Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
txflf.j |
|- ( ph -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
2 |
|
txflf.k |
|- ( ph -> K e. ( TopOn ` Y ) ) |
3 |
|
txflf.l |
|- ( ph -> L e. ( Fil ` Z ) ) |
4 |
|
txflf.f |
|- ( ph -> F : Z --> X ) |
5 |
|
txflf.g |
|- ( ph -> G : Z --> Y ) |
6 |
|
txflf.h |
|- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) |
7 |
|
vex |
|- u e. _V |
8 |
|
vex |
|- v e. _V |
9 |
7 8
|
xpex |
|- ( u X. v ) e. _V |
10 |
9
|
rgen2w |
|- A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V |
11 |
|
eqid |
|- ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) |
12 |
|
eleq2 |
|- ( z = ( u X. v ) -> ( <. R , S >. e. z <-> <. R , S >. e. ( u X. v ) ) ) |
13 |
|
sseq2 |
|- ( z = ( u X. v ) -> ( ( H " h ) C_ z <-> ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) ) |
14 |
13
|
rexbidv |
|- ( z = ( u X. v ) -> ( E. h e. L ( H " h ) C_ z <-> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) ) |
15 |
12 14
|
imbi12d |
|- ( z = ( u X. v ) -> ( ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) <-> ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) ) ) |
16 |
11 15
|
ralrnmpo |
|- ( A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V -> ( A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) <-> A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) ) ) |
17 |
10 16
|
ax-mp |
|- ( A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) <-> A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) ) |
18 |
|
opelxp |
|- ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( R e. u /\ S e. v ) ) |
19 |
18
|
biancomi |
|- ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( S e. v /\ R e. u ) ) |
20 |
19
|
a1i |
|- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( S e. v /\ R e. u ) ) ) |
21 |
|
r19.40 |
|- ( E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) -> ( E. h e. L A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ E. h e. L A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) |
22 |
|
raleq |
|- ( h = f -> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u <-> A. n e. f ( F ` n ) e. u ) ) |
23 |
22
|
cbvrexvw |
|- ( E. h e. L A. n e. h ( F ` n ) e. u <-> E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u ) |
24 |
|
raleq |
|- ( h = g -> ( A. n e. h ( G ` n ) e. v <-> A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) |
25 |
24
|
cbvrexvw |
|- ( E. h e. L A. n e. h ( G ` n ) e. v <-> E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) |
26 |
23 25
|
anbi12i |
|- ( ( E. h e. L A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ E. h e. L A. n e. h ( G ` n ) e. v ) <-> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) |
27 |
21 26
|
sylib |
|- ( E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) -> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) |
28 |
|
reeanv |
|- ( E. f e. L E. g e. L ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) <-> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) |
29 |
|
filin |
|- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ f e. L /\ g e. L ) -> ( f i^i g ) e. L ) |
30 |
29
|
3expb |
|- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ ( f e. L /\ g e. L ) ) -> ( f i^i g ) e. L ) |
31 |
3 30
|
sylan |
|- ( ( ph /\ ( f e. L /\ g e. L ) ) -> ( f i^i g ) e. L ) |
32 |
|
inss1 |
|- ( f i^i g ) C_ f |
33 |
|
ssralv |
|- ( ( f i^i g ) C_ f -> ( A. n e. f ( F ` n ) e. u -> A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u ) ) |
34 |
32 33
|
ax-mp |
|- ( A. n e. f ( F ` n ) e. u -> A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u ) |
35 |
|
inss2 |
|- ( f i^i g ) C_ g |
36 |
|
ssralv |
|- ( ( f i^i g ) C_ g -> ( A. n e. g ( G ` n ) e. v -> A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) ) |
37 |
35 36
|
ax-mp |
|- ( A. n e. g ( G ` n ) e. v -> A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) |
38 |
34 37
|
anim12i |
|- ( ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) -> ( A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u /\ A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) ) |
39 |
|
raleq |
|- ( h = ( f i^i g ) -> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u <-> A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u ) ) |
40 |
|
raleq |
|- ( h = ( f i^i g ) -> ( A. n e. h ( G ` n ) e. v <-> A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) ) |
41 |
39 40
|
anbi12d |
