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Theorem pntlemo

Description: Lemma for pnt . Combine all the estimates to establish a smaller eventual bound on R ( Z ) / Z . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016)

Ref Expression
Hypotheses pntlem1.r
|- R = ( a e. RR+ |-> ( ( psi ` a ) - a ) )
pntlem1.a
|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b
|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l
|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d
|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f
|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u
|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2
|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e
|- E = ( U / D )
pntlem1.k
|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y
|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x
|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c
|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w
|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( ( ; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z
|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m
|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n
|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U
|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
pntlem1.K
|- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
pntlem1.C
|- ( ph -> A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C )
Assertion pntlemo
|- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) <_ ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pntlem1.r
 |-  R = ( a e. RR+ |-> ( ( psi ` a ) - a ) )
2 pntlem1.a
 |-  ( ph -> A e. RR+ )
3 pntlem1.b
 |-  ( ph -> B e. RR+ )
4 pntlem1.l
 |-  ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlem1.d
 |-  D = ( A + 1 )
6 pntlem1.f
 |-  F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
7 pntlem1.u
 |-  ( ph -> U e. RR+ )
8 pntlem1.u2
 |-  ( ph -> U <_ A )
9 pntlem1.e
 |-  E = ( U / D )
10 pntlem1.k
 |-  K = ( exp ` ( B / E ) )
11 pntlem1.y
 |-  ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
12 pntlem1.x
 |-  ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
13 pntlem1.c
 |-  ( ph -> C e. RR+ )
14 pntlem1.w
 |-  W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( ( ; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
15 pntlem1.z
 |-  ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
16 pntlem1.m
 |-  M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
17 pntlem1.n
 |-  N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
18 pntlem1.U
 |-  ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
19 pntlem1.K
 |-  ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
20 pntlem1.C
 |-  ( ph -> A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 pntlemb
 |-  ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqrt ` Z ) /\ ( sqrt ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqrt ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
22 21 simp1d
 |-  ( ph -> Z e. RR+ )
23 1 pntrf
 |-  R : RR+ --> RR
24 23 ffvelrni
 |-  ( Z e. RR+ -> ( R ` Z ) e. RR )
25 22 24 syl
 |-  ( ph -> ( R ` Z ) e. RR )
26 25 22 rerpdivcld
 |-  ( ph -> ( ( R ` Z ) / Z ) e. RR )
27 26 recnd
 |-  ( ph -> ( ( R ` Z ) / Z ) e. CC )
28 27 abscld
 |-  ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) e. RR )
29 22 relogcld
 |-  ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
30 28 29 remulcld
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
31 7 rpred
 |-  ( ph -> U e. RR )
32 3re
 |-  3 e. RR
33 32 a1i
 |-  ( ph -> 3 e. RR )
34 29 33 readdcld
 |-  ( ph -> ( ( log ` Z ) + 3 ) e. RR )
35 31 34 remulcld
 |-  ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) e. RR )
36 2re
 |-  2 e. RR
37 36 a1i
 |-  ( ph -> 2 e. RR )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pntlemc
 |-  ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
39 38 simp3d
 |-  ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
40 39 simp3d
 |-  ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
41 40 rpred
 |-  ( ph -> ( U - E ) e. RR )
42 1 2 3 4 5 6 pntlemd
 |-  ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
43 42 simp1d
 |-  ( ph -> L e. RR+ )
44 38 simp1d
 |-  ( ph -> E e. RR+ )
45 2z
 |-  2 e. ZZ
46 rpexpcl
 |-  ( ( E e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
47 44 45 46 sylancl
 |-  ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
48 43 47 rpmulcld
 |-  ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. RR+ )
49 3nn0
 |-  3 e. NN0
50 2nn
 |-  2 e. NN
51 49 50 decnncl
 |-  ; 3 2 e. NN
52 nnrp
 |-  ( ; 3 2 e. NN -> ; 3 2 e. RR+ )
53 51 52 ax-mp
 |-  ; 3 2 e. RR+
54 rpmulcl
 |-  ( ( ; 3 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ; 3 2 x. B ) e. RR+ )
55 53 3 54 sylancr
 |-  ( ph -> ( ; 3 2 x. B ) e. RR+ )
56 48 55 rpdivcld
 |-  ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
57 56 rpred
 |-  ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) e. RR )
58 41 57 remulcld
 |-  ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) e. RR )
59 58 29 remulcld
 |-  ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
60 37 59 remulcld
 |-  ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
61 35 60 resubcld
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) e. RR )
62 13 rpred
 |-  ( ph -> C e. RR )
63 61 62 readdcld
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) e. RR )
64 7 rpcnd
 |-  ( ph -> U e. CC )
65 58 recnd
 |-  ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) e. CC )
66 29 recnd
 |-  ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
67 64 65 66 subdird
 |-  ( ph -> ( ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
68 43 rpcnd
 |-  ( ph -> L e. CC )
69 47 rpcnd
 |-  ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
70 55 rpcnne0d
 |-  ( ph -> ( ( ; 3 2 x. B ) e. CC /\ ( ; 3 2 x. B ) =/= 0 ) )
71 div23
 |-  ( ( L e. CC /\ ( E ^ 2 ) e. CC /\ ( ( ; 3 2 x. B ) e. CC /\ ( ; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) = ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) )
72 68 69 70 71 syl3anc
 |-  ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) = ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) )
73 9 oveq1i
 |-  ( E ^ 2 ) = ( ( U / D ) ^ 2 )
74 42 simp2d
 |-  ( ph -> D e. RR+ )
75 74 rpcnd
 |-  ( ph -> D e. CC )
76 74 rpne0d
 |-  ( ph -> D =/= 0 )
77 64 75 76 sqdivd
 |-  ( ph -> ( ( U / D ) ^ 2 ) = ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) )
78 73 77 eqtrid
 |-  ( ph -> ( E ^ 2 ) = ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) )
79 78 oveq2d
 |-  ( ph -> ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
80 43 55 rpdivcld
 |-  ( ph -> ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
81 80 rpcnd
 |-  ( ph -> ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) e. CC )
82 64 sqcld
 |-  ( ph -> ( U ^ 2 ) e. CC )
83 rpexpcl
 |-  ( ( D e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( D ^ 2 ) e. RR+ )
84 74 45 83 sylancl
 |-  ( ph -> ( D ^ 2 ) e. RR+ )
85 84 rpcnne0d
 |-  ( ph -> ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) )
86 divass
 |-  ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( U ^ 2 ) ) / ( D ^ 2 ) ) = ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
87 div23
 |-  ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( U ^ 2 ) ) / ( D ^ 2 ) ) = ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
88 86 87 eqtr3d
 |-  ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
89 81 82 85 88 syl3anc
 |-  ( ph -> ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
90 72 79 89 3eqtrd
 |-  ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) = ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
91 90 oveq2d
 |-  ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
92 df-3
 |-  3 = ( 2 + 1 )
93 92 oveq2i
 |-  ( U ^ 3 ) = ( U ^ ( 2 + 1 ) )
94 2nn0
 |-  2 e. NN0
95 expp1
 |-  ( ( U e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( U ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
96 64 94 95 sylancl
 |-  ( ph -> ( U ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
97 93 96 eqtrid
 |-  ( ph -> ( U ^ 3 ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
98 82 64 mulcomd
 |-  ( ph -> ( ( U ^ 2 ) x. U ) = ( U x. ( U ^ 2 ) ) )
99 97 98 eqtrd
 |-  ( ph -> ( U ^ 3 ) = ( U x. ( U ^ 2 ) ) )
100 99 oveq2d
 |-  ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) = ( F x. ( U x. ( U ^ 2 ) ) ) )
101 42 simp3d
 |-  ( ph -> F e. RR+ )
102 101 rpcnd
 |-  ( ph -> F e. CC )
103 102 64 82 mulassd
 |-  ( ph -> ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( F x. ( U x. ( U ^ 2 ) ) ) )
104 1cnd
 |-  ( ph -> 1 e. CC )
105 74 rpreccld
 |-  ( ph -> ( 1 / D ) e. RR+ )
106 105 rpcnd
 |-  ( ph -> ( 1 / D ) e. CC )
107 104 106 64 subdird
 |-  ( ph -> ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) = ( ( 1 x. U ) - ( ( 1 / D ) x. U ) ) )
108 64 mulid2d
 |-  ( ph -> ( 1 x. U ) = U )
109 64 75 76 divrec2d
 |-  ( ph -> ( U / D ) = ( ( 1 / D ) x. U ) )
110 9 109 eqtr2id
 |-  ( ph -> ( ( 1 / D ) x. U ) = E )
111 108 110 oveq12d
 |-  ( ph -> ( ( 1 x. U ) - ( ( 1 / D ) x. U ) ) = ( U - E ) )
112 107 111 eqtr2d
 |-  ( ph -> ( U - E ) = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) )
113 112 oveq1d
 |-  ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
114 6 oveq1i
 |-  ( F x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. U )
115 104 106 subcld
 |-  ( ph -> ( 1 - ( 1 / D ) ) e. CC )
116 80 84 rpdivcld
 |-  ( ph -> ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) e. RR+ )
117 116 rpcnd
 |-  ( ph -> ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) e. CC )
118 115 117 64 mul32d
 |-  ( ph -> ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
119 114 118 eqtrid
 |-  ( ph -> ( F x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
120 113 119 eqtr4d
 |-  ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( F x. U ) )
121 120 oveq1d
 |-  ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) )
122 40 rpcnd
 |-  ( ph -> ( U - E ) e. CC )
123 122 117 82 mulassd
 |-  ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
124 121 123 eqtr3d
 |-  ( ph -> ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
125 100 103 124 3eqtr2d
 |-  ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / ( ; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
126 91 125 eqtr4d
 |-  ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) = ( F x. ( U ^ 3 ) ) )
127 126 oveq2d
 |-  ( ph -> ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) ) = ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )
128 127 oveq1d
 |-  ( ph -> ( ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
129 67 128 eqtr3d
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
130 31 29 remulcld
 |-  ( ph -> ( U x. ( log ` Z ) ) e. RR )
131 130 59 resubcld
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
132 129 131 eqeltrrd
 |-  ( ph -> ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
133 22 rpred
 |-  ( ph -> Z e. RR )
