Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
irrapxlem2 |
โข ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โ โ ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โ ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ( ๐ < ๐ โง ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) |
2 |
|
1z |
โข 1 โ โค |
3 |
2
|
a1i |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ 1 โ โค ) |
4 |
|
simpllr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ต โ โ ) |
5 |
4
|
nnzd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ต โ โค ) |
6 |
|
simplrr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) |
7 |
6
|
elfzelzd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โ โค ) |
8 |
|
simplrl |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) |
9 |
8
|
elfzelzd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โ โค ) |
10 |
7 9
|
zsubcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โค ) |
11 |
|
1m1e0 |
โข ( 1 โ 1 ) = 0 |
12 |
|
elfzelz |
โข ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โ ๐ โ โค ) |
13 |
12
|
ad2antrl |
โข ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โ ๐ โ โค ) |
14 |
13
|
zred |
โข ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โ ๐ โ โ ) |
15 |
|
elfzelz |
โข ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โ ๐ โ โค ) |
16 |
15
|
ad2antll |
โข ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โ ๐ โ โค ) |
17 |
16
|
zred |
โข ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โ ๐ โ โ ) |
18 |
14 17
|
posdifd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โ ( ๐ < ๐ โ 0 < ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
19 |
18
|
biimpa |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ 0 < ( ๐ โ ๐ ) ) |
20 |
11 19
|
eqbrtrid |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( 1 โ 1 ) < ( ๐ โ ๐ ) ) |
21 |
|
zlem1lt |
โข ( ( 1 โ โค โง ( ๐ โ ๐ ) โ โค ) โ ( 1 โค ( ๐ โ ๐ ) โ ( 1 โ 1 ) < ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
22 |
2 10 21
|
sylancr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( 1 โค ( ๐ โ ๐ ) โ ( 1 โ 1 ) < ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
23 |
20 22
|
mpbird |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ 1 โค ( ๐ โ ๐ ) ) |
24 |
7
|
zred |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
25 |
9
|
zred |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
26 |
24 25
|
resubcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
27 |
|
0red |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ 0 โ โ ) |
28 |
24 27
|
resubcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โ 0 ) โ โ ) |
29 |
4
|
nnred |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ต โ โ ) |
30 |
|
elfzle1 |
โข ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โ 0 โค ๐ ) |
31 |
8 30
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ 0 โค ๐ ) |
32 |
27 25 24 31
|
lesub2dd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โค ( ๐ โ 0 ) ) |
33 |
24
|
recnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
34 |
33
|
subid1d |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โ 0 ) = ๐ ) |
35 |
|
elfzle2 |
โข ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โ ๐ โค ๐ต ) |
36 |
6 35
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โค ๐ต ) |
37 |
34 36
|
eqbrtrd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โ 0 ) โค ๐ต ) |
38 |
26 28 29 32 37
|
letrd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ต ) |
39 |
3 5 10 23 38
|
elfzd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ ( 1 ... ๐ต ) ) |
40 |
39
|
adantrr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ( ๐ < ๐ โง ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ ( 1 ... ๐ต ) ) |
41 |
|
rpre |
โข ( ๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ ) |
42 |
41
|
ad3antrrr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ด โ โ ) |
43 |
42 25
|
remulcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ ) โ โ ) |
44 |
42 24
|
remulcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ ) โ โ ) |
45 |
|
simpr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ < ๐ ) |
46 |
25 24 45
|
ltled |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โค ๐ ) |
47 |
|
rpgt0 |
โข ( ๐ด โ โ+ โ 0 < ๐ด ) |
48 |
47
|
ad3antrrr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ 0 < ๐ด ) |
49 |
|
lemul2 |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ( ๐ด โ โ โง 0 < ๐ด ) ) โ ( ๐ โค ๐ โ ( ๐ด ยท ๐ ) โค ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) |
50 |
25 24 42 48 49
|
syl112anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ โค ๐ โ ( ๐ด ยท ๐ ) โค ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) |
51 |
46 50
|
mpbid |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ ) โค ( ๐ด ยท ๐ ) ) |
52 |
|
flword2 |
โข ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ โ โง ( ๐ด ยท ๐ ) โ โ โง ( ๐ด ยท ๐ ) โค ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โคโฅ โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) |
53 |
43 44 51 52
|
syl3anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โคโฅ โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) |
54 |
|
uznn0sub |
โข ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โคโฅ โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ โ0 ) |
55 |
53 54
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ โ0 ) |
56 |
55
|
adantrr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ( ๐ < ๐ โง ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ โ0 ) |
57 |
42
|
recnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ด โ โ ) |
58 |
25
|
recnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
59 |
57 33 58
|
subdid |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) |
60 |
59
|
oveq1d |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) = ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) |
61 |
44
|
recnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ ) โ โ ) |
62 |
43
|
recnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ ) โ โ ) |
63 |
44
|
flcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ โค ) |
64 |
63
|
zcnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ โ ) |
65 |
43
|
flcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ โค ) |
66 |
65
|
zcnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ โ ) |
67 |
61 62 64 66
|
sub4d |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) = ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) |
68 |
|
modfrac |
โข ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ โ โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) = ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) |
69 |
44 68
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) = ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) |
70 |
69
|
eqcomd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) = ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) |
71 |
|
modfrac |
โข ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ โ โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) = ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) |
72 |
43 71
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) = ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) |
73 |
72
|
eqcomd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) = ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) |
74 |
70 73
|
oveq12d |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) = ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) |
75 |
60 67 74
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) = ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) |
76 |
75
|
fveq2d |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) = ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) ) |
77 |
|
1rp |
โข 1 โ โ+ |
78 |
77
|
a1i |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ 1 โ โ+ ) |
79 |
44 78
|
modcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ โ ) |
80 |
79
|
recnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ โ ) |
81 |
43 78
|
modcld |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ โ ) |
82 |
81
|
recnd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ โ ) |
83 |
80 82
|
abssubd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) = ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) ) |
84 |
76 83
|
eqtr2d |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) = ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) ) |
85 |
84
|
breq1d |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) โ ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) |
86 |
85
|
biimpd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ๐ < ๐ ) โ ( ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) โ ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) |
87 |
86
|
impr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ( ๐ < ๐ โง ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) โ ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) |
88 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ฅ ) = ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
89 |
88
|
fvoveq1d |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ โ ๐ ) โ ( abs โ ( ( ๐ด ยท ๐ฅ ) โ ๐ฆ ) ) = ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ๐ฆ ) ) ) |
90 |
89
|
breq1d |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ โ ๐ ) โ ( ( abs โ ( ( ๐ด ยท ๐ฅ ) โ ๐ฆ ) ) < ( 1 / ๐ต ) โ ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ๐ฆ ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) |
91 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฆ = ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ๐ฆ ) = ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) |
92 |
91
|
fveq2d |
โข ( ๐ฆ = ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ๐ฆ ) ) = ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) ) |
93 |
92
|
breq1d |
โข ( ๐ฆ = ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ ( ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ๐ฆ ) ) < ( 1 / ๐ต ) โ ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) |
94 |
90 93
|
rspc2ev |
โข ( ( ( ๐ โ ๐ ) โ ( 1 ... ๐ต ) โง ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) โ โ0 โง ( abs โ ( ( ๐ด ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) โ ( โ โ ( ๐ด ยท ๐ ) ) ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) โ โ ๐ฅ โ ( 1 ... ๐ต ) โ ๐ฆ โ โ0 ( abs โ ( ( ๐ด ยท ๐ฅ ) โ ๐ฆ ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) |
95 |
40 56 87 94
|
syl3anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โง ( ๐ < ๐ โง ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) โ โ ๐ฅ โ ( 1 ... ๐ต ) โ ๐ฆ โ โ0 ( abs โ ( ( ๐ด ยท ๐ฅ ) โ ๐ฆ ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) |
96 |
95
|
ex |
โข ( ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โง ( ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ) ) โ ( ( ๐ < ๐ โง ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) โ โ ๐ฅ โ ( 1 ... ๐ต ) โ ๐ฆ โ โ0 ( abs โ ( ( ๐ด ยท ๐ฅ ) โ ๐ฆ ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) |
97 |
96
|
rexlimdvva |
โข ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โ ( โ ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) โ ๐ โ ( 0 ... ๐ต ) ( ๐ < ๐ โง ( abs โ ( ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ ) mod 1 ) ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) โ โ ๐ฅ โ ( 1 ... ๐ต ) โ ๐ฆ โ โ0 ( abs โ ( ( ๐ด ยท ๐ฅ ) โ ๐ฆ ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) ) |
98 |
1 97
|
mpd |
โข ( ( ๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ ) โ โ ๐ฅ โ ( 1 ... ๐ต ) โ ๐ฆ โ โ0 ( abs โ ( ( ๐ด ยท ๐ฅ ) โ ๐ฆ ) ) < ( 1 / ๐ต ) ) |