Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
chpdifbnd.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+ ) |
2 |
|
chpdifbnd.1 |
⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝐴 ) |
3 |
|
chpdifbnd.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+ ) |
4 |
|
chpdifbnd.2 |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) ) ) ≤ 𝐵 ) |
5 |
|
chpdifbnd.c |
⊢ 𝐶 = ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) + ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) |
6 |
|
chpdifbnd.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) |
7 |
|
chpdifbnd.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑋 [,] ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) |
8 |
|
ioossre |
⊢ ( 1 (,) +∞ ) ⊆ ℝ |
9 |
8 6
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
10 |
1
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
11 |
10 9
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
12 |
|
elicc2 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 · 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 [,] ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) |
13 |
9 11 12
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 [,] ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) |
14 |
7 13
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) |
15 |
14
|
simp1d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
16 |
|
chpcl |
⊢ ( 𝑌 ∈ ℝ → ( ψ ‘ 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
17 |
15 16
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ψ ‘ 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
18 |
|
chpcl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℝ → ( ψ ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
19 |
9 18
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ψ ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
20 |
17 19
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
21 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
22 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
24 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
25 |
24
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 1 ) |
26 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( 1 (,) +∞ ) → ( 1 < 𝑋 ∧ 𝑋 < +∞ ) ) |
27 |
6 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 < 𝑋 ∧ 𝑋 < +∞ ) ) |
28 |
27
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 1 < 𝑋 ) |
29 |
21 23 9 25 28
|
lttrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑋 ) |
30 |
9 29
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+ ) |
31 |
30
|
relogcld |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
32 |
20 31
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
33 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
34 |
15 9
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
35 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
36 |
33 34 35
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
37 |
36 31
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
38 |
3
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
39 |
15 9
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
40 |
38 39
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
1
|
relogcld |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
42 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( log ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
43 |
33 41 42
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
44 |
43 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
45 |
40 44
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
46 |
37 45
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ) ∈ ℝ ) |
47 |
|
peano2re |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 + 1 ) ∈ ℝ ) |
48 |
10 47
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 1 ) ∈ ℝ ) |
49 |
38 48
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
50 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
51 |
33 10 50
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
52 |
51 41
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
53 |
49 52
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) + ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
54 |
5 53
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
55 |
54 9
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
56 |
37 55
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
57 |
17 31
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
58 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ∈ Fin ) |
59 |
14
|
simp2d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌 ) |
60 |
|
flword2 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) → ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ) |
61 |
9 15 59 60
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ) |
62 |
|
fzss2 |
⊢ ( ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) |
63 |
61 62
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) |
64 |
63
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) |
65 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
66 |
65
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
67 |
|
vmacl |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
68 |
66 67
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
69 |
|
nndivre |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑋 / 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
70 |
9 65 69
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( 𝑋 / 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
71 |
|
chpcl |
⊢ ( ( 𝑋 / 𝑛 ) ∈ ℝ → ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
72 |
70 71
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
73 |
68 72
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
74 |
64 73
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
75 |
58 74
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
76 |
57 75
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
77 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( log ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
78 |
33 31 77
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
79 |
78 38
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
80 |
79 9
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) · 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
81 |
1 30
|
rpmulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · 𝑋 ) ∈ ℝ+ ) |
82 |
81
|
relogcld |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
83 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ ) |
84 |
33 82 83
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ ) |
85 |
38 84
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
86 |
85 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
87 |
19 31
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
88 |
87 75
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
89 |
21 9 15 29 59
|
ltletrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑌 ) |
90 |
15 89
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+ ) |
91 |
90
|
relogcld |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
92 |
17 91
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
93 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ∈ Fin ) |
94 |
|
nndivre |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑌 / 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
95 |
15 65 94
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( 𝑌 / 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
96 |
|
chpcl |
⊢ ( ( 𝑌 / 𝑛 ) ∈ ℝ → ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
97 |
95 96
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
98 |
68 97
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
99 |
93 98
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
100 |
92 99
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
101 |
|
chpge0 |
⊢ ( 𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ ( ψ ‘ 𝑌 ) ) |
102 |
15 101
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ψ ‘ 𝑌 ) ) |
103 |
30 90
|
logled |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ( log ‘ 𝑋 ) ≤ ( log ‘ 𝑌 ) ) ) |
104 |
59 103
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑋 ) ≤ ( log ‘ 𝑌 ) ) |
105 |
31 91 17 102 104
|
lemul2ad |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) |
106 |
93 73
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
107 |
|
vmage0 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑛 ) ) |
108 |
66 107
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑛 ) ) |
109 |
|
chpge0 |
⊢ ( ( 𝑋 / 𝑛 ) ∈ ℝ → 0 ≤ ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) |
110 |
70 109
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 0 ≤ ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) |
111 |
68 72 108 110
|
mulge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 0 ≤ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) |
112 |
93 73 111 63
|
fsumless |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ≤ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) |
113 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
114 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
115 |
66
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ+ ) |
116 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑌 ) |
117 |
113 114 115 116
|
lediv1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( 𝑋 / 𝑛 ) ≤ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) |
118 |
|
chpwordi |
⊢ ( ( ( 𝑋 / 𝑛 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑌 / 𝑛 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 / 𝑛 ) ≤ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) → ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ≤ ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) |
119 |
70 95 117 118
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ≤ ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) |
120 |
72 97 68 108 119
|
lemul2ad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ≤ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) |
121 |
93 73 98 120
|
fsumle |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ≤ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) |
122 |
75 106 99 112 121
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ≤ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) |
123 |
57 75 92 99 105 122
|
le2addd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) ) |
124 |
100 90
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
125 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( log ‘ 𝑌 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
126 |
33 91 125
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
127 |
38 126
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ∈ ℝ ) |
128 |
124 126
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ∈ ℝ ) |
129 |
128
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ∈ ℂ ) |
130 |
129
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
131 |
128
|
leabsd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ) ) |
132 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ψ ‘ 𝑧 ) = ( ψ ‘ 𝑌 ) ) |
133 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( log ‘ 𝑧 ) = ( log ‘ 𝑌 ) ) |
134 |
132 133
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) |
135 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( Λ ‘ 𝑚 ) = ( Λ ‘ 𝑛 ) ) |
136 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑧 / 𝑚 ) = ( 𝑧 / 𝑛 ) ) |
137 |
136
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) = ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) ) |
138 |
135 137
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) = ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) ) ) |
139 |
138
|
cbvsumv |
⊢ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) ) |
140 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ⌊ ‘ 𝑧 ) = ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) |
141 |
140
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) = ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) |
142 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → 𝑧 = 𝑌 ) |
143 |
142
|
fvoveq1d |
⊢ ( ( 𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) = ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) |
144 |
143
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑧 = 𝑌 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) ) = ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) |
145 |
141 144
|
sumeq12rdv |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) |
146 |
139 145
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) |
147 |
134 146
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) = ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) ) |
148 |
|
id |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → 𝑧 = 𝑌 ) |
149 |
147 148
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) = ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) ) |
150 |
133
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) = ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) |
151 |
149 150
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) ) = ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
152 |
151
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ) ) |
153 |
152
|
breq1d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) ) ) ≤ 𝐵 ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ) ≤ 𝐵 ) ) |
154 |
23 9 28
|
ltled |
⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑋 ) |
155 |
23 9 15 154 59
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑌 ) |
156 |
|
elicopnf |
⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( 𝑌 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌 ) ) ) |
157 |
22 156
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑌 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌 ) ) |
158 |
15 155 157
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ) |
159 |
153 4 158
|
rspcdva |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ) ≤ 𝐵 ) |
160 |
128 130 38 131 159
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ≤ 𝐵 ) |
161 |
124 126 38
|
lesubaddd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ≤ 𝐵 ↔ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) ≤ ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ) ) |
162 |
160 161
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) ≤ ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
163 |
14
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≤ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) |
164 |
90 81
|
logled |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ≤ ( 𝐴 · 𝑋 ) ↔ ( log ‘ 𝑌 ) ≤ ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) |
165 |
163 164
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑌 ) ≤ ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) |
166 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
167 |
33 166
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) |
168 |
167
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
169 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( ( log ‘ 𝑌 ) ∈ ℝ ∧ ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( log ‘ 𝑌 ) ≤ ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ↔ ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ≤ ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) ) |
170 |
91 82 168 169
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑌 ) ≤ ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ↔ ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ≤ ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) ) |
171 |
165 170
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ≤ ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) |
172 |
126 84 38 171
|
leadd2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝑌 ) ) ) ≤ ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) ) |
173 |
124 127 85 162 172
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) ≤ ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) ) |
174 |
100 85 90
|
ledivmul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑌 ) ≤ ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) ↔ ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) ) ) |
175 |
173 174
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑌 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑌 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑌 / 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) ) |
176 |
76 100 86 123 175
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) ) |
177 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ψ ‘ 𝑧 ) = ( ψ ‘ 𝑋 ) ) |
178 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( log ‘ 𝑧 ) = ( log ‘ 𝑋 ) ) |
179 |
177 178
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) |
180 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ⌊ ‘ 𝑧 ) = ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) |
181 |
180
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) = ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ) |