134 21 simp2d
 |-  ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqrt ` Z ) /\ ( sqrt ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
135 134 simp1d
 |-  ( ph -> 1 < Z )
136 133 135 rplogcld
 |-  ( ph -> ( log ` Z ) e. RR+ )
137 37 136 rerpdivcld
 |-  ( ph -> ( 2 / ( log ` Z ) ) e. RR )
138 fzfid
 |-  ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
139 22 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. RR+ )
140 elfznn
 |-  ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) -> n e. NN )
141 140 adantl
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. NN )
142 141 nnrpd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
143 139 142 rpdivcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z / n ) e. RR+ )
144 23 ffvelrni
 |-  ( ( Z / n ) e. RR+ -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
145 143 144 syl
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
146 145 139 rerpdivcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. RR )
147 146 recnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. CC )
148 147 abscld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. RR )
149 142 relogcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
150 148 149 remulcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
151 138 150 fsumrecl
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
152 137 151 remulcld
 |-  ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
153 152 62 readdcld
 |-  ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) e. RR )
154 25 recnd
 |-  ( ph -> ( R ` Z ) e. CC )
155 154 abscld
 |-  ( ph -> ( abs ` ( R ` Z ) ) e. RR )
156 155 recnd
 |-  ( ph -> ( abs ` ( R ` Z ) ) e. CC )
157 156 66 mulcld
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
158 137 recnd
 |-  ( ph -> ( 2 / ( log ` Z ) ) e. CC )
159 145 recnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. CC )
160 159 abscld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. RR )
161 160 149 remulcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
162 138 161 fsumrecl
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
163 162 recnd
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
164 158 163 mulcld
 |-  ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
165 22 rpcnd
 |-  ( ph -> Z e. CC )
166 22 rpne0d
 |-  ( ph -> Z =/= 0 )
167 157 164 165 166 divsubdird
 |-  ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) - ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) ) )
168 156 66 165 166 div23d
 |-  ( ph -> ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) x. ( log ` Z ) ) )
169 154 165 166 absdivd
 |-  ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / ( abs ` Z ) ) )
170 22 rprege0d
 |-  ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
171 absid
 |-  ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( abs ` Z ) = Z )
172 170 171 syl
 |-  ( ph -> ( abs ` Z ) = Z )
173 172 oveq2d
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / ( abs ` Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) )
174 169 173 eqtrd
 |-  ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) )
175 174 oveq1d
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) x. ( log ` Z ) ) )
176 168 175 eqtr4d
 |-  ( ph -> ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) = ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
177 158 163 165 166 divassd
 |-  ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) ) )
178 165 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. CC )
179 166 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z =/= 0 )
180 159 178 179 absdivd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / ( abs ` Z ) ) )
181 172 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` Z ) = Z )
182 181 oveq2d
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / ( abs ` Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) )
183 180 182 eqtrd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) )
184 183 oveq1d
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
185 160 recnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. CC )
186 149 recnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
187 22 rpcnne0d
 |-  ( ph -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
188 187 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
189 div23
 |-  ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
190 185 186 188 189 syl3anc
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
191 184 190 eqtr4d
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
192 191 sumeq2dv
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
193 161 recnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
194 138 165 193 166 fsumdivc
 |-  ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
195 192 194 eqtr4d
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
196 195 oveq2d
 |-  ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) ) )
197 177 196 eqtr4d
 |-  ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
198 176 197 oveq12d
 |-  ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) - ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) ) = ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
199 167 198 eqtrd
 |-  ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
200 2fveq3
 |-  ( z = Z -> ( abs ` ( R ` z ) ) = ( abs ` ( R ` Z ) ) )
201 fveq2
 |-  ( z = Z -> ( log ` z ) = ( log ` Z ) )
202 200 201 oveq12d
 |-  ( z = Z -> ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
203 201 oveq2d
 |-  ( z = Z -> ( 2 / ( log ` z ) ) = ( 2 / ( log ` Z ) ) )
204 oveq2
 |-  ( i = n -> ( z / i ) = ( z / n ) )
205 204 fveq2d
 |-  ( i = n -> ( R ` ( z / i ) ) = ( R ` ( z / n ) ) )
206 205 fveq2d
 |-  ( i = n -> ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) = ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) )
207 fveq2
 |-  ( i = n -> ( log ` i ) = ( log ` n ) )
208 206 207 oveq12d
 |-  ( i = n -> ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
209 208 cbvsumv
 |-  sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) )
210 fvoveq1
 |-  ( z = Z -> ( |_ ` ( z / Y ) ) = ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
211 210 oveq2d
 |-  ( z = Z -> ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
212 simpl
 |-  ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> z = Z )
213 212 fvoveq1d
 |-  ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( z / n ) ) = ( R ` ( Z / n ) ) )
214 213 fveq2d
 |-  ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) = ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) )
215 214 oveq1d
 |-  ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
216 211 215 sumeq12rdv
 |-  ( z = Z -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
217 209 216 eqtrid
 |-  ( z = Z -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
218 203 217 oveq12d
 |-  ( z = Z -> ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
219 202 218 oveq12d
 |-  ( z = Z -> ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
220 id
 |-  ( z = Z -> z = Z )
221 219 220 oveq12d
 |-  ( z = Z -> ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) )
222 221 breq1d
 |-  ( z = Z -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C <-> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C ) )
223 1re
 |-  1 e. RR
224 rexr
 |-  ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
225 elioopnf
 |-  ( 1 e. RR* -> ( Z e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ 1 < Z ) ) )
226 223 224 225 mp2b
 |-  ( Z e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ 1 < Z ) )
227 133 135 226 sylanbrc
 |-  ( ph -> Z e. ( 1 (,) +oo ) )
228 222 20 227 rspcdva
 |-  ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C )
229 199 228 eqbrtrrd
 |-  ( ph -> ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ C )
230 30 152 62 lesubadd2d
 |-  ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ C <-> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) ) )
231 229 230 mpbid
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) )
232 2cnd
 |-  ( ph -> 2 e. CC )
233 148 recnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. CC )
234 233 186 mulcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
235 138 234 fsumcl
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
236 136 rpne0d
 |-  ( ph -> ( log ` Z ) =/= 0 )
237 232 235 66 236 div23d
 |-  ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
238 29 resqcld
 |-  ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. RR )
239 57 238 remulcld
 |-  ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) e. RR )
240 41 239 remulcld
 |-  ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
241 remulcl
 |-  ( ( 2 e. RR /\ ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
242 36 240 241 sylancr
 |-  ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
243 35 29 remulcld
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
244 remulcl
 |-  ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
245 36 151 244 sylancr
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
246 31 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> U e. RR )
247 246 141 nndivred
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. RR )
248 247 148 resubcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) e. RR )
249 248 149 remulcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
250 138 249 fsumrecl
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
251 37 250 remulcld
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
252 243 245 resubcld
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
253 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 pntlemf
 |-  ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
254 2pos
 |-  0 < 2
255 254 a1i
 |-  ( ph -> 0 < 2 )
256 lemul2
 |-  ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
257 240 250 37 255 256 syl112anc
 |-  ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
258 253 257 mpbid
 |-  ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
259 247 recnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. CC )
260 259 233 186 subdird
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
261 260 sumeq2dv
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
262 247 149 remulcld
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
263 262 recnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
264 138 263 234 fsumsub
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
265 261 264 eqtrd
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
266 265 oveq2d
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
267 138 262 fsumrecl
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
268 267 recnd
 |-  ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
269 232 268 235 subdid
 |-  ( ph -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
270 266 269 eqtrd
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
271 remulcl
 |-  ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
272 36 267 271 sylancr
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
