Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- ( b e. _om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } ) = ( b e. _om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } ) |
2 |
1
|
rnmpt |
|- ran ( b e. _om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } ) = { d | E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } } |
3 |
|
unieq |
|- ( { c e. A | c ~<_ b } = (/) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = U. (/) ) |
4 |
|
uni0 |
|- U. (/) = (/) |
5 |
3 4
|
eqtrdi |
|- ( { c e. A | c ~<_ b } = (/) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) |
6 |
5
|
adantl |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) |
7 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
8 |
7
|
elsn2 |
|- ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } <-> U. { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) |
9 |
6 8
|
sylibr |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) |
10 |
9
|
olcd |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) -> ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. A \/ U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) ) |
11 |
|
ssrab2 |
|- { c e. A | c ~<_ b } C_ A |
12 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) |
13 |
|
fin1a2lem9 |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin /\ b e. _om ) -> { c e. A | c ~<_ b } e. Fin ) |
14 |
13
|
ad4ant123 |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> { c e. A | c ~<_ b } e. Fin ) |
15 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> [C.] Or A ) |
16 |
|
soss |
|- ( { c e. A | c ~<_ b } C_ A -> ( [C.] Or A -> [C.] Or { c e. A | c ~<_ b } ) ) |
17 |
11 15 16
|
mpsyl |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> [C.] Or { c e. A | c ~<_ b } ) |
18 |
|
fin1a2lem10 |
|- ( ( { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) /\ { c e. A | c ~<_ b } e. Fin /\ [C.] Or { c e. A | c ~<_ b } ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } e. { c e. A | c ~<_ b } ) |
19 |
12 14 17 18
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } e. { c e. A | c ~<_ b } ) |
20 |
11 19
|
sselid |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } e. A ) |
21 |
20
|
orcd |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. A \/ U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) ) |
22 |
10 21
|
pm2.61dane |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) -> ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. A \/ U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) ) |
23 |
|
eleq1 |
|- ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( d e. A <-> U. { c e. A | c ~<_ b } e. A ) ) |
24 |
|
eleq1 |
|- ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( d e. { (/) } <-> U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) ) |
25 |
23 24
|
orbi12d |
|- ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( ( d e. A \/ d e. { (/) } ) <-> ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. A \/ U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) ) ) |
26 |
22 25
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. _om ) -> ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( d e. A \/ d e. { (/) } ) ) ) |
27 |
26
|
rexlimdva |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( d e. A \/ d e. { (/) } ) ) ) |
28 |
|
simpr |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> A C_ Fin ) |
29 |
28
|
sselda |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d e. Fin ) |
30 |
|
ficardom |
|- ( d e. Fin -> ( card ` d ) e. _om ) |
31 |
29 30
|
syl |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> ( card ` d ) e. _om ) |
32 |
|
breq1 |
|- ( c = d -> ( c ~<_ ( card ` d ) <-> d ~<_ ( card ` d ) ) ) |
33 |
|
simpr |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d e. A ) |
34 |
|
ficardid |
|- ( d e. Fin -> ( card ` d ) ~~ d ) |
35 |
29 34
|
syl |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> ( card ` d ) ~~ d ) |
36 |
|
ensym |
|- ( ( card ` d ) ~~ d -> d ~~ ( card ` d ) ) |
37 |
|
endom |
|- ( d ~~ ( card ` d ) -> d ~<_ ( card ` d ) ) |
38 |
35 36 37
|
3syl |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d ~<_ ( card ` d ) ) |
39 |
32 33 38
|
elrabd |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) |
40 |
|
elssuni |
|- ( d e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } -> d C_ U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) |
41 |
39 40
|
syl |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d C_ U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) |
42 |
|
breq1 |
|- ( c = b -> ( c ~<_ ( card ` d ) <-> b ~<_ ( card ` d ) ) ) |
43 |
42
|
elrab |
|- ( b e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } <-> ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) |
44 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b ~<_ ( card ` d ) ) |
45 |
35
|
adantr |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> ( card ` d ) ~~ d ) |
46 |
|
domentr |
|- ( ( b ~<_ ( card ` d ) /\ ( card ` d ) ~~ d ) -> b ~<_ d ) |
47 |
44 45 46
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b ~<_ d ) |
48 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> A C_ Fin ) |
49 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b e. A ) |
50 |
48 49
|
sseldd |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b e. Fin ) |
51 |
29
|
adantr |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> d e. Fin ) |
52 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> [C.] Or A ) |
53 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> d e. A ) |
54 |
|
sorpssi |
|- ( ( [C.] Or A /\ ( b e. A /\ d e. A ) ) -> ( b C_ d \/ d C_ b ) ) |
55 |
52 49 53 54
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> ( b C_ d \/ d C_ b ) ) |
56 |
|
fincssdom |
|- ( ( b e. Fin /\ d e. Fin /\ ( b C_ d \/ d C_ b ) ) -> ( b ~<_ d <-> b C_ d ) ) |
57 |
50 51 55 56
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> ( b ~<_ d <-> b C_ d ) ) |
58 |
47 57
|
mpbid |
|- ( ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b C_ d ) |
59 |
58
|
ex |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> ( ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) -> b C_ d ) ) |
60 |
43 59
|
syl5bi |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> ( b e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } -> b C_ d ) ) |
61 |
60
|
ralrimiv |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> A. b e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } b C_ d ) |
62 |
|
unissb |
|- ( U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } C_ d <-> A. b e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } b C_ d ) |
63 |
61 62
|
sylibr |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } C_ d ) |
64 |
41 63
|
eqssd |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d = U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) |
65 |
|
breq2 |
|- ( b = ( card ` d ) -> ( c ~<_ b <-> c ~<_ ( card ` d ) ) ) |
66 |
65
|
rabbidv |
|- ( b = ( card ` d ) -> { c e. A | c ~<_ b } = { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) |
67 |
66
|
unieqd |
|- ( b = ( card ` d ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) |
68 |
67
|
rspceeqv |
|- ( ( ( card ` d ) e. _om /\ d = U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) -> E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) |
69 |
31 64 68
|
syl2anc |
|- ( ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) |
70 |
69
|
ex |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( d e. A -> E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) ) |
71 |
|
velsn |
|- ( d e. { (/) } <-> d = (/) ) |
72 |
|
peano1 |
|- (/) e. _om |
73 |
|
dom0 |
|- ( b ~<_ (/) <-> b = (/) ) |
74 |
73
|
biimpi |
|- ( b ~<_ (/) -> b = (/) ) |
75 |
74
|
adantl |
|- ( ( b e. A /\ b ~<_ (/) ) -> b = (/) ) |
76 |
75
|
a1i |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( ( b e. A /\ b ~<_ (/) ) -> b = (/) ) ) |
77 |
|
breq1 |
|- ( c = b -> ( c ~<_ (/) <-> b ~<_ (/) ) ) |
78 |
77
|
elrab |
|- ( b e. { c e. A | c ~<_ (/) } <-> ( b e. A /\ b ~<_ (/) ) ) |
79 |
|
velsn |
|- ( b e. { (/) } <-> b = (/) ) |
80 |
76 78 79
|
3imtr4g |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( b e. { c e. A | c ~<_ (/) } -> b e. { (/) } ) ) |
81 |
80
|
ssrdv |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> { c e. A | c ~<_ (/) } C_ { (/) } ) |
82 |
|
uni0b |
|- ( U. { c e. A | c ~<_ (/) } = (/) <-> { c e. A | c ~<_ (/) } C_ { (/) } ) |
83 |
81 82
|
sylibr |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> U. { c e. A | c ~<_ (/) } = (/) ) |
84 |
83
|
eqcomd |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> (/) = U. { c e. A | c ~<_ (/) } ) |
85 |
|
breq2 |
|- ( b = (/) -> ( c ~<_ b <-> c ~<_ (/) ) ) |
86 |
85
|
rabbidv |
|- ( b = (/) -> { c e. A | c ~<_ b } = { c e. A | c ~<_ (/) } ) |
87 |
86
|
unieqd |
|- ( b = (/) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = U. { c e. A | c ~<_ (/) } ) |
88 |
87
|
rspceeqv |
|- ( ( (/) e. _om /\ (/) = U. { c e. A | c ~<_ (/) } ) -> E. b e. _om (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } ) |
89 |
72 84 88
|
sylancr |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> E. b e. _om (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } ) |
90 |
|
eqeq1 |
|- ( d = (/) -> ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } ) ) |
91 |
90
|
rexbidv |
|- ( d = (/) -> ( E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> E. b e. _om (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } ) ) |
92 |
89 91
|
syl5ibrcom |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( d = (/) -> E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) ) |
93 |
71 92
|
syl5bi |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( d e. { (/) } -> E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) ) |
94 |
70 93
|
jaod |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( ( d e. A \/ d e. { (/) } ) -> E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) ) |
95 |
27 94
|
impbid |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> ( d e. A \/ d e. { (/) } ) ) ) |
96 |
|
elun |
|- ( d e. ( A u. { (/) } ) <-> ( d e. A \/ d e. { (/) } ) ) |
97 |
95 96
|
bitr4di |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> d e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
98 |
97
|
abbi1dv |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> { d | E. b e. _om d = U. { c e. A | c ~<_ b } } = ( A u. { (/) } ) ) |
99 |
2 98
|
eqtrid |
|- ( ( [C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ran ( b e. _om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } ) = ( A u. { (/) } ) ) |