182 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑧 = 𝑋 ) |
183 |
182
|
fvoveq1d |
⊢ ( ( 𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) = ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) |
184 |
183
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) ) = ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) |
185 |
181 184
|
sumeq12rdv |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑛 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) |
186 |
139 185
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) |
187 |
179 186
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) = ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ) |
188 |
|
id |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → 𝑧 = 𝑋 ) |
189 |
187 188
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) = ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) ) |
190 |
178
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) = ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) |
191 |
189 190
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) ) = ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
192 |
191
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) ) |
193 |
192
|
breq1d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑧 ) · ( log ‘ 𝑧 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑧 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( ψ ‘ ( 𝑧 / 𝑚 ) ) ) ) / 𝑧 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑧 ) ) ) ) ≤ 𝐵 ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) ≤ 𝐵 ) ) |
194 |
|
elicopnf |
⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( 𝑋 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋 ) ) ) |
195 |
22 194
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋 ) ) |
196 |
9 154 195
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ) |
197 |
193 4 196
|
rspcdva |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) ≤ 𝐵 ) |
198 |
88 30
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
199 |
198 78 38
|
absdifled |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) − ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) ≤ 𝐵 ↔ ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) ∧ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) ≤ ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + 𝐵 ) ) ) ) |
200 |
197 199
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) ∧ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) ≤ ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + 𝐵 ) ) ) |
201 |
200
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) ) |
202 |
79 88 30
|
lemuldivd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) · 𝑋 ) ≤ ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ↔ ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) / 𝑋 ) ) ) |
203 |
201 202
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) · 𝑋 ) ≤ ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ) |
204 |
76 80 86 88 176 203
|
le2subd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) − ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) − ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) · 𝑋 ) ) ) |
205 |
57
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ ) |
206 |
87
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ ) |
207 |
75
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
208 |
205 206 207
|
pnpcan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) − ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ) = ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
209 |
17
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ψ ‘ 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
210 |
19
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ψ ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
211 |
31
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
212 |
209 210 211
|
subdird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) − ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
213 |
208 212
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) − ( ( ( ψ ‘ 𝑋 ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑋 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( ψ ‘ ( 𝑋 / 𝑛 ) ) ) ) ) = ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) |
214 |
78 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
215 |
214
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
216 |
38 43
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
217 |
216 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
218 |
217
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
219 |
78 9
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
220 |
219
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
221 |
38 9
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
222 |
221
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
223 |
222
|
negcld |
⊢ ( 𝜑 → - ( 𝐵 · 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
224 |
215 218 220 223
|
addsub4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) + ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) ) − ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) + - ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) = ( ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) − ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) ) + ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) − - ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) ) |
225 |
41
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
226 |
1 30
|
relogmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) = ( ( log ‘ 𝐴 ) + ( log ‘ 𝑋 ) ) ) |
227 |
225 211 226
|
comraddd |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) = ( ( log ‘ 𝑋 ) + ( log ‘ 𝐴 ) ) ) |
228 |
227
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) = ( 2 · ( ( log ‘ 𝑋 ) + ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
229 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ ) |
230 |
229 211 225
|
adddid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( ( log ‘ 𝑋 ) + ( log ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
231 |
228 230
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
232 |
231
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝐵 + ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
233 |
38
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
234 |
78
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ ) |
235 |
43
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
236 |
233 234 235
|
add12d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
237 |
232 236
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
238 |
237
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) = ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) · 𝑌 ) ) |
239 |
216
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
240 |
15
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ ) |
241 |
234 239 240
|
adddird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) · 𝑌 ) = ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) + ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) ) ) |
242 |
238 241
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) = ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) + ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) ) ) |
243 |
9
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
244 |
234 233 243
|
subdird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) − ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
245 |
220 222
|
negsubd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) + - ( 𝐵 · 𝑋 ) ) = ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) − ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
246 |
244 245
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) + - ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
247 |
242 246
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) − ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) · 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) + ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) ) − ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) + - ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) ) |
248 |
34
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
249 |
229 248 211
|
mul32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
250 |
234 240 243
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) = ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) − ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) ) ) |
251 |
249 250
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) − ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) ) ) |
252 |
38 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
253 |
252
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
254 |
44
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
255 |
253 222 254
|
add32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 · 𝑌 ) + ( 𝐵 · 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝐵 · 𝑌 ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) + ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
256 |
233 240 243
|
adddid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝑌 ) + ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
257 |
256
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝐵 · 𝑌 ) + ( 𝐵 · 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ) |
258 |
233 235 240
|
adddird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) = ( ( 𝐵 · 𝑌 ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ) |
259 |
258
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) + ( 𝐵 · 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝐵 · 𝑌 ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) + ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
260 |
255 257 259
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) + ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
261 |
218 222
|
subnegd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) − - ( 𝐵 · 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) + ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
262 |
260 261
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) − - ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) |
263 |
251 262
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ) = ( ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑌 ) − ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) · 𝑋 ) ) + ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑌 ) − - ( 𝐵 · 𝑋 ) ) ) ) |
264 |
224 247 263
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 + ( 2 · ( log ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) ) · 𝑌 ) − ( ( ( 2 · ( log ‘ 𝑋 ) ) − 𝐵 ) · 𝑋 ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ) ) |
265 |
204 213 264
|
3brtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ) ) |
266 |
49 9
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) · 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
267 |
52 9
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
268 |
15 11 9 163
|
leadd1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + 𝑋 ) ≤ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + 𝑋 ) ) |
269 |
10
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
270 |
269 243
|
adddirp1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 1 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + 𝑋 ) ) |
271 |
268 270
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + 𝑋 ) ≤ ( ( 𝐴 + 1 ) · 𝑋 ) ) |
272 |
48 9
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 1 ) · 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
273 |
39 272 3
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 + 𝑋 ) ≤ ( ( 𝐴 + 1 ) · 𝑋 ) ↔ ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) ≤ ( 𝐵 · ( ( 𝐴 + 1 ) · 𝑋 ) ) ) ) |
274 |
271 273
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) ≤ ( 𝐵 · ( ( 𝐴 + 1 ) · 𝑋 ) ) ) |
275 |
48
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 1 ) ∈ ℂ ) |
276 |
233 275 243
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) · 𝑋 ) = ( 𝐵 · ( ( 𝐴 + 1 ) · 𝑋 ) ) ) |
277 |
274 276
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) ≤ ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) · 𝑋 ) ) |
278 |
33
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℝ ) |
279 |
|
0le2 |
⊢ 0 ≤ 2 |
280 |
279
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 2 ) |
281 |
|
log1 |
⊢ ( log ‘ 1 ) = 0 |
282 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
283 |
|
logleb |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ) → ( 1 ≤ 𝐴 ↔ ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) |
284 |
282 1 283
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ≤ 𝐴 ↔ ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) |
285 |
2 284
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝐴 ) ) |
286 |
281 285
|
eqbrtrrid |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( log ‘ 𝐴 ) ) |
287 |
278 41 280 286
|
mulge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) |
288 |
15 11 43 287 163
|
lemul2ad |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ≤ ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) |
289 |
51
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
290 |
289 225 243
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑋 ) = ( ( 2 · 𝐴 ) · ( ( log ‘ 𝐴 ) · 𝑋 ) ) ) |
291 |
229 269 225 243
|
mul4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐴 ) · ( ( log ‘ 𝐴 ) · 𝑋 ) ) = ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) |
292 |
290 291
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑋 ) = ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐴 · 𝑋 ) ) ) |
293 |
288 292
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ≤ ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑋 ) ) |
294 |
40 44 266 267 277 293
|
le2addd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ≤ ( ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) · 𝑋 ) + ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑋 ) ) ) |
295 |
5
|
oveq1i |
⊢ ( 𝐶 · 𝑋 ) = ( ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) + ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑋 ) |
296 |
49
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
297 |
52
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
298 |
296 297 243
|
adddird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) + ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) · 𝑋 ) = ( ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) · 𝑋 ) + ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑋 ) ) ) |
299 |
295 298
|
eqtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · 𝑋 ) = ( ( ( 𝐵 · ( 𝐴 + 1 ) ) · 𝑋 ) + ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑋 ) ) ) |
300 |
294 299
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ≤ ( 𝐶 · 𝑋 ) ) |
301 |
45 55 37 300
|
leadd2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( ( 𝐵 · ( 𝑌 + 𝑋 ) ) + ( ( 2 · ( log ‘ 𝐴 ) ) · 𝑌 ) ) ) ≤ ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · 𝑋 ) ) ) |
302 |
32 46 56 265 301
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · 𝑋 ) ) ) |
303 |
36
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ∈ ℂ ) |
304 |
9 28
|
rplogcld |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ+ ) |
305 |
9 304
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
306 |
54 305
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ∈ ℝ ) |
307 |
306
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ∈ ℂ ) |
308 |
303 307 211
|
adddird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
309 |
54
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
310 |
305
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ ) |
311 |
309 310 211
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐶 · ( ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
312 |
304
|
rpne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑋 ) ≠ 0 ) |
313 |
243 211 312
|
divcan1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 ) |
314 |
313
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · ( ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐶 · 𝑋 ) ) |
315 |
311 314
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐶 · 𝑋 ) ) |
316 |
315
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · 𝑋 ) ) ) |
317 |
308 316
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · 𝑋 ) ) ) |
318 |
302 317
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) |
319 |
36 306
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
320 |
20 319 304
|
lemul1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) ≤ ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) ↔ ( ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) · ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
321 |
318 320
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ψ ‘ 𝑌 ) − ( ψ ‘ 𝑋 ) ) ≤ ( ( 2 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐶 · ( 𝑋 / ( log ‘ 𝑋 ) ) ) ) ) |