Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
poseq.1 |
|- R Po ( A u. { (/) } ) |
2 |
|
poseq.2 |
|- F = { f | E. x e. On f : x --> A } |
3 |
|
poseq.3 |
|- S = { <. f , g >. | ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) } |
4 |
|
feq2 |
|- ( x = b -> ( f : x --> A <-> f : b --> A ) ) |
5 |
4
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. On f : x --> A <-> E. b e. On f : b --> A ) |
6 |
5
|
abbii |
|- { f | E. x e. On f : x --> A } = { f | E. b e. On f : b --> A } |
7 |
2 6
|
eqtri |
|- F = { f | E. b e. On f : b --> A } |
8 |
7
|
orderseqlem |
|- ( a e. F -> ( a ` x ) e. ( A u. { (/) } ) ) |
9 |
|
poirr |
|- ( ( R Po ( A u. { (/) } ) /\ ( a ` x ) e. ( A u. { (/) } ) ) -> -. ( a ` x ) R ( a ` x ) ) |
10 |
1 8 9
|
sylancr |
|- ( a e. F -> -. ( a ` x ) R ( a ` x ) ) |
11 |
10
|
intnand |
|- ( a e. F -> -. ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( a e. F /\ x e. On ) -> -. ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) |
13 |
12
|
nrexdv |
|- ( a e. F -> -. E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( a e. F /\ a e. F ) -> -. E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) |
15 |
|
imnan |
|- ( ( ( a e. F /\ a e. F ) -> -. E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> -. ( ( a e. F /\ a e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) |
16 |
14 15
|
mpbi |
|- -. ( ( a e. F /\ a e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) |
17 |
|
vex |
|- a e. _V |
18 |
|
eleq1w |
|- ( f = a -> ( f e. F <-> a e. F ) ) |
19 |
18
|
anbi1d |
|- ( f = a -> ( ( f e. F /\ g e. F ) <-> ( a e. F /\ g e. F ) ) ) |
20 |
|
fveq1 |
|- ( f = a -> ( f ` y ) = ( a ` y ) ) |
21 |
20
|
eqeq1d |
|- ( f = a -> ( ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> ( a ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
22 |
21
|
ralbidv |
|- ( f = a -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
23 |
|
fveq1 |
|- ( f = a -> ( f ` x ) = ( a ` x ) ) |
24 |
23
|
breq1d |
|- ( f = a -> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) <-> ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) |
25 |
22 24
|
anbi12d |
|- ( f = a -> ( ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) ) |
26 |
25
|
rexbidv |
|- ( f = a -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) ) |
27 |
19 26
|
anbi12d |
|- ( f = a -> ( ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( a e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) ) ) |
28 |
|
eleq1w |
|- ( g = a -> ( g e. F <-> a e. F ) ) |
29 |
28
|
anbi2d |
|- ( g = a -> ( ( a e. F /\ g e. F ) <-> ( a e. F /\ a e. F ) ) ) |
30 |
|
fveq1 |
|- ( g = a -> ( g ` y ) = ( a ` y ) ) |
31 |
30
|
eqeq2d |
|- ( g = a -> ( ( a ` y ) = ( g ` y ) <-> ( a ` y ) = ( a ` y ) ) ) |
32 |
31
|
ralbidv |
|- ( g = a -> ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) ) ) |
33 |
|
fveq1 |
|- ( g = a -> ( g ` x ) = ( a ` x ) ) |
34 |
33
|
breq2d |
|- ( g = a -> ( ( a ` x ) R ( g ` x ) <-> ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) |
35 |
32 34
|
anbi12d |
|- ( g = a -> ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) |
36 |
35
|
rexbidv |
|- ( g = a -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) |
37 |
29 36
|
anbi12d |
|- ( g = a -> ( ( ( a e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( a e. F /\ a e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) ) |
38 |
17 17 27 37 3
|
brab |
|- ( a S a <-> ( ( a e. F /\ a e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( a ` y ) /\ ( a ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) |
39 |
16 38
|
mtbir |
|- -. a S a |
40 |
|
vex |
|- b e. _V |
41 |
|
raleq |
|- ( x = z -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. z ( f ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
42 |
|
fveq2 |
|- ( x = z -> ( f ` x ) = ( f ` z ) ) |
43 |
|
fveq2 |
|- ( x = z -> ( g ` x ) = ( g ` z ) ) |
44 |
42 43
|
breq12d |
|- ( x = z -> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) <-> ( f ` z ) R ( g ` z ) ) ) |
45 |
41 44
|
anbi12d |
|- ( x = z -> ( ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. z ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` z ) R ( g ` z ) ) ) ) |
46 |
45
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. z e. On ( A. y e. z ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` z ) R ( g ` z ) ) ) |
47 |
21
|
ralbidv |
|- ( f = a -> ( A. y e. z ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
48 |
|
fveq1 |
|- ( f = a -> ( f ` z ) = ( a ` z ) ) |
49 |
48
|
breq1d |
|- ( f = a -> ( ( f ` z ) R ( g ` z ) <-> ( a ` z ) R ( g ` z ) ) ) |
50 |
47 49
|
anbi12d |