|- ( h = ( f i^i g ) -> ( ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) <-> ( A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u /\ A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) ) ) |
42 |
41
|
rspcev |
|- ( ( ( f i^i g ) e. L /\ ( A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u /\ A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) |
43 |
31 38 42
|
syl2an |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. L /\ g e. L ) ) /\ ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) |
44 |
43
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( f e. L /\ g e. L ) ) -> ( ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) ) |
45 |
44
|
rexlimdvva |
|- ( ph -> ( E. f e. L E. g e. L ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) ) |
46 |
28 45
|
syl5bir |
|- ( ph -> ( ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) ) |
47 |
27 46
|
impbid2 |
|- ( ph -> ( E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) <-> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) ) |
48 |
|
df-ima |
|- ( H " h ) = ran ( H |` h ) |
49 |
|
filelss |
|- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ h e. L ) -> h C_ Z ) |
50 |
3 49
|
sylan |
|- ( ( ph /\ h e. L ) -> h C_ Z ) |
51 |
6
|
reseq1i |
|- ( H |` h ) = ( ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) |` h ) |
52 |
|
resmpt |
|- ( h C_ Z -> ( ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) |` h ) = ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) ) |
53 |
51 52
|
syl5eq |
|- ( h C_ Z -> ( H |` h ) = ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) ) |
54 |
50 53
|
syl |
|- ( ( ph /\ h e. L ) -> ( H |` h ) = ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) ) |
55 |
54
|
rneqd |
|- ( ( ph /\ h e. L ) -> ran ( H |` h ) = ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) ) |
56 |
48 55
|
syl5eq |
|- ( ( ph /\ h e. L ) -> ( H " h ) = ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) ) |
57 |
56
|
sseq1d |
|- ( ( ph /\ h e. L ) -> ( ( H " h ) C_ ( u X. v ) <-> ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) ) ) |
58 |
|
opelxp |
|- ( <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( u X. v ) <-> ( ( F ` n ) e. u /\ ( G ` n ) e. v ) ) |
59 |
58
|
ralbii |
|- ( A. n e. h <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( u X. v ) <-> A. n e. h ( ( F ` n ) e. u /\ ( G ` n ) e. v ) ) |
60 |
|
eqid |
|- ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) = ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) |
61 |
60
|
fmpt |
|- ( A. n e. h <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( u X. v ) <-> ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) : h --> ( u X. v ) ) |
62 |
|
opex |
|- <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. _V |
63 |
62 60
|
fnmpti |
|- ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) Fn h |
64 |
|
df-f |
|- ( ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) : h --> ( u X. v ) <-> ( ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) Fn h /\ ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) ) ) |
65 |
63 64
|
mpbiran |
|- ( ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) : h --> ( u X. v ) <-> ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) ) |
66 |
61 65
|
bitri |
|- ( A. n e. h <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( u X. v ) <-> ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) ) |
67 |
|
r19.26 |
|- ( A. n e. h ( ( F ` n ) e. u /\ ( G ` n ) e. v ) <-> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) |
68 |
59 66 67
|
3bitr3i |
|- ( ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) <-> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) |
69 |
57 68
|
bitrdi |
|- ( ( ph /\ h e. L ) -> ( ( H " h ) C_ ( u X. v ) <-> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) ) |
70 |
69
|
rexbidva |
|- ( ph -> ( E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) <-> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) ) |
71 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. L ) -> F : Z --> X ) |
72 |
71
|
ffund |
|- ( ( ph /\ f e. L ) -> Fun F ) |
73 |
|
filelss |
|- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ f e. L ) -> f C_ Z ) |
74 |
3 73
|
sylan |
|- ( ( ph /\ f e. L ) -> f C_ Z ) |
75 |
71
|
fdmd |
|- ( ( ph /\ f e. L ) -> dom F = Z ) |
76 |
74 75
|
sseqtrrd |
|- ( ( ph /\ f e. L ) -> f C_ dom F ) |
77 |
|
funimass4 |
|- ( ( Fun F /\ f C_ dom F ) -> ( ( F " f ) C_ u <-> A. n e. f ( F ` n ) e. u ) ) |
78 |
72 76 77
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ f e. L ) -> ( ( F " f ) C_ u <-> A. n e. f ( F ` n ) e. u ) ) |
79 |
78
|
rexbidva |
|- ( ph -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u <-> E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u ) ) |
80 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ g e. L ) -> G : Z --> Y ) |
81 |
80
|
ffund |
|- ( ( ph /\ g e. L ) -> Fun G ) |
82 |
|
filelss |
|- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ g e. L ) -> g C_ Z ) |
83 |
3 82
|
sylan |
|- ( ( ph /\ g e. L ) -> g C_ Z ) |
84 |
80
|
fdmd |
|- ( ( ph /\ g e. L ) -> dom G = Z ) |
85 |
83 84
|
sseqtrrd |
|- ( ( ph /\ g e. L ) -> g C_ dom G ) |
86 |
|
funimass4 |
|- ( ( Fun G /\ g C_ dom G ) -> ( ( G " g ) C_ v <-> A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) |
87 |
81 85 86
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ g e. L ) -> ( ( G " g ) C_ v <-> A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) |
88 |
87
|
rexbidva |
|- ( ph -> ( E. g e. L ( G " g ) C_ v <-> E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) |
89 |
79 88
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) ) |
90 |
47 70 89
|
3bitr4d |
|- ( ph -> ( E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) <-> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
91 |
20 90
|
imbi12d |
|- ( ph -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( ( S e. v /\ R e. u ) -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
92 |
|
impexp |
|- ( ( ( S e. v /\ R e. u ) -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) <-> ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
93 |
91 92
|
bitrdi |
|- ( ph -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) ) |
94 |
93
|
ralbidv |
|- ( ph -> ( A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> A. v e. K ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) ) |
95 |
|
eleq2 |
|- ( x = v -> ( S e. x <-> S e. v ) ) |
96 |
95
|
ralrab |
|- ( A. v e. { x e. K | S e. x } ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) <-> A. v e. K ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
97 |
|
r19.21v |
|- ( A. v e. { x e. K | S e. x } ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) <-> ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
98 |
96 97
|
bitr3i |
|- ( A. v e. K ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) <-> ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
99 |
94 98
|
bitrdi |
|- ( ph -> ( A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
100 |
99
|
ralbidv |
|- ( ph -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> A. u e. J ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
101 |
|
eleq2 |
|- ( x = u -> ( R e. x <-> R e. u ) ) |
102 |
101
|
ralrab |
|- ( A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> A. u e. J ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
103 |
100 102
|
bitr4di |
|- ( ph -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
104 |
103
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
105 |
|
toponmax |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> X e. J ) |
106 |
1 105
|
syl |
|- ( ph -> X e. J ) |
107 |
|
eleq2 |
|- ( x = X -> ( R e. x <-> R e. X ) ) |
108 |
107
|
rspcev |
|- ( ( X e. J /\ R e. X ) -> E. x e. J R e. x ) |
109 |
|
rabn0 |
|- ( { x e. J | R e. x } =/= (/) <-> E. x e. J R e. x ) |
110 |
108 109
|
sylibr |
|- ( ( X e. J /\ R e. X ) -> { x e. J | R e. x } =/= (/) ) |
111 |
106 110
|
sylan |
|- ( ( ph /\ R e. X ) -> { x e. J | R e. x } =/= (/) ) |
112 |
|
toponmax |
|- ( K e. ( TopOn ` Y ) -> Y e. K ) |
113 |
2 112
|
syl |
|- ( ph -> Y e. K ) |
114 |
|
eleq2 |
|- ( x = Y -> ( S e. x <-> S e. Y ) ) |
115 |
114
|
rspcev |
|- ( ( Y e. K /\ S e. Y ) -> E. x e. K S e. x ) |
116 |
|
rabn0 |
|- ( { x e. K | S e. x } =/= (/) <-> E. x e. K S e. x ) |
117 |
115 116
|
sylibr |
|- ( ( Y e. K /\ S e. Y ) -> { x e. K | S e. x } =/= (/) ) |
118 |
113 117
|
sylan |
|- ( ( ph /\ S e. Y ) -> { x e. K | S e. x } =/= (/) ) |
119 |
111 118
|
anim12dan |
|- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( { x e. J | R e. x } =/= (/) /\ { x e. K | S e. x } =/= (/) ) ) |
120 |
|
r19.28zv |
|- ( { x e. K | S e. x } =/= (/) -> ( A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
121 |
120
|
ralbidv |
