = { 0 } ) |
13 |
12
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 } ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( { 0 } ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
14 |
12
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 } ) → ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( { 0 } ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
15 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
16 |
11 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
17 |
1 2 3 5 6
|
dihlsprn |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ran 𝐼 ) |
18 |
8 16 17
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ran 𝐼 ) |
19 |
1 2 10 6 7 8 18
|
djh02 |
⊢ ( 𝜑 → ( { 0 } ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
20 |
1 2 8
|
dvhlmod |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) = ( LSubSp ‘ 𝑈 ) |
22 |
3 21 5
|
lspsncl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
23 |
20 16 22
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
24 |
21
|
lsssubg |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ) |
25 |
20 23 24
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ) |
26 |
10 4
|
lsm02 |
⊢ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) → ( { 0 } ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( { 0 } ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
28 |
19 27
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( { 0 } ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( { 0 } ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 } ) → ( { 0 } ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( { 0 } ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
30 |
14 29
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 } ) → ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( { 0 } ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
31 |
13 30
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 } ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
32 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
33 |
1 2 6 3
|
dihrnss |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼 ) → 𝑋 ⊆ 𝑉 ) |
34 |
8 9 33
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉 ) |
35 |
3 21
|
lssss |
⊢ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ 𝑉 ) |
36 |
23 35
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ 𝑉 ) |
37 |
1 6 2 3 7
|
djhcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ 𝑉 ) ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ran 𝐼 ) |
38 |
8 34 36 37
|
syl12anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ran 𝐼 ) |
39 |
1 2 6 3
|
dihrnss |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ran 𝐼 ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ 𝑉 ) |
40 |
8 38 39
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ 𝑉 ) |
41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ 𝑉 ) |
42 |
1 2 6 21
|
dihrnlss |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼 ) → 𝑋 ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
43 |
8 9 42
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
44 |
21 4
|
lsmcl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) → ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
45 |
20 43 23 44
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
46 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) → ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
47 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → 𝑋 ≠ { 0 } ) |
48 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
49 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → 𝑋 ∈ ran 𝐼 ) |
50 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
51 |
11
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → 𝑇 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
52 |
1 2 3 10 5 6 7 48 49 50 51
|
djhcvat42 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑋 ≠ { 0 } ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
53 |
47 52
|
mpand |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
54 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ) |
55 |
20
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
56 |
43
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
57 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) → 𝑦 ∈ 𝑉 ) |
58 |
57
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑉 ) |
59 |
3 21 5 55 56 58
|
lspsnel5 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↔ ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ) ) |
60 |
54 59
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
61 |
16
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
62 |
3 5
|
lspsnid |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ) → 𝑇 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
63 |
55 61 62
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
64 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
65 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑧 = 𝑇 → { 𝑧 } = { 𝑇 } ) |
66 |
65
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑇 → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
67 |
66
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑇 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
68 |
67
|
sseq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑇 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ↔ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) |
69 |
68
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) |
70 |
63 64 69
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) |
71 |
60 70
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) |
72 |
71
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) ) |
73 |
72
|
reximdv2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) |
74 |
53 73
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) |
75 |
74
|
anim2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) ) |
76 |
1 2 6 21
|
dihrnlss |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ran 𝐼 ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
77 |
8 38 76
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
78 |
3 21 5 20 77
|
lspsnel6 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
79 |
78
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
80 |
3 21 4 5 20 43 23
|
lsmelval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) ) |
81 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
82 |
43
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑋 ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
83 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
84 |
3 21
|
lssel |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑦 ∈ 𝑉 ) |
85 |
82 83 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 ∈ 𝑉 ) |
86 |
23
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
87 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
88 |
3 21
|
lssel |
⊢ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 ) |
89 |
86 87 88
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 ) |
90 |
1 2 3 4 5 6 7 81 85 89
|
djhlsmat |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) |
91 |
90
|
sseq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ↔ ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) |
92 |
91
|
rexbidva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) |
93 |
92
|
rexbidva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) |
94 |
93
|
anbi2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) ) |
95 |
80 94
|
bitrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) ) |
96 |
95
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ( 𝑁 ‘ { 𝑥 } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑦 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) ) ) ) |
97 |
75 79 96
|
3imtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) |
98 |
10 21 32 41 46 97
|
lssssr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
99 |
1 2 3 4 7 8 34 36
|
djhsumss |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
100 |
99
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) → ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
101 |
98 100
|
eqssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 } ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
102 |
31 101
|
pm2.61dane |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) = ( 𝑋 ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |