Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hauspwpwf1.x |
|- X = U. J |
2 |
|
hauspwpwf1.f |
|- F = ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) |
3 |
|
inss2 |
|- ( j i^i A ) C_ A |
4 |
|
vex |
|- j e. _V |
5 |
4
|
inex1 |
|- ( j i^i A ) e. _V |
6 |
5
|
elpw |
|- ( ( j i^i A ) e. ~P A <-> ( j i^i A ) C_ A ) |
7 |
3 6
|
mpbir |
|- ( j i^i A ) e. ~P A |
8 |
|
eleq1 |
|- ( a = ( j i^i A ) -> ( a e. ~P A <-> ( j i^i A ) e. ~P A ) ) |
9 |
7 8
|
mpbiri |
|- ( a = ( j i^i A ) -> a e. ~P A ) |
10 |
9
|
adantl |
|- ( ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) -> a e. ~P A ) |
11 |
10
|
rexlimivw |
|- ( E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) -> a e. ~P A ) |
12 |
11
|
abssi |
|- { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } C_ ~P A |
13 |
|
haustop |
|- ( J e. Haus -> J e. Top ) |
14 |
1
|
topopn |
|- ( J e. Top -> X e. J ) |
15 |
13 14
|
syl |
|- ( J e. Haus -> X e. J ) |
16 |
|
ssexg |
|- ( ( A C_ X /\ X e. J ) -> A e. _V ) |
17 |
15 16
|
sylan2 |
|- ( ( A C_ X /\ J e. Haus ) -> A e. _V ) |
18 |
17
|
ancoms |
|- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> A e. _V ) |
19 |
|
pwexg |
|- ( A e. _V -> ~P A e. _V ) |
20 |
|
elpw2g |
|- ( ~P A e. _V -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } e. ~P ~P A <-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } C_ ~P A ) ) |
21 |
18 19 20
|
3syl |
|- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } e. ~P ~P A <-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } C_ ~P A ) ) |
22 |
12 21
|
mpbiri |
|- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } e. ~P ~P A ) |
23 |
22
|
a1d |
|- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } e. ~P ~P A ) ) |
24 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> J e. Haus ) |
25 |
1
|
clsss3 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X ) |
26 |
13 25
|
sylan |
|- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X ) |
27 |
26
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X ) |
28 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) |
29 |
27 28
|
sseldd |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> x e. X ) |
30 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) |
31 |
27 30
|
sseldd |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> y e. X ) |
32 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> x =/= y ) |
33 |
1
|
hausnei |
|- ( ( J e. Haus /\ ( x e. X /\ y e. X /\ x =/= y ) ) -> E. k e. J E. l e. J ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) |
34 |
24 29 31 32 33
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> E. k e. J E. l e. J ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) |
35 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> k e. J ) |
36 |
|
simprr1 |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> x e. k ) |
37 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> ( k i^i A ) = ( k i^i A ) ) |
38 |
|
elequ2 |
|- ( j = k -> ( x e. j <-> x e. k ) ) |
39 |
|
ineq1 |
|- ( j = k -> ( j i^i A ) = ( k i^i A ) ) |
40 |
39
|
eqeq2d |
|- ( j = k -> ( ( k i^i A ) = ( j i^i A ) <-> ( k i^i A ) = ( k i^i A ) ) ) |
41 |
38 40
|
anbi12d |
|- ( j = k -> ( ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) <-> ( x e. k /\ ( k i^i A ) = ( k i^i A ) ) ) ) |
42 |
41
|
rspcev |
|- ( ( k e. J /\ ( x e. k /\ ( k i^i A ) = ( k i^i A ) ) ) -> E. j e. J ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
43 |
35 36 37 42
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> E. j e. J ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
44 |
|
vex |
|- k e. _V |
45 |
44
|
inex1 |
|- ( k i^i A ) e. _V |
46 |
|
eqeq1 |
|- ( a = ( k i^i A ) -> ( a = ( j i^i A ) <-> ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
47 |
46
|
anbi2d |
|- ( a = ( k i^i A ) -> ( ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) ) |
48 |
47
|
rexbidv |
|- ( a = ( k i^i A ) -> ( E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> E. j e. J ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) ) |
49 |
45 48
|
elab |
|- ( ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } <-> E. j e. J ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
50 |
43 49
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) |
51 |
13
|
ad2antrr |
|- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. Top ) |
52 |
51
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> J e. Top ) |
53 |
|
simplr |
|- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ X ) |
54 |
53
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> A C_ X ) |
55 |
|
simprr |
|- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) |
56 |
55
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) |
57 |
|
simplr |
|- ( ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) -> l e. J ) |
58 |
57
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> l e. J ) |
59 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> j e. J ) |
60 |
|
inopn |
|- ( ( J e. Top /\ l e. J /\ j e. J ) -> ( l i^i j ) e. J ) |
61 |
52 58 59 60
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( l i^i j ) e. J ) |
62 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) -> y e. l ) |
63 |
62
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> y e. l ) |
64 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> y e. j ) |
65 |
63 64
|
elind |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> y e. ( l i^i j ) ) |
66 |
1
|
clsndisj |
|- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( ( l i^i j ) e. J /\ y e. ( l i^i j ) ) ) -> ( ( l i^i j ) i^i A ) =/= (/) ) |
67 |
52 54 56 61 65 66
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( ( l i^i j ) i^i A ) =/= (/) ) |
68 |
|
n0 |
|- ( ( ( l i^i j ) i^i A ) =/= (/) <-> E. z z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) ) |
69 |
67 68
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> E. z z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) ) |
70 |
|
elin |
|- ( z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) <-> ( z e. ( l i^i j ) /\ z e. A ) ) |
71 |
|
elin |
|- ( z e. ( l i^i j ) <-> ( z e. l /\ z e. j ) ) |
72 |
71
|
anbi1i |
|- ( ( z e. ( l i^i j ) /\ z e. A ) <-> ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) |
73 |
70 72
|
bitri |
|- ( z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) <-> ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) |
74 |
|
elin |
|- ( z e. ( j i^i A ) <-> ( z e. j /\ z e. A ) ) |
75 |
74
|
biimpri |
|- ( ( z e. j /\ z e. A ) -> z e. ( j i^i A ) ) |
76 |
75
|
adantll |
|- ( ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) -> z e. ( j i^i A ) ) |
77 |
76
|
ad2antll |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> z e. ( j i^i A ) ) |
78 |
|
simpll |
|- ( ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) -> z e. l ) |
79 |
78
|
ad2antll |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> z e. l ) |
80 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) -> ( k i^i l ) = (/) ) |
81 |
80
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> ( k i^i l ) = (/) ) |
82 |
|
minel |
|- ( ( z e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) -> -. z e. k ) |
83 |
|
elinel1 |
|- ( z e. ( k i^i A ) -> z e. k ) |
84 |
82 83
|
nsyl |
|- ( ( z e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) -> -. z e. ( k i^i A ) ) |
85 |
79 81 84
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> -. z e. ( k i^i A ) ) |
86 |
|
nelneq2 |
|- ( ( z e. ( j i^i A ) /\ -. z e. ( k i^i A ) ) -> -. ( j i^i A ) = ( k i^i A ) ) |
87 |
77 85 86
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> -. ( j i^i A ) = ( k i^i A ) ) |
88 |
|
eqcom |
|- ( ( j i^i A ) = ( k i^i A ) <-> ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) |
89 |
87 88
|
sylnib |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) |
90 |
89
|
expr |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
91 |
73 90
|
syl5bi |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
92 |
91
|
exlimdv |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( E. z z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
93 |
69 92
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) |
94 |
93
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ j e. J ) /\ y e. j ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) |
95 |
|
nan |
|- ( ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ j e. J ) -> -. ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ j e. J ) /\ y e. j ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
96 |
94 95
|
mpbir |
|- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ j e. J ) -> -. ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
97 |
96
|
nrexdv |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> -. E. j e. J ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
98 |
46
|
anbi2d |
|- ( a = ( k i^i A ) -> ( ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) ) |
99 |
98
|
rexbidv |
|- ( a = ( k i^i A ) -> ( E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> E. j e. J ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) ) |
100 |
45 99
|
elab |
|- ( ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } <-> E. j e. J ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) |
101 |
97 100
|
sylnibr |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> -. ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) |
102 |
|
nelne1 |
|- ( ( ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } /\ -. ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) |
103 |
50 101 102
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) |
104 |
103
|
expr |
|- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( k e. J /\ l e. J ) ) -> ( ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) ) |
105 |
104
|
rexlimdvva |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> ( E. k e. J E. l e. J ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) ) |
106 |
34 105
|
mpd |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) |
107 |
106
|
ex |
|- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( x =/= y -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) ) |
108 |
107
|
necon4d |
|- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } = { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } -> x = y ) ) |
109 |
|
eleq1 |
|- ( x = y -> ( x e. j <-> y e. j ) ) |
110 |
109
|
anbi1d |
|- ( x = y -> ( ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) ) ) |
111 |
110
|
rexbidv |
|- ( x = y -> ( E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) ) ) |
112 |
111
|
abbidv |
|- ( x = y -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } = { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) |
113 |
108 112
|
impbid1 |
|- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } = { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } <-> x = y ) ) |
114 |
113
|
ex |
|- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } = { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } <-> x = y ) ) ) |
115 |
23 114
|
dom2lem |
|- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A ) |
116 |
|
f1eq1 |
|- ( F = ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) -> ( F : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A ) ) |
117 |
2 116
|
ax-mp |
|- ( F : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A ) |
118 |
115 117
|
sylibr |
|- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> F : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A ) |