Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hauspwpwf1.x |
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 |
2 |
|
hauspwpwf1.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ↦ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) |
3 |
|
inss2 |
⊢ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ⊆ 𝐴 |
4 |
|
vex |
⊢ 𝑗 ∈ V |
5 |
4
|
inex1 |
⊢ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ∈ V |
6 |
5
|
elpw |
⊢ ( ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ⊆ 𝐴 ) |
7 |
3 6
|
mpbir |
⊢ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ∈ 𝒫 𝐴 |
8 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) → ( 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ∈ 𝒫 𝐴 ) ) |
9 |
7 8
|
mpbiri |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ) |
10 |
9
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ) |
11 |
10
|
rexlimivw |
⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ) |
12 |
11
|
abssi |
⊢ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ⊆ 𝒫 𝐴 |
13 |
|
haustop |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top ) |
14 |
1
|
topopn |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
16 |
|
ssexg |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ) → 𝐴 ∈ V ) |
17 |
15 16
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ Haus ) → 𝐴 ∈ V ) |
18 |
17
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ V ) |
19 |
|
pwexg |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V ) |
20 |
|
elpw2g |
⊢ ( 𝒫 𝐴 ∈ V → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ⊆ 𝒫 𝐴 ) ) |
21 |
18 19 20
|
3syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ⊆ 𝒫 𝐴 ) ) |
22 |
12 21
|
mpbiri |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ) |
23 |
22
|
a1d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ) ) |
24 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → 𝐽 ∈ Haus ) |
25 |
1
|
clsss3 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ 𝑋 ) |
26 |
13 25
|
sylan |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ 𝑋 ) |
27 |
26
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ 𝑋 ) |
28 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
29 |
27 28
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
30 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
31 |
27 30
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
32 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → 𝑥 ≠ 𝑦 ) |
33 |
1
|
hausnei |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ 𝐽 ∃ 𝑙 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) |
34 |
24 29 31 32 33
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → ∃ 𝑘 ∈ 𝐽 ∃ 𝑙 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) |
35 |
|
simprll |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) → 𝑘 ∈ 𝐽 ) |
36 |
|
simprr1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑘 ) |
37 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) → ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) |
38 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑥 ∈ 𝑗 ↔ 𝑥 ∈ 𝑘 ) ) |
39 |
|
ineq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) |
40 |
39
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ↔ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) ) |
41 |
38 40
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
42 |
41
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
43 |
35 36 37 42
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
44 |
|
vex |
⊢ 𝑘 ∈ V |
45 |
44
|
inex1 |
⊢ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ∈ V |
46 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) → ( 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ↔ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
47 |
46
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
48 |
47
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
49 |
45 48
|
elab |
⊢ ( ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ↔ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
50 |
43 49
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) → ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) |
51 |
13
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
52 |
51
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
53 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ⊆ 𝑋 ) |
54 |
53
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → 𝐴 ⊆ 𝑋 ) |
55 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
56 |
55
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
57 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) → 𝑙 ∈ 𝐽 ) |
58 |
57
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ 𝐽 ) |
59 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ 𝐽 ) |
60 |
|
inopn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∈ 𝐽 ) |
61 |
52 58 59 60
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∈ 𝐽 ) |
62 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) → 𝑦 ∈ 𝑙 ) |
63 |
62
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑙 ) |
64 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑗 ) |
65 |
63 64
|
elind |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ) |
66 |
1
|
clsndisj |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ) ) → ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
67 |
52 54 56 61 65 66
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
68 |
|
n0 |
⊢ ( ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑧 𝑧 ∈ ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) ) |
69 |
67 68
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 𝑧 ∈ ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) ) |
70 |
|
elin |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
71 |
|
elin |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ) |
72 |
71
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
73 |
70 72
|
bitri |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
74 |
|
elin |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑗 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
75 |
74
|
biimpri |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑗 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) |
76 |
75
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) |
77 |
76
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) |
78 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ 𝑙 ) |
79 |
78
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑙 ) |
80 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) → ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) |
81 |
80
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) |
82 |
|
minel |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑘 ) |
83 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ 𝑘 ) |
84 |
82 83
|
nsyl |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) |
85 |
79 81 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) |
86 |
|
nelneq2 |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) → ¬ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) |
87 |
77 85 86
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) ) → ¬ ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ) |
88 |
|
eqcom |
⊢ ( ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ↔ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) |
89 |
87 88
|
sylnib |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) ) → ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) |
90 |
89
|
expr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑙 ∧ 𝑧 ∈ 𝑗 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
91 |
73 90
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) → ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
92 |
91
|
exlimdv |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → ( ∃ 𝑧 𝑧 ∈ ( ( 𝑙 ∩ 𝑗 ) ∩ 𝐴 ) → ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
93 |
69 92
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) → ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) |
94 |
93
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) → ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) |
95 |
|
nan |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ¬ ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑗 ) → ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
96 |
94 95
|
mpbir |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ¬ ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
97 |
96
|
nrexdv |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) → ¬ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
98 |
46
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
99 |
98
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
100 |
45 99
|
elab |
⊢ ( ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ↔ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) |
101 |
97 100
|
sylnibr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) → ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) |
102 |
|
nelne1 |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ∧ ¬ ( 𝑘 ∩ 𝐴 ) ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ≠ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) |
103 |
50 101 102
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) ) ) → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ≠ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) |
104 |
103
|
expr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐽 ∧ 𝑙 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ≠ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) ) |
105 |
104
|
rexlimdvva |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝐽 ∃ 𝑙 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑘 ∧ 𝑦 ∈ 𝑙 ∧ ( 𝑘 ∩ 𝑙 ) = ∅ ) → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ≠ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) ) |
106 |
34 105
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ≠ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) |
107 |
106
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 ≠ 𝑦 → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ≠ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) ) |
108 |
107
|
necon4d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } → 𝑥 = 𝑦 ) ) |
109 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ 𝑗 ↔ 𝑦 ∈ 𝑗 ) ) |
110 |
109
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
111 |
110
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
112 |
111
|
abbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) |
113 |
108 112
|
impbid1 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) |
114 |
113
|
ex |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑦 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) |
115 |
23 114
|
dom2lem |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ↦ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) : ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) –1-1→ 𝒫 𝒫 𝐴 ) |
116 |
|
f1eq1 |
⊢ ( 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ↦ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) → ( 𝐹 : ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) –1-1→ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ↦ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) : ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) –1-1→ 𝒫 𝒫 𝐴 ) ) |
117 |
2 116
|
ax-mp |
⊢ ( 𝐹 : ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) –1-1→ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ↦ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑗 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑗 ∧ 𝑎 = ( 𝑗 ∩ 𝐴 ) ) } ) : ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) –1-1→ 𝒫 𝒫 𝐴 ) |
118 |
115 117
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → 𝐹 : ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) –1-1→ 𝒫 𝒫 𝐴 ) |