|- ( { x e. K | S e. x } =/= (/) -> ( A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> A. u e. { x e. J | R e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
122 |
|
r19.27zv |
|- ( { x e. J | R e. x } =/= (/) -> ( A. u e. { x e. J | R e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
123 |
121 122
|
sylan9bbr |
|- ( ( { x e. J | R e. x } =/= (/) /\ { x e. K | S e. x } =/= (/) ) -> ( A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
124 |
119 123
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
125 |
104 124
|
bitrd |
|- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
126 |
101
|
ralrab |
|- ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u <-> A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) |
127 |
95
|
ralrab |
|- ( A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v <-> A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) |
128 |
126 127
|
anbi12i |
|- ( ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) |
129 |
125 128
|
bitrdi |
|- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
130 |
17 129
|
syl5bb |
|- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) <-> ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
131 |
130
|
pm5.32da |
|- ( ph -> ( ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) ) |
132 |
|
opelxp |
|- ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) <-> ( R e. X /\ S e. Y ) ) |
133 |
132
|
anbi1i |
|- ( ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) ) |
134 |
|
an4 |
|- ( ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
135 |
131 133 134
|
3bitr4g |
|- ( ph -> ( ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) <-> ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) ) |
136 |
|
eqid |
|- ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) |
137 |
136
|
txval |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) ) |
138 |
1 2 137
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) ) |
139 |
138
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( J tX K ) fLimf L ) = ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ) |
140 |
139
|
fveq1d |
|- ( ph -> ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) = ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ` H ) ) |
141 |
140
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) <-> <. R , S >. e. ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ` H ) ) ) |
142 |
|
txtopon |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) ) |
143 |
1 2 142
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) ) |
144 |
138 143
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) ) |
145 |
4
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. X ) |
146 |
5
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( G ` n ) e. Y ) |
147 |
145 146
|
opelxpd |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( X X. Y ) ) |
148 |
147 6
|
fmptd |
|- ( ph -> H : Z --> ( X X. Y ) ) |
149 |
|
eqid |
|- ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) |
150 |
149
|
flftg |
|- ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. ( Fil ` Z ) /\ H : Z --> ( X X. Y ) ) -> ( <. R , S >. e. ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ` H ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) ) ) |
151 |
144 3 148 150
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ` H ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) ) ) |
152 |
141 151
|
bitrd |
|- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) ) ) |
153 |
|
isflf |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Z ) /\ F : Z --> X ) -> ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) ) ) |
154 |
1 3 4 153
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) ) ) |
155 |
|
isflf |
|- ( ( K e. ( TopOn ` Y ) /\ L e. ( Fil ` Z ) /\ G : Z --> Y ) -> ( S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) <-> ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
156 |
2 3 5 155
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) <-> ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) |
157 |
154 156
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) /\ S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) ) <-> ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) ) |
158 |
135 152 157
|
3bitr4d |
|- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) <-> ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) /\ S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) ) ) ) |