273 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 pntlemk
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) )
274 272 243 245 273 lesub1dd
 |-  ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
275 270 274 eqbrtrd
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
276 242 251 252 258 275 letrd
 |-  ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
277 242 243 245 276 lesubd
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
278 35 recnd
 |-  ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) e. CC )
279 60 recnd
 |-  ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. CC )
280 278 279 66 subdird
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
281 59 recnd
 |-  ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
282 232 281 66 mulassd
 |-  ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
283 65 66 66 mulassd
 |-  ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
284 66 sqvald
 |-  ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) = ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) )
285 284 oveq2d
 |-  ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
286 56 rpcnd
 |-  ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) e. CC )
287 238 recnd
 |-  ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. CC )
288 122 286 287 mulassd
 |-  ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) )
289 283 285 288 3eqtr2d
 |-  ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) )
290 289 oveq2d
 |-  ( ph -> ( 2 x. ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) )
291 282 290 eqtrd
 |-  ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) )
292 291 oveq2d
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
293 280 292 eqtrd
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
294 277 293 breqtrrd
 |-  ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
295 245 61 136 ledivmul2d
 |-  ( ph -> ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) <-> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
296 294 295 mpbird
 |-  ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
297 237 296 eqbrtrrd
 |-  ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
298 152 61 62 297 leadd1dd
 |-  ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
299 30 153 63 231 298 letrd
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
300 remulcl
 |-  ( ( U e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( U x. 3 ) e. RR )
301 31 32 300 sylancl
 |-  ( ph -> ( U x. 3 ) e. RR )
302 301 62 readdcld
 |-  ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR )
303 21 simp3d
 |-  ( ph -> ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqrt ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
304 303 simp3d
 |-  ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
305 302 59 130 304 leadd2dd
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) <_ ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
306 33 recnd
 |-  ( ph -> 3 e. CC )
307 64 66 306 adddid
 |-  ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) )
308 307 oveq1d
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) = ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) + C ) )
309 130 recnd
 |-  ( ph -> ( U x. ( log ` Z ) ) e. CC )
310 64 306 mulcld
 |-  ( ph -> ( U x. 3 ) e. CC )
311 13 rpcnd
 |-  ( ph -> C e. CC )
312 309 310 311 addassd
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) + C ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
313 308 312 eqtrd
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
314 281 2timesd
 |-  ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
315 314 oveq2d
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
316 309 281 281 nppcan3d
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
317 315 316 eqtrd
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
318 305 313 317 3brtr4d
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
319 35 62 readdcld
 |-  ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) e. RR )
320 319 60 131 lesubaddd
 |-  ( ph -> ( ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) <_ ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) <-> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) ) )
321 318 320 mpbird
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) <_ ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
322 278 311 279 addsubd
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
323 321 322 129 3brtr3d
 |-  ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / ( ; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) <_ ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
324 30 63 132 299 323 letrd
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
325 3z
 |-  3 e. ZZ
326 rpexpcl
 |-  ( ( U e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> ( U ^ 3 ) e. RR+ )
327 7 325 326 sylancl
 |-  ( ph -> ( U ^ 3 ) e. RR+ )
328 101 327 rpmulcld
 |-  ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) e. RR+ )
329 328 rpred
 |-  ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) e. RR )
330 31 329 resubcld
 |-  ( ph -> ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) e. RR )
331 28 330 136 lemul1d
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) <_ ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) <-> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
332 324 331 mpbird
 |-  ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) <_ ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )