Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem78.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem78.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( - π [,] π ) ) |
3 |
|
fourierdlem78.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( - π [,] π ) ) |
4 |
|
fourierdlem78.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
5 |
|
fourierdlem78.nxelab |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
6 |
|
fourierdlem78.fcn |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) ) |
7 |
|
fourierdlem78.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
8 |
|
fourierdlem78.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ ) |
9 |
|
fourierdlem78.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
10 |
|
fourierdlem78.k |
⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
11 |
|
fourierdlem78.u |
⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
12 |
|
fourierdlem78.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ ) |
13 |
|
fourierdlem78.s |
⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
14 |
|
fourierdlem78.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) |
15 |
14
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
16 |
15
|
reseq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) |
17 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
18 |
17
|
renegcli |
⊢ - π ∈ ℝ |
19 |
18
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - π ∈ ℝ ) |
20 |
17
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → π ∈ ℝ ) |
21 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
23 |
18
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ ) |
24 |
17
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ ) |
25 |
23 24
|
iccssred |
⊢ ( 𝜑 → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ ) |
26 |
25 2
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
28 |
18 17
|
elicc2i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( - π [,] π ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ - π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π ) ) |
29 |
28
|
simp2bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( - π [,] π ) → - π ≤ 𝐴 ) |
30 |
2 29
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → - π ≤ 𝐴 ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - π ≤ 𝐴 ) |
32 |
27
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
33 |
25 3
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
34 |
33
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
35 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
36 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
37 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 ) |
38 |
32 35 36 37
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 ) |
39 |
19 27 22 31 38
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - π < 𝑠 ) |
40 |
19 22 39
|
ltled |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - π ≤ 𝑠 ) |
41 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
42 |
|
iooltub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 ) |
43 |
32 35 36 42
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 ) |
44 |
18 17
|
elicc2i |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( - π [,] π ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ - π ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π ) ) |
45 |
44
|
simp3bi |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( - π [,] π ) → 𝐵 ≤ π ) |
46 |
3 45
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≤ π ) |
47 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ≤ π ) |
48 |
22 41 20 43 47
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < π ) |
49 |
22 20 48
|
ltled |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ≤ π ) |
50 |
19 20 22 40 49
|
eliccd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
51 |
50
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) ) |
52 |
51
|
ssrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
53 |
52
|
resmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
54 |
16 53
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
55 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
56 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
57 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
58 |
57 22
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
59 |
56 58
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
60 |
7 8
|
ifcld |
⊢ ( 𝜑 → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
61 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
62 |
59 61
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ∈ ℝ ) |
63 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↔ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) |
64 |
63
|
biimpac |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
65 |
64
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
66 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
67 |
65 66
|
pm2.65da |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
68 |
67
|
neqned |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
69 |
62 22 68
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
70 |
55 69
|
ifcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
71 |
9
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
72 |
50 70 71
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
73 |
72 70
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
74 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
75 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
76 |
75
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
77 |
22
|
rehalfcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ ) |
78 |
77
|
resincld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
79 |
76 78
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
80 |
76
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
81 |
78
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
82 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
83 |
82
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ≠ 0 ) |
84 |
|
fourierdlem44 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
85 |
50 68 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
86 |
80 81 83 85
|
mulne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) |
87 |
22 79 86
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
88 |
74 87
|
ifcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
89 |
10
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
90 |
50 88 89
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
91 |
90 88
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
92 |
73 91
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
93 |
11
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
94 |
50 92 93
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
95 |
94 92
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
96 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
97 |
76 83
|
rereccld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
98 |
96 97
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
99 |
98 22
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
100 |
99
|
resincld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
101 |
13
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
102 |
50 100 101
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
103 |
102 100
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
104 |
95 103
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
105 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) |
106 |
104 105
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
107 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
108 |
107
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ ) |
109 |
94
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
110 |
67
|
iffalsed |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) |
111 |
62
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ∈ ℂ ) |
112 |
22
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
113 |
111 112 68
|
divrecd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) · ( 1 / 𝑠 ) ) ) |
114 |
72 110 113
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) · ( 1 / 𝑠 ) ) ) |
115 |
114
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) · ( 1 / 𝑠 ) ) ) ) |
116 |
59
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
117 |
61
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ∈ ℂ ) |
118 |
116 117
|
negsubd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) + - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ) |
119 |
118
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) + - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ) |
120 |
119
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) + - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ) ) |
121 |
26 4
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
122 |
121
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ) |
123 |
122
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐴 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ) |
124 |
33 4
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
125 |
124
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ) |
126 |
125
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐵 + 𝑋 ) ∈ ℝ* ) |
127 |
26
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
128 |
4
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
129 |
127 128
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝑋 ) = ( 𝑋 + 𝐴 ) ) |
130 |
129
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐴 + 𝑋 ) = ( 𝑋 + 𝐴 ) ) |
131 |
27 22 57 38
|
ltadd2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) ) |
132 |
130 131
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐴 + 𝑋 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) ) |
133 |
22 41 57 43
|
ltadd2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑋 + 𝐵 ) ) |
134 |
33
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
135 |
128 134
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
136 |
135
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
137 |
133 136
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝐵 + 𝑋 ) ) |
138 |
123 126 58 132 137
|
eliood |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) |
139 |
|
fvres |
⊢ ( ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) |
140 |
138 139
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) |
141 |
140
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) |
142 |
141
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) |
143 |
|
ioosscn |
⊢ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ⊆ ℂ |
144 |
143
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ⊆ ℂ ) |
145 |
|
ioosscn |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ |
146 |
145
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
147 |
144 6 146 128 138
|
fourierdlem23 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝐴 + 𝑋 ) (,) ( 𝐵 + 𝑋 ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
148 |
142 147
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
149 |
|
0red |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
150 |
26
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
151 |
21
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
152 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ≤ 𝐴 ) |
153 |
38
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 ) |
154 |
149 150 151 152 153
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 < 𝑠 ) |
155 |
154
|
iftrued |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑌 ) |
156 |
155
|
negeqd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = - 𝑌 ) |
157 |
156
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - 𝑌 ) ) |
158 |
7
|
renegcld |
⊢ ( 𝜑 → - 𝑌 ∈ ℝ ) |
159 |
158
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → - 𝑌 ∈ ℂ ) |
160 |
|
ssid |
⊢ ℂ ⊆ ℂ |
161 |
160
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ ) |
162 |
146 159 161
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - 𝑌 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
163 |
162
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - 𝑌 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
164 |
157 163
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
165 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) → 𝜑 ) |
166 |
26
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
167 |
166
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
168 |
34
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
169 |
|
0red |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 0 ∈ ℝ ) |
170 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) → ¬ 0 ≤ 𝐴 ) |
171 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
172 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) → 0 ∈ ℝ ) |
173 |
171 172
|
ltnled |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) → ( 𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) ) |
174 |
170 173
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) → 𝐴 < 0 ) |
175 |
174
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 𝐴 < 0 ) |
176 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → ¬ 𝐵 ≤ 0 ) |
177 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 0 ∈ ℝ ) |
178 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
179 |
177 178
|
ltnled |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → ( 0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) ) |
180 |
176 179
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 0 < 𝐵 ) |
181 |
180
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 0 < 𝐵 ) |
182 |
167 168 169 175 181
|
eliood |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
183 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0 ) → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
184 |
182 183
|
condan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ 0 ) |
185 |
21
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
186 |
|
0red |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
187 |
33
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
188 |
43
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 ) |
189 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ≤ 0 ) |
190 |
185 187 186 188 189
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 0 ) |
191 |
185 186 190
|
ltnsymd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 ) |
192 |
191
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑊 ) |
193 |
192
|
negeqd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = - 𝑊 ) |
194 |
193
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - 𝑊 ) ) |
195 |
8
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ ) |
196 |
195
|
negcld |
⊢ ( 𝜑 → - 𝑊 ∈ ℂ ) |
197 |
146 196 161
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - 𝑊 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
198 |
197
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - 𝑊 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
199 |
194 198
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
200 |
165 184 199
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
201 |
164 200
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
202 |
148 201
|
addcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) + - if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
203 |
120 202
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
204 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↦ ( 1 / 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↦ ( 1 / 𝑠 ) ) |
205 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
206 |
204
|
cdivcncf |
⊢ ( 1 ∈ ℂ → ( 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↦ ( 1 / 𝑠 ) ) ∈ ( ( ℂ ∖ { 0 } ) –cn→ ℂ ) ) |
207 |
205 206
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↦ ( 1 / 𝑠 ) ) ∈ ( ( ℂ ∖ { 0 } ) –cn→ ℂ ) ) |
208 |
|
velsn |
⊢ ( 𝑠 ∈ { 0 } ↔ 𝑠 = 0 ) |
209 |
67 208
|
sylnibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ¬ 𝑠 ∈ { 0 } ) |
210 |
112 209
|
eldifd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
211 |
210
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
212 |
|
dfss3 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
213 |
211 212
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
214 |
22 68
|
rereccld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 1 / 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
215 |
214
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 1 / 𝑠 ) ∈ ℂ ) |
216 |
204 207 213 161 215
|
cncfmptssg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 1 / 𝑠 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
217 |
203 216
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) · ( 1 / 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
218 |
115 217
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
219 |
67
|
iffalsed |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
220 |
79
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
221 |
112 220 86
|
divrecd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 · ( 1 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
222 |
90 219 221
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 · ( 1 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
223 |
222
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑠 · ( 1 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
224 |
219 221
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 · ( 1 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
225 |
224
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑠 · ( 1 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
226 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
227 |
|
cncfss |
⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( ( - π [,] π ) –cn→ ℝ ) ⊆ ( ( - π [,] π ) –cn→ ℂ ) ) |
228 |
107 160 227
|
mp2an |
⊢ ( ( - π [,] π ) –cn→ ℝ ) ⊆ ( ( - π [,] π ) –cn→ ℂ ) |
229 |
226
|
fourierdlem62 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( - π [,] π ) –cn→ ℝ ) |
230 |
229
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( - π [,] π ) –cn→ ℝ ) ) |
231 |
228 230
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( - π [,] π ) –cn→ ℂ ) ) |
232 |
88
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
233 |
226 231 52 161 232
|
cncfmptssg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
234 |
225 233
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑠 · ( 1 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
235 |
223 234
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
236 |
218 235
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
237 |
109 236
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
238 |
102
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
239 |
|
sincn |
⊢ sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
240 |
239
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
241 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
242 |
241
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
243 |
12 242
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
244 |
243
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
245 |
146 244 161
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
246 |
146 161
|
idcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
247 |
245 246
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
248 |
240 247
|
cncfmpt1f |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
249 |
238 248
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
250 |
237 249
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
251 |
|
cncffvrn |
⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) ) |
252 |
108 250 251
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syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) ) |
253 |
106 252
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mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
254 |
54 253
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eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |