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Theorem satffunlem2lem2

Description: Lemma 2 for satffunlem2 . (Contributed by AV, 27-Oct-2023)

Ref Expression
Hypotheses satffunlem2lem2.s 𝑆 = ( 𝑀 Sat 𝐸 )
satffunlem2lem2.a 𝐴 = ( ( 𝑀m ω ) ∖ ( ( 2nd𝑢 ) ∩ ( 2nd𝑣 ) ) )
satffunlem2lem2.b 𝐵 = { 𝑎 ∈ ( 𝑀m ω ) ∣ ∀ 𝑧𝑀 ( { ⟨ 𝑖 , 𝑧 ⟩ } ∪ ( 𝑎 ↾ ( ω ∖ { 𝑖 } ) ) ) ∈ ( 2nd𝑢 ) }
Assertion satffunlem2lem2 ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∩ dom { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω ( 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ) } ) = ∅ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 satffunlem2lem2.s 𝑆 = ( 𝑀 Sat 𝐸 )
2 satffunlem2lem2.a 𝐴 = ( ( 𝑀m ω ) ∖ ( ( 2nd𝑢 ) ∩ ( 2nd𝑣 ) ) )
3 satffunlem2lem2.b 𝐵 = { 𝑎 ∈ ( 𝑀m ω ) ∣ ∀ 𝑧𝑀 ( { ⟨ 𝑖 , 𝑧 ⟩ } ∪ ( 𝑎 ↾ ( ω ∖ { 𝑖 } ) ) ) ∈ ( 2nd𝑢 ) }
4 1 fveq1i ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) = ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 )
5 4 dmeqi dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 )
6 simprl ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → 𝑀𝑉 )
7 simprr ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → 𝐸𝑊 )
8 peano2 ( 𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω )
9 8 adantr ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → suc 𝑁 ∈ ω )
10 6 7 9 3jca ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ∧ suc 𝑁 ∈ ω ) )
11 satfdmfmla ( ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ∧ suc 𝑁 ∈ ω ) → dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) = ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) )
12 10 11 syl ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) = ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) )
13 12 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) = ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) )
14 5 13 syl5eq ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) = ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) )
15 ovex ( 𝑀m ω ) ∈ V
16 15 difexi ( ( 𝑀m ω ) ∖ ( ( 2nd𝑢 ) ∩ ( 2nd𝑣 ) ) ) ∈ V
17 2 16 eqeltri 𝐴 ∈ V
18 17 a1i ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ V )
19 18 ralrimiva ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝐴 ∈ V )
20 3 15 rabex2 𝐵 ∈ V
21 20 a1i ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ω ) → 𝐵 ∈ V )
22 21 ralrimiva ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ω 𝐵 ∈ V )
23 19 22 jca ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝐴 ∈ V ∧ ∀ 𝑖 ∈ ω 𝐵 ∈ V ) )
24 23 ralrimiva ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝐴 ∈ V ∧ ∀ 𝑖 ∈ ω 𝐵 ∈ V ) )
25 simplr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) )
26 8 ancri ( 𝑁 ∈ ω → ( suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω ) )
27 26 ad2antrr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω ) )
28 25 27 jca ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ∧ ( suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω ) ) )
29 sssucid 𝑁 ⊆ suc 𝑁
30 1 satfsschain ( ( ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ∧ ( suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω ) ) → ( 𝑁 ⊆ suc 𝑁 → ( 𝑆𝑁 ) ⊆ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) )
31 28 29 30 mpisyl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑆𝑁 ) ⊆ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) )
32 dmopab3rexdif ( ( ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝐴 ∈ V ∧ ∀ 𝑖 ∈ ω 𝐵 ∈ V ) ∧ ( 𝑆𝑁 ) ⊆ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → dom { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω ( 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ) } = { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) } )
33 24 31 32 syl2anc ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → dom { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω ( 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ) } = { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) } )
34 simpr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
35 fveqeq2 ( 𝑤 = 𝑢 → ( ( 1st𝑤 ) = ( 1st𝑢 ) ↔ ( 1st𝑢 ) = ( 1st𝑢 ) ) )
36 35 adantl ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑤 = 𝑢 ) → ( ( 1st𝑤 ) = ( 1st𝑢 ) ↔ ( 1st𝑢 ) = ( 1st𝑢 ) ) )
37 eqidd ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 1st𝑢 ) = ( 1st𝑢 ) )
38 34 36 37 rspcedvd ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑤 ) = ( 1st𝑢 ) )
39 4 funeqi ( Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ↔ Fun ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
40 39 biimpi ( Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) → Fun ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
41 40 adantl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → Fun ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
42 1 fveq1i ( 𝑆𝑁 ) = ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 )
43 31 42 4 3sstr3g ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
44 41 43 jca ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fun ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) )
45 44 adantr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ( Fun ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) )
46 funeldmdif ( ( Fun ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( 1st𝑢 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑤 ) = ( 1st𝑢 ) ) )
47 45 46 syl ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 1st𝑢 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑤 ) = ( 1st𝑢 ) ) )
48 38 47 mpbird ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
49 48 ex ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
50 4 42 difeq12i ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
51 50 eleq2i ( 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ↔ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
52 51 a1i ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ↔ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
53 13 eqcomd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
54 simpl ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → 𝑁 ∈ ω )
55 6 7 54 3jca ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → ( 𝑀𝑉𝐸𝑊𝑁 ∈ ω ) )
56 satfdmfmla ( ( 𝑀𝑉𝐸𝑊𝑁 ∈ ω ) → dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) = ( Fmla ‘ 𝑁 ) )
57 55 56 syl ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) = ( Fmla ‘ 𝑁 ) )
58 57 eqcomd ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → ( Fmla ‘ 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
59 58 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
60 53 59 difeq12d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) = ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
61 60 eleq2d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( 1st𝑢 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 1st𝑢 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
62 49 52 61 3imtr4d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ) )
63 62 imp ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) )
64 63 adantr ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) )
65 oveq1 ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → ( 𝑓𝑔 𝑔 ) = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) )
66 65 eqeq2d ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → ( 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ↔ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) )
67 66 rexbidv ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) )
68 eqidd ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → 𝑖 = 𝑖 )
69 id ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → 𝑓 = ( 1st𝑢 ) )
70 68 69 goaleq12d ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → ∀𝑔 𝑖 𝑓 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) )
71 70 eqeq2d ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → ( 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) )
72 71 rexbidv ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) )
73 67 72 orbi12d ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ↔ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
74 73 adantl ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) ∧ 𝑓 = ( 1st𝑢 ) ) → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ↔ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
75 6 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → 𝑀𝑉 )
76 7 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → 𝐸𝑊 )
77 8 ad2antrr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → suc 𝑁 ∈ ω )
78 75 76 77 3jca ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ∧ suc 𝑁 ∈ ω ) )
79 satfrel ( ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ∧ suc 𝑁 ∈ ω ) → Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
80 78 79 syl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
81 4 releqi ( Rel ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ↔ Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
82 80 81 sylibr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → Rel ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) )
83 1stdm ( ( Rel ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) )
84 82 83 sylan ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) )
85 14 eqcomd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) = dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) )
86 85 adantr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) = dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) )
87 84 86 eleqtrrd ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) )
88 87 ad4ant13 ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) )
89 oveq2 ( 𝑔 = ( 1st𝑣 ) → ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) )
90 89 eqeq2d ( 𝑔 = ( 1st𝑣 ) → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ↔ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
91 90 adantl ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 1st𝑣 ) ) → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ↔ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
92 simpr ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) )
93 88 91 92 rspcedvd ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) )
94 93 rexlimdva2 ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) )
95 94 orim1d ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) → ( ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
96 95 imp ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) )
97 64 74 96 rspcedvd ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) )
98 97 rexlimdva2 ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ) )
99 55 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑀𝑉𝐸𝑊𝑁 ∈ ω ) )
100 satfrel ( ( 𝑀𝑉𝐸𝑊𝑁 ∈ ω ) → Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
101 99 100 syl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
102 42 releqi ( Rel ( 𝑆𝑁 ) ↔ Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
103 101 102 sylibr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → Rel ( 𝑆𝑁 ) )
104 1stdm ( ( Rel ( 𝑆𝑁 ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ dom ( 𝑆𝑁 ) )
105 103 104 sylan ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ dom ( 𝑆𝑁 ) )
106 42 dmeqi dom ( 𝑆𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 )
107 99 56 syl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) = ( Fmla ‘ 𝑁 ) )
108 106 107 syl5eq ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → dom ( 𝑆𝑁 ) = ( Fmla ‘ 𝑁 ) )
109 108 eqcomd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ 𝑁 ) = dom ( 𝑆𝑁 ) )
110 109 adantr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ 𝑁 ) = dom ( 𝑆𝑁 ) )
111 105 110 eleqtrrd ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) )
112 111 adantr ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → ( 1st𝑢 ) ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) )
113 66 rexbidv ( 𝑓 = ( 1st𝑢 ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) )
114 113 adantl ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ∧ 𝑓 = ( 1st𝑢 ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) )
115 simpr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
116 fveqeq2 ( 𝑡 = 𝑣 → ( ( 1st𝑡 ) = ( 1st𝑣 ) ↔ ( 1st𝑣 ) = ( 1st𝑣 ) ) )
117 116 adantl ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑣 ) → ( ( 1st𝑡 ) = ( 1st𝑣 ) ↔ ( 1st𝑣 ) = ( 1st𝑣 ) ) )
118 eqidd ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 1st𝑣 ) = ( 1st𝑣 ) )
119 115 117 118 rspcedvd ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑡 ) = ( 1st𝑣 ) )
120 44 adantr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ( Fun ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) )
121 funeldmdif ( ( Fun ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( 1st𝑣 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑡 ) = ( 1st𝑣 ) ) )
122 120 121 syl ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 1st𝑣 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑡 ) = ( 1st𝑣 ) ) )
123 119 122 mpbird ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
124 123 ex ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
125 50 eleq2i ( 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ↔ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
126 125 a1i ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ↔ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
127 12 eqcomd ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
128 127 58 difeq12d ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) = ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
129 128 eleq2d ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → ( ( 1st𝑣 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 1st𝑣 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
130 129 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( 1st𝑣 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 1st𝑣 ) ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
131 124 126 130 3imtr4d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ) )
132 131 adantr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) → ( 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ) )
133 132 imp ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) )
134 133 adantr ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → ( 1st𝑣 ) ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) )
135 90 adantl ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 1st𝑣 ) ) → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ↔ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
136 simpr ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) )
137 134 135 136 rspcedvd ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) )
138 137 r19.29an ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) )
139 112 114 138 rspcedvd ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) )
140 139 rexlimdva2 ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) )
141 98 140 orim12d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ∨ ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) ) )
142 10 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ∧ suc 𝑁 ∈ ω ) )
143 11 eqcomd ( ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ∧ suc 𝑁 ∈ ω ) → ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
144 142 143 syl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
145 107 eqcomd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
146 144 145 difeq12d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) = ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
147 146 eleq2d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ↔ 𝑓 ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
148 eqid ( 𝑀 Sat 𝐸 ) = ( 𝑀 Sat 𝐸 )
149 148 satfsschain ( ( ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ∧ ( suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω ) ) → ( 𝑁 ⊆ suc 𝑁 → ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) )
150 28 29 149 mpisyl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
151 releldmdifi ( ( Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) )
152 80 150 151 syl2anc ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) )
153 147 152 sylbid ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) )
154 50 eqcomi ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) )
155 154 rexeqi ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 )
156 r19.41v ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ) ↔ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ) )
157 oveq1 ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) )
158 157 eqeq2d ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ↔ 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) )
159 158 rexbidv ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) )
160 eqidd ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓𝑖 = 𝑖 )
161 id ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( 1st𝑢 ) = 𝑓 )
162 160 161 goaleq12d ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) = ∀𝑔 𝑖 𝑓 )
163 162 eqeq2d ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ↔ 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) )
164 163 rexbidv ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) )
165 159 164 orbi12d ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ↔ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ) )
166 165 adantl ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ↔ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ) )
167 142 11 syl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) = ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) )
168 167 eqcomd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) = dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) )
169 168 eleq2d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ↔ 𝑔 ∈ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) )
170 releldm2 ( Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) → ( 𝑔 ∈ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 ) )
171 80 170 syl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 ) )
172 169 171 bitrd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 ) )
173 r19.41v ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) )
174 1 eqcomi ( 𝑀 Sat 𝐸 ) = 𝑆
175 174 fveq1i ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) = ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 )
176 175 rexeqi ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) )
177 89 eqcoms ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔 → ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) )
178 177 eqeq2d ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔 → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ↔ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
179 178 biimpa ( ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) → 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) )
180 179 a1i ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) → 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
181 180 reximdv ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
182 176 181 syl5bi ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
183 173 182 syl5bir ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
184 183 expd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
185 172 184 sylbid ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
186 185 rexlimdv ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
187 186 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
188 187 orim1d ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
189 166 188 sylbird ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) ∧ ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
190 189 expimpd ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
191 190 reximdva ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
192 156 191 syl5bir ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
193 192 expd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) ) )
194 155 193 syl5bi ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) ) )
195 153 194 syld ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) ) )
196 195 rexlimdv ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ) )
197 145 eleq2d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ↔ 𝑓 ∈ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) )
198 55 100 syl ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) → Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
199 198 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) )
200 releldm2 ( Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) → ( 𝑓 ∈ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) )
201 199 200 syl ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) )
202 197 201 bitrd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) )
203 r19.41v ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) )
204 42 eqcomi ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑆𝑁 )
205 204 rexeqi ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) )
206 158 rexbidv ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) )
207 206 adantl ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) )
208 146 eleq2d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ↔ 𝑔 ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ) )
209 releldmdifi ( ( Rel ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ⊆ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 ) )
210 80 150 209 syl2anc ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ dom ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 ) )
211 208 210 sylbid ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 ) )
212 154 rexeqi ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 )
213 178 biimpcd ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
214 213 adantl ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) → ( ( 1st𝑣 ) = 𝑔𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
215 214 reximdv ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
216 215 ex ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
217 216 com23 ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
218 212 217 syl5bi ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ) ( 1st𝑣 ) = 𝑔 → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
219 211 218 syld ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
220 219 rexlimdv ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
221 220 adantr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
222 207 221 sylbird ( ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) ∧ ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
223 222 expimpd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
224 223 reximdv ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
225 205 224 syl5bi ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
226 203 225 syl5bir ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 ∧ ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
227 226 expd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑀 Sat 𝐸 ) ‘ 𝑁 ) ( 1st𝑢 ) = 𝑓 → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
228 202 227 sylbid ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
229 228 rexlimdv ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) )
230 196 229 orim12d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ∨ ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ) )
231 141 230 impbid ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ∨ ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) ) )
232 231 abbidv ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ) } = { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ∨ ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) } )
233 33 232 eqtrd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → dom { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω ( 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ) } = { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ∨ ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) } )
234 14 233 ineq12d ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∩ dom { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω ( 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ) } ) = ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∩ { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ∨ ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) } ) )
235 fmlasucdisj ( 𝑁 ∈ ω → ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∩ { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ∨ ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) } ) = ∅ )
236 235 ad2antrr ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∩ { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 𝑓 ) ∨ ∃ 𝑓 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑔 ∈ ( ( Fmla ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) 𝑥 = ( 𝑓𝑔 𝑔 ) ) } ) = ∅ )
237 234 236 eqtrd ( ( ( 𝑁 ∈ ω ∧ ( 𝑀𝑉𝐸𝑊 ) ) ∧ Fun ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ) → ( dom ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∩ dom { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( ∃ 𝑢 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ ω ( 𝑥 = ∀𝑔 𝑖 ( 1st𝑢 ) ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ∨ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑆𝑁 ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( 𝑆 ‘ suc 𝑁 ) ∖ ( 𝑆𝑁 ) ) ( 𝑥 = ( ( 1st𝑢 ) ⊼𝑔 ( 1st𝑣 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐴 ) ) } ) = ∅ )