|- ( f = a -> ( ( A. y e. z ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` z ) R ( g ` z ) ) <-> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` z ) R ( g ` z ) ) ) ) |
51 |
50
|
rexbidv |
|- ( f = a -> ( E. z e. On ( A. y e. z ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` z ) R ( g ` z ) ) <-> E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` z ) R ( g ` z ) ) ) ) |
52 |
46 51
|
syl5bb |
|- ( f = a -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` z ) R ( g ` z ) ) ) ) |
53 |
19 52
|
anbi12d |
|- ( f = a -> ( ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( a e. F /\ g e. F ) /\ E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` z ) R ( g ` z ) ) ) ) ) |
54 |
|
eleq1w |
|- ( g = b -> ( g e. F <-> b e. F ) ) |
55 |
54
|
anbi2d |
|- ( g = b -> ( ( a e. F /\ g e. F ) <-> ( a e. F /\ b e. F ) ) ) |
56 |
|
fveq1 |
|- ( g = b -> ( g ` y ) = ( b ` y ) ) |
57 |
56
|
eqeq2d |
|- ( g = b -> ( ( a ` y ) = ( g ` y ) <-> ( a ` y ) = ( b ` y ) ) ) |
58 |
57
|
ralbidv |
|- ( g = b -> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) ) ) |
59 |
|
fveq1 |
|- ( g = b -> ( g ` z ) = ( b ` z ) ) |
60 |
59
|
breq2d |
|- ( g = b -> ( ( a ` z ) R ( g ` z ) <-> ( a ` z ) R ( b ` z ) ) ) |
61 |
58 60
|
anbi12d |
|- ( g = b -> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` z ) R ( g ` z ) ) <-> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) ) ) |
62 |
61
|
rexbidv |
|- ( g = b -> ( E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` z ) R ( g ` z ) ) <-> E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) ) ) |
63 |
55 62
|
anbi12d |
|- ( g = b -> ( ( ( a e. F /\ g e. F ) /\ E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` z ) R ( g ` z ) ) ) <-> ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) ) ) ) |
64 |
17 40 53 63 3
|
brab |
|- ( a S b <-> ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) ) ) |
65 |
|
vex |
|- c e. _V |
66 |
|
eleq1w |
|- ( f = b -> ( f e. F <-> b e. F ) ) |
67 |
66
|
anbi1d |
|- ( f = b -> ( ( f e. F /\ g e. F ) <-> ( b e. F /\ g e. F ) ) ) |
68 |
|
raleq |
|- ( x = w -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. w ( f ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
69 |
|
fveq2 |
|- ( x = w -> ( f ` x ) = ( f ` w ) ) |
70 |
|
fveq2 |
|- ( x = w -> ( g ` x ) = ( g ` w ) ) |
71 |
69 70
|
breq12d |
|- ( x = w -> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) <-> ( f ` w ) R ( g ` w ) ) ) |
72 |
68 71
|
anbi12d |
|- ( x = w -> ( ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. w ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` w ) R ( g ` w ) ) ) ) |
73 |
72
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. w e. On ( A. y e. w ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` w ) R ( g ` w ) ) ) |
74 |
|
fveq1 |
|- ( f = b -> ( f ` y ) = ( b ` y ) ) |
75 |
74
|
eqeq1d |
|- ( f = b -> ( ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> ( b ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
76 |
75
|
ralbidv |
|- ( f = b -> ( A. y e. w ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
77 |
|
fveq1 |
|- ( f = b -> ( f ` w ) = ( b ` w ) ) |
78 |
77
|
breq1d |
|- ( f = b -> ( ( f ` w ) R ( g ` w ) <-> ( b ` w ) R ( g ` w ) ) ) |
79 |
76 78
|
anbi12d |
|- ( f = b -> ( ( A. y e. w ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` w ) R ( g ` w ) ) <-> ( A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` w ) R ( g ` w ) ) ) ) |
80 |
79
|
rexbidv |
|- ( f = b -> ( E. w e. On ( A. y e. w ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` w ) R ( g ` w ) ) <-> E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` w ) R ( g ` w ) ) ) ) |
81 |
73 80
|
syl5bb |
|- ( f = b -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` w ) R ( g ` w ) ) ) ) |
82 |
67 81
|
anbi12d |
|- ( f = b -> ( ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( b e. F /\ g e. F ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` w ) R ( g ` w ) ) ) ) ) |
83 |
|
eleq1w |
|- ( g = c -> ( g e. F <-> c e. F ) ) |
84 |
83
|
anbi2d |
|- ( g = c -> ( ( b e. F /\ g e. F ) <-> ( b e. F /\ c e. F ) ) ) |
85 |
|
fveq1 |
|- ( g = c -> ( g ` y ) = ( c ` y ) ) |
86 |
85
|
eqeq2d |
|- ( g = c -> ( ( b ` y ) = ( g ` y ) <-> ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
87 |
86
|
ralbidv |
|- ( g = c -> ( A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
88 |
|
fveq1 |
|- ( g = c -> ( g ` w ) = ( c ` w ) ) |
89 |
88
|
breq2d |
|- ( g = c -> ( ( b ` w ) R ( g ` w ) <-> ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) |
90 |
87 89
|
anbi12d |
|- ( g = c -> ( ( A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` w ) R ( g ` w ) ) <-> ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
91 |
90
|
rexbidv |
|- ( g = c -> ( E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` w ) R ( g ` w ) ) <-> E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
92 |
84 91
|
anbi12d |
|- ( g = c -> ( ( ( b e. F /\ g e. F ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` w ) R ( g ` w ) ) ) <-> ( ( b e. F /\ c e. F ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) ) |
93 |
40 65 82 92 3
|
brab |
|- ( b S c <-> ( ( b e. F /\ c e. F ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
94 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) /\ ( E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> a e. F ) |
95 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) /\ ( E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> c e. F ) |
96 |
|
an4 |
|- ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) <-> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
97 |
96
|
2rexbii |
|- ( E. z e. On E. w e. On ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) <-> E. z e. On E. w e. On ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
98 |
|
reeanv |
|- ( E. z e. On E. w e. On ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) <-> ( E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
99 |
97 98
|
bitri |
|- ( E. z e. On E. w e. On ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) <-> ( E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
100 |
|
eloni |
|- ( z e. On -> Ord z ) |
101 |
|
eloni |
|- ( w e. On -> Ord w ) |
102 |
|
ordtri3or |
|- ( ( Ord z /\ Ord w ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) |
103 |
100 101 102
|
syl2an |
|- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) |
104 |
|
simp1l |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ z e. w /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> z e. On ) |
105 |
|
onelss |
|- ( w e. On -> ( z e. w -> z C_ w ) ) |
106 |
105
|
imp |
|- ( ( w e. On /\ z e. w ) -> z C_ w ) |
107 |
106
|
adantll |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ z e. w ) -> z C_ w ) |
108 |
|
ssralv |
|- ( z C_ w -> ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) -> A. y e. z ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
109 |
108
|
anim2d |
|- ( z C_ w -> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. z ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) ) |
110 |
|
r19.26 |
|- ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) <-> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. z ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
111 |
109 110
|
syl6ibr |
|- ( z C_ w -> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) ) |
112 |
|
eqtr |
|- ( ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> ( a ` y ) = ( c ` y ) ) |
113 |
112
|
ralimi |
|- ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) ) |
114 |
111 113
|
syl6 |
|- ( z C_ w -> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
115 |
107 114
|
syl |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ z e. w ) -> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
116 |
115
|
adantrd |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ z e. w ) -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
117 |
116
|
3impia |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ z e. w /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) ) |
118 |
|
fveq2 |
|- ( y = z -> ( b ` y ) = ( b ` z ) ) |
119 |
|
fveq2 |
|- ( y = z -> ( c ` y ) = ( c ` z ) ) |
120 |
118 119
|
eqeq12d |
|- ( y = z -> ( ( b ` y ) = ( c ` y ) <-> ( b ` z ) = ( c ` z ) ) ) |
121 |
120
|
rspcv |
|- ( z e. w -> ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) -> ( b ` z ) = ( c ` z ) ) ) |
122 |
|
breq2 |
|- ( ( b ` z ) = ( c ` z ) -> ( ( a ` z ) R ( b ` z ) <-> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
123 |
122
|
biimpd |
|- ( ( b ` z ) = ( c ` z ) -> ( ( a ` z ) R ( b ` z ) -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
124 |
121 123
|
syl6 |
|- ( z e. w -> ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) -> ( ( a ` z ) R ( b ` z ) -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) ) |
125 |
124
|
com3l |
|- ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) -> ( ( a ` z ) R ( b ` z ) -> ( z e. w -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) ) |
126 |
125
|
imp |
|- ( ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) -> ( z e. w -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
127 |
126
|
ad2ant2lr |
|- ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( z e. w -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
128 |
127
|
impcom |
|- ( ( z e. w /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) |
129 |
128
|
3adant1 |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ z e. w /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) |
130 |
|
raleq |
|- ( t = z -> ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) <-> A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
131 |
|
fveq2 |
|- ( t = z -> ( a ` t ) = ( a ` z ) ) |
132 |
|
fveq2 |
|- ( t = z -> ( c ` t ) = ( c ` z ) ) |
133 |
131 132
|
breq12d |
|- ( t = z -> ( ( a ` t ) R ( c ` t ) <-> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
134 |
130 133
|
anbi12d |
|- ( t = z -> ( ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) <-> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) ) |
135 |
134
|
rspcev |
|- ( ( z e. On /\ ( A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) |
136 |
104 117 129 135
|
syl12anc |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ z e. w /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) |
137 |
136
|
a1d |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ z e. w /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
138 |
137
|
3exp |
|- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z e. w -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) ) |
139 |
2
|
orderseqlem |
|- ( a e. F -> ( a ` z ) e. ( A u. { (/) } ) ) |
140 |
139
|
ad2antrr |
|- ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> ( a ` z ) e. ( A u. { (/) } ) ) |
141 |
2
|
orderseqlem |
|- ( b e. F -> ( b ` z ) e. ( A u. { (/) } ) ) |
142 |
141
|
ad2antlr |
|- ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> ( b ` z ) e. ( A u. { (/) } ) ) |
143 |
2
|
orderseqlem |
|- ( c e. F -> ( c ` z ) e. ( A u. { (/) } ) ) |
144 |
143
|
ad2antll |
|- ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> ( c ` z ) e. ( A u. { (/) } ) ) |
145 |
140 142 144
|
3jca |
|- ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> ( ( a ` z ) e. ( A u. { (/) } ) /\ ( b ` z ) e. ( A u. { (/) } ) /\ ( c ` z ) e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
146 |
|
potr |
|- ( ( R Po ( A u. { (/) } ) /\ ( ( a ` z ) e. ( A u. { (/) } ) /\ ( b ` z ) e. ( A u. { (/) } ) /\ ( c ` z ) e. ( A u. { (/) } ) ) ) -> ( ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
147 |
1 145 146
|
sylancr |
|- ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> ( ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
148 |
147
|
impcom |
|- ( ( ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) /\ ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) ) -> ( a ` z ) R ( c ` z ) ) |
149 |
113 148
|
anim12i |
|- ( ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) /\ ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) ) ) -> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
150 |
149
|
anassrs |
|- ( ( ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) ) /\ ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) ) -> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` z ) R ( c ` z ) ) ) |
151 |
150 135
|
sylan2 |
|- ( ( z e. On /\ ( ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) ) /\ ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) |
152 |
151
|
exp32 |
|- ( z e. On -> ( ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) |
153 |
|
raleq |
|- ( z = w -> ( A. y e. z ( b ` y ) = ( c ` y ) <-> A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
154 |
153
|
anbi2d |
|- ( z = w -> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. z ( b ` y ) = ( c ` y ) ) <-> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) ) |
155 |
110 154
|
syl5bb |
|- ( z = w -> ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) <-> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) ) |
156 |
|
fveq2 |
|- ( z = w -> ( b ` z ) = ( b ` w ) ) |
157 |
|
fveq2 |
|- ( z = w -> ( c ` z ) = ( c ` w ) ) |
158 |
156 157
|
breq12d |
|- ( z = w -> ( ( b ` z ) R ( c ` z ) <-> ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) |
159 |
158
|
anbi2d |
|- ( z = w -> ( ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) <-> ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
160 |
155 159
|
anbi12d |
|- ( z = w -> ( ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) ) <-> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) ) |
161 |
160
|
imbi1d |
|- ( z = w -> ( ( ( A. y e. z ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` z ) R ( c ` z ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) <-> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) ) |
