| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
| 2 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 3 |
1 2
|
mpan |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 4 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 5 |
|
sqcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 6 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 7 |
4 5 6
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 8 |
7
|
sqrtcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 9 |
3 8
|
addcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 10 |
|
asinlem |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≠ 0 ) |
| 11 |
9 10
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 12 |
|
efneg |
⊢ ( ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℂ → ( exp ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( exp ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( exp ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 14 |
|
eflog |
⊢ ( ( ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 15 |
9 10 14
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 16 |
15
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 / ( exp ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 1 / ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
| 17 |
|
asinlem2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = 1 ) |
| 18 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ ) |
| 19 |
|
negcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - 𝐴 ∈ ℂ ) |
| 20 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ - 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · - 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 21 |
1 19 20
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( i · - 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 22 |
19
|
sqcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 23 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( - 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 24 |
4 22 23
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 25 |
24
|
sqrtcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 26 |
21 25
|
addcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 27 |
18 9 26 10
|
divmuld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 / ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ↔ ( ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = 1 ) ) |
| 28 |
17 27
|
mpbird |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 / ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 29 |
13 16 28
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 30 |
|
asinlem |
⊢ ( - 𝐴 ∈ ℂ → ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≠ 0 ) |
| 31 |
19 30
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≠ 0 ) |
| 32 |
11
|
negcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 33 |
11
|
imnegd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 34 |
11
|
imcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 35 |
34
|
renegcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 36 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
| 37 |
36
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ ) |
| 38 |
9 10
|
logimcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - π < ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ π ) ) |
| 39 |
38
|
simprd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ π ) |
| 40 |
9
|
renegd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = - ( ℜ ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
| 41 |
|
asinlem3 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ( ℜ ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
| 42 |
9
|
recld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℜ ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 43 |
42
|
le0neg2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 0 ≤ ( ℜ ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ↔ - ( ℜ ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ≤ 0 ) ) |
| 44 |
41 43
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( ℜ ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ≤ 0 ) |
| 45 |
40 44
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ≤ 0 ) |
| 46 |
9
|
negcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 47 |
46
|
recld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 48 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
| 49 |
|
lenlt |
⊢ ( ( ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 50 |
47 48 49
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 51 |
45 50
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ¬ 0 < ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
| 52 |
|
lognegb |
⊢ ( ( ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≠ 0 ) → ( - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ↔ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = π ) ) |
| 53 |
9 10 52
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ↔ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = π ) ) |
| 54 |
|
rpgt0 |
⊢ ( - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ+ → 0 < - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 55 |
|
rpre |
⊢ ( - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ+ → - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 56 |
55
|
rered |
⊢ ( - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ+ → ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 57 |
54 56
|
breqtrrd |
⊢ ( - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ+ → 0 < ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
| 58 |
53 57
|
syl6bir |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = π → 0 < ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 59 |
58
|
necon3bd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ¬ 0 < ( ℜ ‘ - ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) → ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≠ π ) ) |
| 60 |
51 59
|
mpd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≠ π ) |
| 61 |
60
|
necomd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → π ≠ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 62 |
34 37 39 61
|
leneltd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) < π ) |
| 63 |
|
ltneg |
⊢ ( ( ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) < π ↔ - π < - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 64 |
34 36 63
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) < π ↔ - π < - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 65 |
62 64
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - π < - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 66 |
38
|
simpld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - π < ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 67 |
36
|
renegcli |
⊢ - π ∈ ℝ |
| 68 |
|
ltle |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( - π < ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → - π ≤ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 69 |
67 34 68
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - π < ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → - π ≤ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 70 |
66 69
|
mpd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - π ≤ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 71 |
|
lenegcon1 |
⊢ ( ( π ∈ ℝ ∧ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( - π ≤ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ↔ - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ π ) ) |
| 72 |
36 34 71
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - π ≤ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ↔ - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ π ) ) |
| 73 |
70 72
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ π ) |
| 74 |
67
|
rexri |
⊢ - π ∈ ℝ* |
| 75 |
|
elioc2 |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ ) → ( - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( - π (,] π ) ↔ ( - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ - π < - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∧ - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ π ) ) ) |
| 76 |
74 36 75
|
mp2an |
⊢ ( - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( - π (,] π ) ↔ ( - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ - π < - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∧ - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ π ) ) |
| 77 |
35 65 73 76
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( ℑ ‘ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( - π (,] π ) ) |
| 78 |
33 77
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( - π (,] π ) ) |
| 79 |
|
imf |
⊢ ℑ : ℂ ⟶ ℝ |
| 80 |
|
ffn |
⊢ ( ℑ : ℂ ⟶ ℝ → ℑ Fn ℂ ) |
| 81 |
|
elpreima |
⊢ ( ℑ Fn ℂ → ( - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ◡ ℑ “ ( - π (,] π ) ) ↔ ( - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( - π (,] π ) ) ) ) |
| 82 |
79 80 81
|
mp2b |
⊢ ( - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ◡ ℑ “ ( - π (,] π ) ) ↔ ( - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( - π (,] π ) ) ) |
| 83 |
32 78 82
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ◡ ℑ “ ( - π (,] π ) ) ) |
| 84 |
|
logrn |
⊢ ran log = ( ◡ ℑ “ ( - π (,] π ) ) |
| 85 |
83 84
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ran log ) |
| 86 |
|
logeftb |
⊢ ( ( ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≠ 0 ∧ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ran log ) → ( ( log ‘ ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ↔ ( exp ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
| 87 |
26 31 85 86
|
syl3anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( log ‘ ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ↔ ( exp ‘ - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
| 88 |
29 87
|
mpbird |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( log ‘ ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) = - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
| 89 |
88
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - i · ( log ‘ ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( - i · - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 90 |
|
negicn |
⊢ - i ∈ ℂ |
| 91 |
|
mulneg2 |
⊢ ( ( - i ∈ ℂ ∧ ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( - i · - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = - ( - i · ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 92 |
90 11 91
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - i · - ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = - ( - i · ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 93 |
89 92
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - i · ( log ‘ ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = - ( - i · ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 94 |
|
asinval |
⊢ ( - 𝐴 ∈ ℂ → ( arcsin ‘ - 𝐴 ) = ( - i · ( log ‘ ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 95 |
19 94
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( arcsin ‘ - 𝐴 ) = ( - i · ( log ‘ ( ( i · - 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( - 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 96 |
|
asinval |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( arcsin ‘ 𝐴 ) = ( - i · ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 97 |
96
|
negeqd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( arcsin ‘ 𝐴 ) = - ( - i · ( log ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( √ ‘ ( 1 − ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 98 |
93 95 97
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( arcsin ‘ - 𝐴 ) = - ( arcsin ‘ 𝐴 ) ) |