Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
srgbinom.s |
⊢ 𝑆 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
srgbinom.m |
⊢ × = ( .r ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
srgbinom.t |
⊢ · = ( .g ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
srgbinom.a |
⊢ + = ( +g ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
srgbinom.g |
⊢ 𝐺 = ( mulGrp ‘ 𝑅 ) |
6 |
|
srgbinom.e |
⊢ ↑ = ( .g ‘ 𝐺 ) |
7 |
|
srgbinomlem.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ SRing ) |
8 |
|
srgbinomlem.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
9 |
|
srgbinomlem.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆 ) |
10 |
|
srgbinomlem.c |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐵 ) = ( 𝐵 × 𝐴 ) ) |
11 |
|
srgbinomlem.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
12 |
|
srgbinomlem.i |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑁 ↑ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
13 |
12
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑁 ↑ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) × 𝐵 ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) × 𝐵 ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
15 |
|
ovexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ V ) |
16 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝜑 ) |
17 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
18 |
|
bccl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
19 |
11 17 18
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
20 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
21 |
20
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
22 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
23 |
22
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
24 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
srgbinomlem2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
25 |
16 19 21 23 24
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
26 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
27 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
28 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ V ) |
29 |
|
fvexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V ) |
30 |
26 27 28 29
|
fsuppmptdm |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
31 |
1 14 4 2 7 15 9 25 30
|
srgsummulcr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) × 𝐵 ) ) |
32 |
|
srgcmn |
⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd ) |
33 |
7 32
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd ) |
34 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
35 |
34
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ ) |
36 |
|
0zd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ ) |
37 |
11
|
nn0zd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
38 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ SRing ) |
39 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑆 ) |
40 |
1 2
|
srgcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) |
41 |
38 25 39 40
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) |
42 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) = ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
43 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) = ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
44 |
43
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) = ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) ) |
45 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) |
46 |
44 45
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) |
47 |
42 46
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ) |
49 |
1 14 33 35 36 37 41 48
|
gsummptshft |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ) ) ) |
50 |
11
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
51 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
52 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
53 |
52
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
54 |
53
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
55 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
56 |
51 54 55
|
subsub3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ) |
57 |
56
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) |
58 |
57
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) |
59 |
58
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
60 |
59
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ) |
61 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑅 ∈ SRing ) |
62 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) |
63 |
52 62
|
syl |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) |
64 |
|
bccl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
65 |
11 63 64
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
66 |
5
|
srgmgp |
⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd ) |
67 |
7 66
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd ) |
68 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
69 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
70 |
69
|
oveq1i |
⊢ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) |
71 |
70
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
72 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
73 |
72
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) ) |
74 |
71 73
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) ) |
75 |
74
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
76 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
77 |
5 1
|
mgpbas |
⊢ 𝑆 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
78 |
77 6
|
mulgnn0cl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ) |
79 |
68 75 76 78
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ) |
80 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ ) |
81 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
82 |
80 81
|
syl |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
83 |
71 82
|
sylbi |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
84 |
83
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
85 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑆 ) |
86 |
77 6
|
mulgnn0cl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) |
87 |
68 84 85 86
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) |
88 |
1 3 2
|
srgmulgass |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ∧ ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
89 |
61 65 79 87 88
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
90 |
89
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) |
91 |
90
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) × 𝐵 ) ) |
92 |
|
srgmnd |
⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd ) |
93 |
7 92
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd ) |
94 |
93
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑅 ∈ Mnd ) |
95 |
1 3
|
mulgnn0cl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) ∈ 𝑆 ) |
96 |
94 65 79 95
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) ∈ 𝑆 ) |
97 |
1 2
|
srgass |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) ∈ 𝑆 ∧ ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) × 𝐵 ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) × 𝐵 ) ) ) |
98 |
61 96 87 85 97
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) × 𝐵 ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) × 𝐵 ) ) ) |
99 |
5 2
|
mgpplusg |
⊢ × = ( +g ‘ 𝐺 ) |
100 |
77 6 99
|
mulgnn0p1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝐵 ) = ( ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) × 𝐵 ) ) |
101 |
100
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) × 𝐵 ) = ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝐵 ) ) |
102 |
68 84 85 101
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) × 𝐵 ) = ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝐵 ) ) |
103 |
102
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) × 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) |
104 |
52
|
zcnd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
105 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
106 |
104 105
|
npcand |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 ) |
107 |
106
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 ) |
108 |
107
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝐵 ) = ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) |
109 |
108
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) |
110 |
98 103 109
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) × 𝐵 ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) |
111 |
60 91 110
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) |
112 |
111
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
113 |
112
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 − ( 𝑗 − 1 ) ) ↑ 𝐴 ) × ( ( 𝑗 − 1 ) ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) |
114 |
70
|
mpteq1i |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) |
115 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 − 1 ) = ( 𝑘 − 1 ) ) |
116 |
115
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) |
117 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) |
118 |
117
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) |
119 |
116 118
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) ) |