162 |
152 161
|
syl5ibcom |
|- ( z e. On -> ( z = w -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) ) |
163 |
162
|
adantr |
|- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z = w -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) ) |
164 |
|
simp1r |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ w e. z /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> w e. On ) |
165 |
|
onelss |
|- ( z e. On -> ( w e. z -> w C_ z ) ) |
166 |
165
|
imp |
|- ( ( z e. On /\ w e. z ) -> w C_ z ) |
167 |
166
|
adantlr |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ w e. z ) -> w C_ z ) |
168 |
|
ssralv |
|- ( w C_ z -> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) -> A. y e. w ( a ` y ) = ( b ` y ) ) ) |
169 |
168
|
anim1d |
|- ( w C_ z -> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> ( A. y e. w ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) ) |
170 |
|
r19.26 |
|- ( A. y e. w ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) <-> ( A. y e. w ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
171 |
112
|
ralimi |
|- ( A. y e. w ( ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) ) |
172 |
170 171
|
sylbir |
|- ( ( A. y e. w ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) ) |
173 |
169 172
|
syl6 |
|- ( w C_ z -> ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) -> A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
174 |
173
|
adantrd |
|- ( w C_ z -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
175 |
167 174
|
syl |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ w e. z ) -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
176 |
175
|
3impia |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ w e. z /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) ) |
177 |
|
fveq2 |
|- ( y = w -> ( a ` y ) = ( a ` w ) ) |
178 |
|
fveq2 |
|- ( y = w -> ( b ` y ) = ( b ` w ) ) |
179 |
177 178
|
eqeq12d |
|- ( y = w -> ( ( a ` y ) = ( b ` y ) <-> ( a ` w ) = ( b ` w ) ) ) |
180 |
179
|
rspcv |
|- ( w e. z -> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( a ` w ) = ( b ` w ) ) ) |
181 |
|
breq1 |
|- ( ( a ` w ) = ( b ` w ) -> ( ( a ` w ) R ( c ` w ) <-> ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) |
182 |
181
|
biimprd |
|- ( ( a ` w ) = ( b ` w ) -> ( ( b ` w ) R ( c ` w ) -> ( a ` w ) R ( c ` w ) ) ) |
183 |
180 182
|
syl6 |
|- ( w e. z -> ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( ( b ` w ) R ( c ` w ) -> ( a ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
184 |
183
|
com3l |
|- ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( ( b ` w ) R ( c ` w ) -> ( w e. z -> ( a ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
185 |
184
|
imp |
|- ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) -> ( w e. z -> ( a ` w ) R ( c ` w ) ) ) |
186 |
185
|
ad2ant2rl |
|- ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( w e. z -> ( a ` w ) R ( c ` w ) ) ) |
187 |
186
|
impcom |
|- ( ( w e. z /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> ( a ` w ) R ( c ` w ) ) |
188 |
187
|
3adant1 |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ w e. z /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> ( a ` w ) R ( c ` w ) ) |
189 |
|
raleq |
|- ( t = w -> ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) <-> A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
190 |
|
fveq2 |
|- ( t = w -> ( a ` t ) = ( a ` w ) ) |
191 |
|
fveq2 |
|- ( t = w -> ( c ` t ) = ( c ` w ) ) |
192 |
190 191
|
breq12d |
|- ( t = w -> ( ( a ` t ) R ( c ` t ) <-> ( a ` w ) R ( c ` w ) ) ) |
193 |
189 192
|
anbi12d |
|- ( t = w -> ( ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) <-> ( A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) |
194 |
193
|
rspcev |
|- ( ( w e. On /\ ( A. y e. w ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) |
195 |
164 176 188 194
|
syl12anc |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ w e. z /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) |
196 |
195
|
a1d |
|- ( ( ( z e. On /\ w e. On ) /\ w e. z /\ ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
197 |
196
|
3exp |
|- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( w e. z -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) ) |
198 |
138 163 197
|
3jaod |
|- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) ) |
199 |
103 198
|
mpd |
|- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) |
200 |
199
|
rexlimivv |
|- ( E. z e. On E. w e. On ( ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) ) /\ ( ( a ` z ) R ( b ` z ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
201 |
99 200
|
sylbir |
|- ( ( E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) -> ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
202 |
201
|
impcom |
|- ( ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) /\ ( E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) |
203 |
94 95 202
|
jca31 |
|- ( ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ ( b e. F /\ c e. F ) ) /\ ( E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> ( ( a e. F /\ c e. F ) /\ E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
204 |
203
|
an4s |
|- ( ( ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ E. z e. On ( A. y e. z ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` z ) R ( b ` z ) ) ) /\ ( ( b e. F /\ c e. F ) /\ E. w e. On ( A. y e. w ( b ` y ) = ( c ` y ) /\ ( b ` w ) R ( c ` w ) ) ) ) -> ( ( a e. F /\ c e. F ) /\ E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
205 |
64 93 204
|
syl2anb |
|- ( ( a S b /\ b S c ) -> ( ( a e. F /\ c e. F ) /\ E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
206 |
|
raleq |
|- ( x = t -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. t ( f ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
207 |
|
fveq2 |
|- ( x = t -> ( f ` x ) = ( f ` t ) ) |
208 |
|
fveq2 |
|- ( x = t -> ( g ` x ) = ( g ` t ) ) |
209 |
207 208
|
breq12d |
|- ( x = t -> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) <-> ( f ` t ) R ( g ` t ) ) ) |
210 |
206 209
|
anbi12d |
|- ( x = t -> ( ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. t ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` t ) R ( g ` t ) ) ) ) |
211 |
210
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. t e. On ( A. y e. t ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` t ) R ( g ` t ) ) ) |
212 |
21
|
ralbidv |
|- ( f = a -> ( A. y e. t ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) ) ) |
213 |
|
fveq1 |
|- ( f = a -> ( f ` t ) = ( a ` t ) ) |
214 |
213
|
breq1d |
|- ( f = a -> ( ( f ` t ) R ( g ` t ) <-> ( a ` t ) R ( g ` t ) ) ) |
215 |
212 214
|
anbi12d |
|- ( f = a -> ( ( A. y e. t ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` t ) R ( g ` t ) ) <-> ( A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` t ) R ( g ` t ) ) ) ) |
216 |
215
|
rexbidv |
|- ( f = a -> ( E. t e. On ( A. y e. t ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` t ) R ( g ` t ) ) <-> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` t ) R ( g ` t ) ) ) ) |
217 |
211 216
|
syl5bb |
|- ( f = a -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` t ) R ( g ` t ) ) ) ) |
218 |
19 217
|
anbi12d |
|- ( f = a -> ( ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( a e. F /\ g e. F ) /\ E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` t ) R ( g ` t ) ) ) ) ) |
219 |
83
|
anbi2d |
|- ( g = c -> ( ( a e. F /\ g e. F ) <-> ( a e. F /\ c e. F ) ) ) |
220 |
85
|
eqeq2d |
|- ( g = c -> ( ( a ` y ) = ( g ` y ) <-> ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
221 |
220
|
ralbidv |
|- ( g = c -> ( A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
222 |
|
fveq1 |
|- ( g = c -> ( g ` t ) = ( c ` t ) ) |
223 |
222
|
breq2d |
|- ( g = c -> ( ( a ` t ) R ( g ` t ) <-> ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) |
224 |
221 223
|
anbi12d |
|- ( g = c -> ( ( A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` t ) R ( g ` t ) ) <-> ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
225 |
224
|
rexbidv |
|- ( g = c -> ( E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` t ) R ( g ` t ) ) <-> E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
226 |
219 225
|
anbi12d |
|- ( g = c -> ( ( ( a e. F /\ g e. F ) /\ E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` t ) R ( g ` t ) ) ) <-> ( ( a e. F /\ c e. F ) /\ E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) ) |
227 |
17 65 218 226 3
|
brab |
|- ( a S c <-> ( ( a e. F /\ c e. F ) /\ E. t e. On ( A. y e. t ( a ` y ) = ( c ` y ) /\ ( a ` t ) R ( c ` t ) ) ) ) |
228 |
205 227
|
sylibr |
|- ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) |
229 |
39 228
|
pm3.2i |
|- ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) |
230 |
229
|
a1i |
|- ( ( a e. F /\ b e. F /\ c e. F ) -> ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) ) |
231 |
230
|
rgen3 |
|- A. a e. F A. b e. F A. c e. F ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) |
232 |
|
df-po |
|- ( S Po F <-> A. a e. F A. b e. F A. c e. F ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) ) |
233 |
231 232
|
mpbir |
|- S Po F |