Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
derang.d |
|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
2 |
|
subfac.n |
|- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) ) |
3 |
|
subfacp1lem.a |
|- A = { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) } |
4 |
|
subfacp1lem1.n |
|- ( ph -> N e. NN ) |
5 |
|
subfacp1lem1.m |
|- ( ph -> M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) ) |
6 |
|
subfacp1lem1.x |
|- M e. _V |
7 |
|
subfacp1lem1.k |
|- K = ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } ) |
8 |
|
subfacp1lem3.b |
|- B = { g e. A | ( ( g ` 1 ) = M /\ ( g ` M ) = 1 ) } |
9 |
|
subfacp1lem3.c |
|- C = { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } |
10 |
|
fzfi |
|- ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin |
11 |
|
deranglem |
|- ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin -> { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin ) |
12 |
10 11
|
ax-mp |
|- { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin |
13 |
3 12
|
eqeltri |
|- A e. Fin |
14 |
8
|
ssrab3 |
|- B C_ A |
15 |
|
ssfi |
|- ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin ) |
16 |
13 14 15
|
mp2an |
|- B e. Fin |
17 |
16
|
elexi |
|- B e. _V |
18 |
17
|
a1i |
|- ( ph -> B e. _V ) |
19 |
|
eqid |
|- ( b e. B |-> ( b |` K ) ) = ( b e. B |-> ( b |` K ) ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. B ) |
21 |
|
fveq1 |
|- ( g = b -> ( g ` 1 ) = ( b ` 1 ) ) |
22 |
21
|
eqeq1d |
|- ( g = b -> ( ( g ` 1 ) = M <-> ( b ` 1 ) = M ) ) |
23 |
|
fveq1 |
|- ( g = b -> ( g ` M ) = ( b ` M ) ) |
24 |
23
|
eqeq1d |
|- ( g = b -> ( ( g ` M ) = 1 <-> ( b ` M ) = 1 ) ) |
25 |
22 24
|
anbi12d |
|- ( g = b -> ( ( ( g ` 1 ) = M /\ ( g ` M ) = 1 ) <-> ( ( b ` 1 ) = M /\ ( b ` M ) = 1 ) ) ) |
26 |
25 8
|
elrab2 |
|- ( b e. B <-> ( b e. A /\ ( ( b ` 1 ) = M /\ ( b ` M ) = 1 ) ) ) |
27 |
20 26
|
sylib |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b e. A /\ ( ( b ` 1 ) = M /\ ( b ` M ) = 1 ) ) ) |
28 |
27
|
simpld |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. A ) |
29 |
|
vex |
|- b e. _V |
30 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = b -> ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) |
31 |
|
fveq1 |
|- ( f = b -> ( f ` y ) = ( b ` y ) ) |
32 |
31
|
neeq1d |
|- ( f = b -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( b ` y ) =/= y ) ) |
33 |
32
|
ralbidv |
|- ( f = b -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) ) |
34 |
30 33
|
anbi12d |
|- ( f = b -> ( ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) <-> ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) ) ) |
35 |
29 34 3
|
elab2 |
|- ( b e. A <-> ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) ) |
36 |
28 35
|
sylib |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) ) |
37 |
36
|
simpld |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
38 |
|
f1of1 |
|- ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
39 |
|
df-f1 |
|- ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ Fun `' b ) ) |
40 |
39
|
simprbi |
|- ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> Fun `' b ) |
41 |
37 38 40
|
3syl |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> Fun `' b ) |
42 |
|
f1ofn |
|- ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
43 |
37 42
|
syl |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
44 |
|
fnresdm |
|- ( b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) = b ) |
45 |
|
f1oeq1 |
|- ( ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) = b -> ( ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) |
46 |
43 44 45
|
3syl |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) |
47 |
37 46
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
48 |
|
f1ofo |
|- ( ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
49 |
47 48
|
syl |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
50 |
|
ssun2 |
|- { 1 , M } C_ ( K u. { 1 , M } ) |
51 |
1 2 3 4 5 6 7
|
subfacp1lem1 |
|- ( ph -> ( ( K i^i { 1 , M } ) = (/) /\ ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( # ` K ) = ( N - 1 ) ) ) |
52 |
51
|
simp2d |
|- ( ph -> ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
53 |
50 52
|
sseqtrid |
|- ( ph -> { 1 , M } C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
54 |
53
|
adantr |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> { 1 , M } C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
55 |
43 54
|
fnssresd |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` { 1 , M } ) Fn { 1 , M } ) |
56 |
27
|
simprd |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( b ` 1 ) = M /\ ( b ` M ) = 1 ) ) |
57 |
56
|
simpld |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b ` 1 ) = M ) |
58 |
6
|
prid2 |
|- M e. { 1 , M } |
59 |
57 58
|
eqeltrdi |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b ` 1 ) e. { 1 , M } ) |
60 |
56
|
simprd |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b ` M ) = 1 ) |
61 |
|
1ex |
|- 1 e. _V |
62 |
61
|
prid1 |
|- 1 e. { 1 , M } |
63 |
60 62
|
eqeltrdi |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b ` M ) e. { 1 , M } ) |
64 |
|
fveq2 |
|- ( x = 1 -> ( b ` x ) = ( b ` 1 ) ) |
65 |
64
|
eleq1d |
|- ( x = 1 -> ( ( b ` x ) e. { 1 , M } <-> ( b ` 1 ) e. { 1 , M } ) ) |
66 |
|
fveq2 |
|- ( x = M -> ( b ` x ) = ( b ` M ) ) |
67 |
66
|
eleq1d |
|- ( x = M -> ( ( b ` x ) e. { 1 , M } <-> ( b ` M ) e. { 1 , M } ) ) |
68 |
61 6 65 67
|
ralpr |
|- ( A. x e. { 1 , M } ( b ` x ) e. { 1 , M } <-> ( ( b ` 1 ) e. { 1 , M } /\ ( b ` M ) e. { 1 , M } ) ) |
69 |
59 63 68
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. x e. { 1 , M } ( b ` x ) e. { 1 , M } ) |
70 |
|
fvres |
|- ( x e. { 1 , M } -> ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) = ( b ` x ) ) |
71 |
70
|
eleq1d |
|- ( x e. { 1 , M } -> ( ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) e. { 1 , M } <-> ( b ` x ) e. { 1 , M } ) ) |
72 |
71
|
ralbiia |
|- ( A. x e. { 1 , M } ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) e. { 1 , M } <-> A. x e. { 1 , M } ( b ` x ) e. { 1 , M } ) |
73 |
69 72
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. x e. { 1 , M } ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) e. { 1 , M } ) |
74 |
|
ffnfv |
|- ( ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } --> { 1 , M } <-> ( ( b |` { 1 , M } ) Fn { 1 , M } /\ A. x e. { 1 , M } ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) e. { 1 , M } ) ) |
75 |
55 73 74
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } --> { 1 , M } ) |
76 |
|
fveqeq2 |
|- ( y = M -> ( ( b ` y ) = 1 <-> ( b ` M ) = 1 ) ) |
77 |
76
|
rspcev |
|- ( ( M e. { 1 , M } /\ ( b ` M ) = 1 ) -> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = 1 ) |
78 |
58 60 77
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = 1 ) |
79 |
|
fveqeq2 |
|- ( y = 1 -> ( ( b ` y ) = M <-> ( b ` 1 ) = M ) ) |
80 |
79
|
rspcev |
|- ( ( 1 e. { 1 , M } /\ ( b ` 1 ) = M ) -> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = M ) |
81 |
62 57 80
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = M ) |
82 |
|
eqeq2 |
|- ( x = 1 -> ( ( b ` y ) = x <-> ( b ` y ) = 1 ) ) |
83 |
82
|
rexbidv |
|- ( x = 1 -> ( E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x <-> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = 1 ) ) |
84 |
|
eqeq2 |
|- ( x = M -> ( ( b ` y ) = x <-> ( b ` y ) = M ) ) |
85 |
84
|
rexbidv |
|- ( x = M -> ( E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x <-> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = M ) ) |
86 |
61 6 83 85
|
ralpr |
|- ( A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x <-> ( E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = 1 /\ E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = M ) ) |
87 |
78 81 86
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x ) |
88 |
|
eqcom |
|- ( x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) <-> ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) = x ) |
89 |
|
fvres |
|- ( y e. { 1 , M } -> ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) = ( b ` y ) ) |
90 |
89
|
eqeq1d |
|- ( y e. { 1 , M } -> ( ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) = x <-> ( b ` y ) = x ) ) |
91 |
88 90
|
syl5bb |
|- ( y e. { 1 , M } -> ( x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) <-> ( b ` y ) = x ) ) |
92 |
91
|
rexbiia |
|- ( E. y e. { 1 , M } x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) <-> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x ) |
93 |
92
|
ralbii |
|- ( A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) <-> A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x ) |
94 |
87 93
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) ) |
95 |
|
dffo3 |
|- ( ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } -onto-> { 1 , M } <-> ( ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } --> { 1 , M } /\ A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) ) ) |
96 |
75 94 95
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } -onto-> { 1 , M } ) |
97 |
|
resdif |
|- ( ( Fun `' b /\ ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } -onto-> { 1 , M } ) -> ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) |
98 |
41 49 96 97
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) |
99 |
|
uncom |
|- ( { 1 , M } u. K ) = ( K u. { 1 , M } ) |
100 |
99 52
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( { 1 , M } u. K ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
101 |
|
incom |
|- ( { 1 , M } i^i K ) = ( K i^i { 1 , M } ) |
102 |
51
|
simp1d |
|- ( ph -> ( K i^i { 1 , M } ) = (/) ) |
103 |
101 102
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( { 1 , M } i^i K ) = (/) ) |
104 |
|
uneqdifeq |
|- ( ( { 1 , M } C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( { 1 , M } i^i K ) = (/) ) -> ( ( { 1 , M } u. K ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K ) ) |
105 |
53 103 104
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( { 1 , M } u. K ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K ) ) |
106 |
100 105
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K ) |
107 |
106
|
adantr |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K ) |
108 |
|
reseq2 |
|- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) = ( b |` K ) ) |
109 |
|
f1oeq1 |
|- ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) = ( b |` K ) -> ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) ) |
110 |
108 109
|
syl |
|- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) ) |
111 |
|
f1oeq2 |
|- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( ( b |` K ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) ) |
112 |
|
f1oeq3 |
|- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( ( b |` K ) : K -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) ) |
113 |
110 111 112
|
3bitrd |
|- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) ) |
114 |
107 113
|
syl |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) ) |
115 |
98 114
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) |
116 |
|
ssun1 |
|- K C_ ( K u. { 1 , M } ) |
117 |
116 52
|
sseqtrid |
|- ( ph -> K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
118 |
117
|
adantr |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
119 |
36
|
simprd |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) |
120 |
|
ssralv |
|- ( K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y -> A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) ) |
121 |
118 119 120
|
sylc |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) |
122 |
29
|
resex |
|- ( b |` K ) e. _V |
123 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = ( b |` K ) -> ( f : K -1-1-onto-> K <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) ) |
124 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( b |` K ) -> ( f ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) ) |
125 |
|
fvres |
|- ( y e. K -> ( ( b |` K ) ` y ) = ( b ` y ) ) |
126 |
124 125
|
sylan9eq |
|- ( ( f = ( b |` K ) /\ y e. K ) -> ( f ` y ) = ( b ` y ) ) |
127 |
126
|
neeq1d |
|- ( ( f = ( b |` K ) /\ y e. K ) -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( b ` y ) =/= y ) ) |
128 |
127
|
ralbidva |
|- ( f = ( b |` K ) -> ( A. y e. K ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) ) |
129 |
123 128
|
anbi12d |
|- ( f = ( b |` K ) -> ( ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) <-> ( ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) ) ) |
130 |
122 129 9
|
elab2 |
|- ( ( b |` K ) e. C <-> ( ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) ) |
131 |
115 121 130
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` K ) e. C ) |
132 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> N e. NN ) |
133 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) ) |
134 |
|
eqid |
|- ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) |
135 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> c e. C ) |
136 |
|
vex |
|- c e. _V |
137 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = c -> ( f : K -1-1-onto-> K <-> c : K -1-1-onto-> K ) ) |
138 |
|
fveq1 |
|- ( f = c -> ( f ` y ) = ( c ` y ) ) |
139 |
138
|
neeq1d |
|- ( f = c -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( c ` y ) =/= y ) ) |
140 |
139
|
ralbidv |
|- ( f = c -> ( A. y e. K ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) ) |
141 |
137 140
|
anbi12d |
|- ( f = c -> ( ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) <-> ( c : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) ) ) |
142 |
136 141 9
|
elab2 |
|- ( c e. C <-> ( c : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) ) |
143 |
135 142
|
sylib |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( c : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) ) |
144 |
143
|
simpld |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> c : K -1-1-onto-> K ) |
145 |
1 2 3 132 133 6 7 134 144
|
subfacp1lem2a |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) ) |
146 |
145
|
simp1d |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
147 |
1 2 3 132 133 6 7 134 144
|
subfacp1lem2b |
|- ( ( ( ph /\ c e. C ) /\ y e. K ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) = ( c ` y ) ) |
148 |
143
|
simprd |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) |
149 |
148
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ph /\ c e. C ) /\ y e. K ) -> ( c ` y ) =/= y ) |
150 |
147 149
|
eqnetrd |
|- ( ( ( ph /\ c e. C ) /\ y e. K ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) |
151 |
150
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. K ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) |
152 |
145
|
simp2d |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M ) |
153 |
|
elfzuz |
|- ( M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
154 |
|
eluz2b3 |
|- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( M e. NN /\ M =/= 1 ) ) |
155 |
154
|
simprbi |
|- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M =/= 1 ) |
156 |
5 153 155
|
3syl |
|- ( ph -> M =/= 1 ) |
157 |
156
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> M =/= 1 ) |
158 |
152 157
|
eqnetrd |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) =/= 1 ) |
159 |
145
|
simp3d |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) |
160 |
157
|
necomd |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> 1 =/= M ) |
161 |
159 160
|
eqnetrd |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) =/= M ) |
162 |
|
fveq2 |
|- ( y = 1 -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) ) |
163 |
|
id |
|- ( y = 1 -> y = 1 ) |
164 |
162 163
|
neeq12d |
|- ( y = 1 -> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) =/= 1 ) ) |
165 |
|
fveq2 |
|- ( y = M -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) ) |
166 |
|
id |
|- ( y = M -> y = M ) |
167 |
165 166
|
neeq12d |
|- ( y = M -> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) =/= M ) ) |
168 |
61 6 164 167
|
ralpr |
|- ( A. y e. { 1 , M } ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) =/= 1 /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) =/= M ) ) |
169 |
158 161 168
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. { 1 , M } ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) |
170 |
|
ralunb |
|- ( A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> ( A. y e. K ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y /\ A. y e. { 1 , M } ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) ) |
171 |
151 169 170
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) |
172 |
52
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
173 |
172
|
raleqdv |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) ) |
174 |
171 173
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) |
175 |
|
prex |
|- { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } e. _V |
176 |
136 175
|
unex |
|- ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. _V |
177 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) |
178 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( f ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) |
179 |
178
|
neeq1d |
|- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) ) |
180 |
179
|
ralbidv |
|- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) ) |
181 |
177 180
|
anbi12d |
|- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) ) ) |
182 |
176 181 3
|
elab2 |
|- ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. A <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) ) |
183 |
146 174 182
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. A ) |
184 |
152 159
|
jca |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) ) |
185 |
|
fveq1 |
|- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( g ` 1 ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) ) |
186 |
185
|
eqeq1d |
|- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( g ` 1 ) = M <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M ) ) |
187 |
|
fveq1 |
|- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( g ` M ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) ) |
188 |
187
|
eqeq1d |
|- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( g ` M ) = 1 <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) ) |
189 |
186 188
|
anbi12d |
|- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( ( g ` 1 ) = M /\ ( g ` M ) = 1 ) <-> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) ) ) |
190 |
189 8
|
elrab2 |
|- ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. B <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. A /\ ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) ) ) |
191 |
183 184 190
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. B ) |
192 |
57
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b ` 1 ) = M ) |
193 |
152
|
adantrl |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M ) |
194 |
192 193
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b ` 1 ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) ) |
195 |
60
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b ` M ) = 1 ) |
196 |
159
|
adantrl |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) |
197 |
195 196
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b ` M ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) ) |
198 |
|
fveq2 |
|- ( y = 1 -> ( b ` y ) = ( b ` 1 ) ) |
199 |
198 162
|
eqeq12d |
|- ( y = 1 -> ( ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( b ` 1 ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) ) ) |
200 |
|
fveq2 |
|- ( y = M -> ( b ` y ) = ( b ` M ) ) |
201 |
200 165
|
eqeq12d |
|- ( y = M -> ( ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( b ` M ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) ) ) |
202 |
61 6 199 201
|
ralpr |
|- ( A. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( ( b ` 1 ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) /\ ( b ` M ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) ) ) |
203 |
194 197 202
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> A. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) |
204 |
203
|
biantrud |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) /\ A. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) ) ) |
205 |
|
ralunb |
|- ( A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) /\ A. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) ) |
206 |
204 205
|
bitr4di |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) ) |
207 |
147
|
eqeq2d |
|- ( ( ( ph /\ c e. C ) /\ y e. K ) -> ( ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
208 |
207
|
ralbidva |
|- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. K ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
209 |
208
|
adantrl |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. K ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
210 |
52
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
211 |
210
|
raleqdv |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) ) |
212 |
206 209 211
|
3bitr3rd |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. K ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
213 |
125
|
eqeq2d |
|- ( y e. K -> ( ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) <-> ( c ` y ) = ( b ` y ) ) ) |
214 |
|
eqcom |
|- ( ( c ` y ) = ( b ` y ) <-> ( b ` y ) = ( c ` y ) ) |
215 |
213 214
|
syl6bb |
|- ( y e. K -> ( ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) <-> ( b ` y ) = ( c ` y ) ) ) |
216 |
215
|
ralbiia |
|- ( A. y e. K ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) <-> A. y e. K ( b ` y ) = ( c ` y ) ) |
217 |
212 216
|
bitr4di |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. K ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) ) ) |
218 |
43
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
219 |
146
|
adantrl |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
220 |
|
f1ofn |
|- ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
221 |
219 220
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
222 |
|
eqfnfv |
|- ( ( b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( b = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) ) |
223 |
218 221 222
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) ) |
224 |
144
|
adantrl |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> c : K -1-1-onto-> K ) |
225 |
|
f1ofn |
|- ( c : K -1-1-onto-> K -> c Fn K ) |
226 |
224 225
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> c Fn K ) |
227 |
117
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
228 |
218 227
|
fnssresd |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b |` K ) Fn K ) |
229 |
|
eqfnfv |
|- ( ( c Fn K /\ ( b |` K ) Fn K ) -> ( c = ( b |` K ) <-> A. y e. K ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) ) ) |
230 |
226 228 229
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( c = ( b |` K ) <-> A. y e. K ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) ) ) |
231 |
217 223 230
|
3bitr4d |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) <-> c = ( b |` K ) ) ) |
232 |
19 131 191 231
|
f1o2d |
|- ( ph -> ( b e. B |-> ( b |` K ) ) : B -1-1-onto-> C ) |
233 |
18 232
|
hasheqf1od |
|- ( ph -> ( # ` B ) = ( # ` C ) ) |
234 |
9
|
fveq2i |
|- ( # ` C ) = ( # ` { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } ) |
235 |
|
fzfi |
|- ( 2 ... ( N + 1 ) ) e. Fin |
236 |
|
diffi |
|- ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) e. Fin -> ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } ) e. Fin ) |
237 |
235 236
|
ax-mp |
|- ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } ) e. Fin |
238 |
7 237
|
eqeltri |
|- K e. Fin |
239 |
1
|
derangval |
|- ( K e. Fin -> ( D ` K ) = ( # ` { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
240 |
238 239
|
ax-mp |
|- ( D ` K ) = ( # ` { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } ) |
241 |
1 2
|
derangen2 |
|- ( K e. Fin -> ( D ` K ) = ( S ` ( # ` K ) ) ) |
242 |
238 241
|
ax-mp |
|- ( D ` K ) = ( S ` ( # ` K ) ) |
243 |
234 240 242
|
3eqtr2ri |
|- ( S ` ( # ` K ) ) = ( # ` C ) |
244 |
51
|
simp3d |
|- ( ph -> ( # ` K ) = ( N - 1 ) ) |
245 |
244
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S ` ( # ` K ) ) = ( S ` ( N - 1 ) ) ) |
246 |
243 245
|
syl5eqr |
|- ( ph -> ( # ` C ) = ( S ` ( N - 1 ) ) ) |
247 |
233 246
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( # ` B ) = ( S ` ( N - 1 ) ) ) |