120 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) = ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) |
121 |
119 120
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) |
122 |
121
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) |
123 |
114 122
|
eqtri |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) |
124 |
123
|
oveq2i |
⊢ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
125 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ Fin ) |
126 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝜑 ) |
127 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
128 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) |
129 |
127 128
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) |
130 |
|
bccl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
131 |
11 129 130
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
132 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
133 |
132
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
134 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
135 |
134
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
136 |
135
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
137 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
srgbinomlem2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
138 |
126 131 133 136 137
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
139 |
138
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
140 |
1 33 125 139
|
gsummptcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
141 |
1 4 14
|
mndlid |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
142 |
93 140 141
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
143 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
144 |
143
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℕ0 ) |
145 |
|
id |
⊢ ( 𝜑 → 𝜑 ) |
146 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
147 |
146 34
|
pm3.2i |
⊢ ( 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) |
148 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( 0 − 1 ) ∈ ℤ ) |
149 |
147 148
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 − 1 ) ∈ ℤ ) |
150 |
|
bccl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 0 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
151 |
11 149 150
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
152 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
153 |
|
peano2cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ) |
154 |
152 153
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ) |
155 |
154
|
subid1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
156 |
|
peano2nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
157 |
155 156
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ∈ ℕ0 ) |
158 |
11 157
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ∈ ℕ0 ) |
159 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
srgbinomlem2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
160 |
145 151 158 144 159
|
syl13anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
161 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 − 1 ) = ( 0 − 1 ) ) |
162 |
161
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) ) |
163 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) |
164 |
163
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) ) |
165 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) = ( 0 ↑ 𝐵 ) ) |
166 |
164 165
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) |
167 |
162 166
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
168 |
1 167
|
gsumsn |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
169 |
93 144 160 168
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
170 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
171 |
170
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 1 ) |
172 |
171 69
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 0 + 1 ) ) |
173 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
174 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
175 |
173 174 173
|
3pm3.2i |
⊢ ( 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) |
176 |
|
ltsubadd |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 0 − 1 ) < 0 ↔ 0 < ( 0 + 1 ) ) ) |
177 |
175 176
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 − 1 ) < 0 ↔ 0 < ( 0 + 1 ) ) ) |
178 |
172 177
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 − 1 ) < 0 ) |
179 |
178
|
orcd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 − 1 ) < 0 ∨ 𝑁 < ( 0 − 1 ) ) ) |
180 |
|
bcval4 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 0 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( 0 − 1 ) < 0 ∨ 𝑁 < ( 0 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) = 0 ) |
181 |
11 149 179 180
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) = 0 ) |
182 |
181
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( 0 · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
183 |
77 6
|
mulgnn0cl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ) |
184 |
67 158 8 183
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ) |
185 |
77 6
|
mulgnn0cl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) → ( 0 ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) |
186 |
67 144 9 185
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) |
187 |
1 2
|
srgcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 0 ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 ) |
188 |
7 184 186 187
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 ) |
189 |
1 14 3
|
mulg0 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 → ( 0 · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
190 |
188 189
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
191 |
169 182 190
|
3eqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
192 |
191
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
193 |
142 192
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
194 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑅 ∈ SRing ) |
195 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
196 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
197 |
77 6
|
mulgnn0cl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ) |
198 |
195 133 196 197
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ) |
199 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑆 ) |
200 |
77 6
|
mulgnn0cl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) |
201 |
195 136 199 200
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) |
202 |
1 3 2
|
srgmulgass |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
203 |
194 131 198 201 202
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) |
204 |
203
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) |
205 |
204
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
206 |
11 156
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
207 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝜑 ) |
208 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
209 |
208 128
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) |
210 |
11 209 130
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
211 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
212 |
211
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
213 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
214 |
213
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
215 |
207 210 212 214 137
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
216 |
1 4 33 206 215
|
gsummptfzsplitl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
217 |
|
snfi |
⊢ { 0 } ∈ Fin |
218 |
217
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { 0 } ∈ Fin ) |
219 |
167
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
220 |
219
|
ralsng |
⊢ ( 0 ∈ ℕ0 → ( ∀ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
221 |
143 220
|
ax-mp |
⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( ( 𝑁 C ( 0 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ↑ 𝐴 ) × ( 0 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
222 |
160 221
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
223 |
1 33 218 222
|
gsummptcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) |
224 |
1 4
|
cmncom |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CMnd ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
225 |
33 140 223 224
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
226 |
216 225
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) + ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
227 |
193 205 226
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
228 |
124 227
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑁 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑗 ) ↑ 𝐴 ) ) × ( 𝑗 ↑ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
229 |
49 113 228
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) × 𝐵 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
230 |
31 229
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) × 𝐵 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
231 |
13 230
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑁 ↑ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) × 𝐵 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↦ ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ↑ 𝐴 ) × ( 𝑘 ↑ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |